03寻找最小的k个数
题目描述:查找最小的k个元素
题目:输入n个整数,输出其中最小的k个。
例如输入1,2,3,4,5,6,7和8这8个数字,则最小的4个数字为1,2,3和4。
1:最简单直白的思路是,要求一个序列中最小的k个数,按照惯有的思维方式,很简单,先对这个序列从小到大排序,然后输出前面的最小的k个数即可。
至于选取什么的排序方法,可能会第一时间想到快速排序,我们知道,快速排序平均所费时间为n*logn,然后再遍历序列中前k个元素输出,即可,总的时间复杂度为O(n*logn+k) = O(n*logn)。
线性时间的排序,即计数排序,时间复杂度虽能达到O(n),但限制条件太多,不常用。
2:再进一步想想,题目并没有要求要查找的k个数,甚至后n-k个数是有序的,既然如此,咱们又何必对所有的n个数都进行排序列?
这时,可以如此:即遍历n个数,先把最先遍历到得k个数存入大小为k的数组之中,对这k个数,利用选择或交换排序,找到k个数中的最大数kmax,用时O(k),后再继续遍历后n-k个数,x与kmax比较:如果x>kmax,则不更新数组;如果x<kmax,则x代替kmax,并再次重新找出k个元素的数组中最大元素kmax’。(这样,被交换出的kmax至少大于k个数,所以肯定不是最终结果中的数。)这样,整趟下来,总的时间复杂度平均下来为:n*O(k)= O(n*k)。
上述思想的一个优化,就是维护k个元素的最大堆(大小是k),原理与上述第方案一致,即用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数,建堆费时O(k)后。继续遍历数列,每次遍历一个元素x,与堆顶元素比较,x<kmax,更新堆(用时logk),否则不更新堆。这样下来,总费时O(k+(n-k)*logk)=O(n*logk)。此方法得益于在堆中,查找等各项操作时间复杂度均为logk。
3:实际上,可以用最小堆初始化数组(大小是n,不是k),然后取这个优先队列前k个值。复杂度O(n)+k*O(log n)。建堆所用时间为O(n),然后取堆中的前k个数,总的时间复杂度即为:O(n+k*logn)。至于该思路的时间是否小于上述思路的O(n*logk),即O(n+k*logn) <O(n*logk) ? 可以这么解决:当k是常数,n趋向于无穷大时,求(n*logk)/(n+k*logn)的极限T,如果 T>1,那么可得O(n+k*logn)< O(n*logk)。最终证明的确如此,这个极值T=logk>1,即采取建立n个元素的最小堆后取其前k个数的方法的复杂度小于采取常规的建立k个元素最大堆后通过比较寻找最小的k个数的方法的复杂度。
事实上,是建立最大堆还是建立最小堆,其实际的程序运行时间相差并不大,运行时间都在一个数量级上。但是当n比较大时(海量数据),那么需要将n个数都建立最小堆,这个时候,就不如建立k个元素的最大堆适用了。
4:算法导论第9章,曾介绍RANDOMIZED-SELECT(A,p, r, i)算法,该算法可以寻找第i小的数,该算法用类似快速排序的划分方法,N个数存储在数组S中,再从数组中随机选取一个数X,把数组划分为Sa和Sb俩部分,Sa<=X<=Sb,如果i小于Sa的元素个数,则递归调用RANDOMIZED-SELECT(A,p, q-1, i),否则调用RANDOMIZED-SELECT(A, q+1, r, i-k)。
采用这个算法得到第k小的元素之后,就可以在线性时间内找到所有最小的k个元素:
a:找到了第K小的数X后,再遍历一次数组,找出所有比X小的元素,需要O(N)的时间(比较Xk与数组中各数的大小,凡是比Xk小的元素,都是我们要找的元素)。这个结论非常之简单,也无需证明。
b:找到第k小的元素X后,因为讨论都是基于快速排序的partition方法,而这个方法,每次划分之后,都保证了枢纽元素X的前边元素统统小于Xk,后边元素统统大于Xk。所以,算法本身,在找到第k小的元素之后,之前的元素就是所有最小的k个元素。
RANDOMIZED-SELECT,以序列中随机选取一个元素作为主元,可达到线性期望时间O(N)的复杂度。SELECT,快速选择算法,以序列中“五分化中项的中项”,或“中位数的中位数”作为主元(枢纽元),则不容置疑的可保证在最坏情况下亦为O(N)的复杂度。
至于RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)算法,以及最坏情况下为O(n)的SELECT算法,算法导论第9章都有详述,不再赘述。
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