[LeetCode] 360. Sort Transformed Array 变换数组排序

Given a sorted array of integers nums and integer values a, band c. Apply a quadratic function of the form f(x) = ax2 + bx + c to each element x in the array.

The returned array must be in sorted order.

Expected time complexity: O(n)

Example 1:

Input: nums = [-4,-2,2,4], a = 1, b = 3, c = 5
Output: [3,9,15,33]

Example 2:

Input: nums = [-4,-2,2,4], a = -1, b = 3, c = 5
Output: [-23,-5,1,7]

Credits:
Special thanks to @elmirap for adding this problem and creating all test cases.

这道题给了一个数组，又给了一个抛物线的三个系数，让求带入抛物线方程后求出的数组成的有序数组。那么首先来看 O(nlgn) 的解法，这个解法没啥可说的，就是每个算出来再排序，这里用了最小堆来帮助我们排序，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<int> sortTransformedArray(vector<int>& nums, int a, int b, int c) {
        vector<int> res;
        priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> q;
        for (auto d : nums) {
            q.push(a * d * d + b * d + c);
        }
        while (!q.empty()) {
            res.push_back(q.top()); q.pop();
        }
        return res;
    }
};

但是题目中的要求在 O(n) 中实现，那么只能另辟蹊径。其实这道题用到了大量的高中所学的关于抛物线的数学知识，我们知道，对于一个方程 f(x) = ax² + bx + c 来说，如果 a>0，则抛物线开口朝上，那么两端的值比中间的大，而如果 a<0，则抛物线开口朝下，则两端的值比中间的小。而当 a=0 时，则为直线方法，是单调递增或递减的。那么这里可以利用这个性质来解题，题目中说明了给定数组 nums 是有序的，如果不是有序的，我想很难有 O(n) 的解法。正因为输入数组是有序的，可以根据a来分情况讨论：

当 a>0，说明两端的值比中间的值大，那么此时从结果 res 后往前填数，用两个指针分别指向 nums 数组的开头和结尾，指向的两个数就是抛物线两端的数，将它们之中较大的数先存入 res 的末尾，然后指针向中间移，重复比较过程，直到把 res 都填满。

当 a<0，说明两端的值比中间的小，那么从 res 的前面往后填，用两个指针分别指向 nums 数组的开头和结尾，指向的两个数就是抛物线两端的数，将它们之中较小的数先存入 res 的开头，然后指针向中间移，重复比较过程，直到把 res 都填满。

当 a=0，函数是单调递增或递减的，那么从前往后填和从后往前填都可以，可以将这种情况和 a>0 合并。

解法二：

class Solution {
public:
    vector<int> sortTransformedArray(vector<int>& nums, int a, int b, int c) {
        int n = nums.size(), i = 0, j = n - 1;
        vector<int> res(n);
        int idx = a >= 0 ? n - 1 : 0;
        while (i <= j) {
            if (a >= 0) {
                res[idx--] = cal(nums[i], a, b, c) >= cal(nums[j], a, b, c) ? cal(nums[i++], a, b, c) : cal(nums[j--], a, b, c);
            } else {
                res[idx++] = cal(nums[i], a, b, c) >= cal(nums[j], a, b, c) ? cal(nums[j--], a, b, c) : cal(nums[i++], a, b, c);
            }
        }
        return res;
    }
    int cal(int x, int a, int b, int c) {
        return a * x * x + b * x + c;
    }
};