[LeetCode] 77. Combinations 组合

Given two integers n and k, return all possible combinations of k numbers chosen from the range [1, n].

You may return the answer in any order.

Example 1:

Input: n = 4, k = 2
Output: [[1,2],[1,3],[1,4],[2,3],[2,4],[3,4]]
Explanation: There are 4 choose 2 = 6 total combinations.
Note that combinations are unordered, i.e., [1,2] and [2,1] are considered to be the same combination.

Example 2:

Input: n = 1, k = 1
Output: [[1]]
Explanation: There is 1 choose 1 = 1 total combination.

Constraints:

1 <= n <= 20
1 <= k <= n

这道题让求1到n共n个数字里k个数的组合数的所有情况，还是要用深度优先搜索 DFS 来解，根据以往的经验，像这种要求出所有结果的集合，一般都是用 DFS 调用递归来解。这里建立一个保存最终结果的大集合 res，还要定义一个保存每一个组合的小集合 cur，每次放一个数到 cur 里，如果 cur 里数个数到了k个，则把 cur 保存到最终结果中，否则在下一层中继续调用递归。根据上面分析，可写出代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> cur;
        dfs(n, k, 1, cur, res);
        return res;
    }
    void dfs(int n, int k, int level, vector<int>& cur, vector<vector<int>>& res) {
        if (cur.size() == k) {
            res.push_back(cur); 
            return;
        }
        for (int i = level; i <= n; ++i) {
            cur.push_back(i);
            dfs(n, k, i + 1, cur, res);
            cur.pop_back();
        }
    }
};

对于n = 5, k = 3, 处理的结果如下：

1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 3 4
1 3 5
1 4 5
2 3 4
2 3 5
2 4 5
3 4 5

再来看一种递归的写法，此解法没用子函数当递归函数，而是把本身就当作了递归函数，写起来十分的简洁，也是非常有趣的一种解法。这个解法用到了一个重要的性质 C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，这应该在我们高中时候学排列组合的时候学过吧，博主也记不清了。总之，翻译一下就是，在n个数中取k个数的组合项个数，等于在 n-1 个数中取 k-1 个数的组合项个数再加上在 n-1 个数中取k个数的组合项个数之和。这里博主就不证明了，因为博主也不会，就直接举题目中的例子来说明吧：

C(4, 2) = C(3, 1) + C(3, 2)

我们不难写出 C(3, 1) 的所有情况：[1], [2], [3]，还有 C(3, 2) 的所有情况：[1, 2], [1, 3], [2, 3]。可以发现二者加起来为6，正好是 C(4, 2) 的个数之和。但是仔细看会发现，C(3, 2)的所有情况包含在 C(4, 2) 之中，但是 C(3, 1) 的每种情况只有一个数字，而需要的结果 k=2，其实很好办，每种情况后面都加上4，于是变成了：[1, 4], [2, 4], [3, 4]，加上 C(3, 2) 的所有情况：[1, 2], [1, 3], [2, 3]，正好就得到了 n=4, k=2 的所有情况了。参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        if (k > n || k < 0) return {};
        if (k == 0) return {{}};
        vector<vector<int>> res = combine(n - 1, k - 1);
        for (auto &a : res) a.push_back(n);
        for (auto &a : combine(n - 1, k)) res.push_back(a);
        return res;
    }
};

再来看一种迭代的写法，也是一种比较巧妙的方法。这里每次先递增最右边的数字，存入结果 res 中，当右边的数字超过了n，则增加其左边的数字，然后将当前数组赋值为左边的数字，再逐个递增，直到最左边的数字也超过了n，停止循环。对于 n=4, k=2 时，遍历的顺序如下所示：

0 0 #initialization
1 0
1 1 
1 2 #push_back
1 3 #push_back
1 4 #push_back
1 5
2 5
2 2 
2 3 #push_back
2 4 #push_back
...
3 4 #push_back
3 5
4 5
4 4
4 5
5 5 #stop

解法三：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<vector<int>> res;
        vector<int> cur(k);
        int i = 0;
        while (i >= 0) {
            ++cur[i];
            if (cur[i] > n) {
                --i;
            } else if (i == k - 1) {
                res.push_back(cur);
            } else {
                ++i;
                cur[i] = cur[i - 1];
            }
        }
        return res;
    }
};