[LeetCode] 64. Minimum Path Sum 最小路径和

Given a m x n grid filled with non-negative numbers, find a path from top left to bottom right, which minimizes the sum of all numbers along its path.

Note: You can only move either down or right at any point in time.

Example 1:

Input: grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
Output: 7
Explanation: Because the path 1 → 3 → 1 → 1 → 1 minimizes the sum.

Example 2:

Input: grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
Output: 12

Constraints:

m == grid.length
n == grid[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= grid[i][j] <= 200

这道题给了我们一个只有非负数的二维数组，让找一条从左上到右下的路径，使得路径和最小，限定了每次只能向下或者向右移动。一个常见的错误解法就是每次走右边或下边数字中较小的那个，这样的贪婪算法获得的局部最优解不一定是全局最优解，因此是不行的。实际上这道题跟之前那道 Dungeon Game 没有什么太大的区别，都需要用动态规划 Dynamic Programming 来做，这应该算是 DP 问题中比较简单的一类，我们维护一个大小为 m+1 by n+1 的二维的 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示到达位置 (i-1, j-1) 的最小路径和。接下来找状态转移方程，因为到达某个位置 (i, j) 只有两种情况，要么从上方 (i-1, j) 过来，要么从左边 (i, j-1) 过来，这里选择 dp 值较小的那个路径，即比较 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1]，将其中的较小值加上当前的数字 grid[i-1][j-1]（注意这里的坐标转换），就是当前位置的 dp 值了。由于 dp 数组的大小比原数组大，且都初始化为了整型最大值，而 dp[1][1] 对应的是数组中的起始位置，根据状态转移方程，其得加上 dp[0][1] 和 dp[1][0] 中的较小值，所以这两个值至少要有一个是0，也可以都赋值为0，这样才能得到正确的结果，代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
        dp[0][1] = dp[1][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

我们可以优化空间复杂度，可以使用一个一维的 dp 数组就可以了，初始化为整型最大值，但是 dp[0] 要初始化为0。之所以可以用一维数组代替之前的二维数组，是因为当前的 dp 值只跟左边和上面的 dp 值有关。这里并不提前更新第一行或是第一列，而是在遍历的时候判断，若j等于0时，说明是第一列，直接加上当前的数字，否则就要比较是左边的 dp[j-1] 小还是上面的 dp[j] 小，当是第一行的时候，dp[j] 是整型最大值，所以肯定会取到 dp[j-1] 的值，然后再加上当前位置的数字即可，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m = grid.size(), n = grid[0].size();
        vector<int> dp(n, INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (j == 0) dp[j] += grid[i][j];
                else dp[j] = grid[i][j] + min(dp[j], dp[j - 1]);
            }
        }
        return dp[n - 1];
    }
};

我们还可以进一步的优化空间，连一维数组都不用新建，而是直接使用原数组 grid 进行累加，这里的累加方式跟解法一稍有不同，没有提前对第一行和第一列进行赋值，而是放在一起判断了，当i和j同时为0时，直接跳过。否则当i等于0时，只加上左边的值，当j等于0时，只加上面的值，否则就比较左边和上面的值，加上较小的那个即可，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) {
                if (i == 0 && j == 0) continue;
                if (i == 0) grid[0][j] += grid[0][j - 1];
                else if (j == 0) grid[i][0] += grid[i - 1][0];
                else grid[i][j] += min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
            }
        }
        return grid.back().back();
    }
};

下面这种写法跟上面的基本相同，只不过用了 up 和 left 两个变量来计算上面和左边的值，看起来稍稍简洁一点，参见代码如下：

解法四：

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        for (int i = 0; i < grid.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < grid[i].size(); ++j) {
                if (i == 0 && j == 0) continue;
                int up = (i == 0) ? INT_MAX : grid[i - 1][j];
                int left = (j == 0) ? INT_MAX : grid[i][j - 1];
                grid[i][j] += min(up, left);
            }
        }
        return grid.back().back();
    }
};