HDU1028Ignatius and the Princess III(母函数)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

母函数：

例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？

如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。
如果用x的指数表示称出的重量，则：
    1个1克的砝码可以用函数1+x表示，
    1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
    1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，
    1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)
=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)
=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10 

    从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
    例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。
    故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1

这样一来，一个括号内有多少个x，那么就表示有多少个砝码，如果有3个值为1的砝码，那么就是（1+x+x2+x3）,其中，xk中的k就表示用k个值为1的组成，他的系数为1，也就是说用只用值为1的要配出3出来只有一种方法。

按照上面的方法，3个值为2的砝码那就是（1 + x2 + x4 + x6）,x6相当于（x2）3，就是说3 个值为2的构成6。

 

那么，上面的x的函数就是母函数，可以用来解决组合问题（详细的可以参阅网上资料，也可以看下面两个简单应用）

 

#include<stdio.h>

int c1[121],c2[121];

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        int i;
        for(i = 0;i <= n; i++)
        {
            c1[i] = 1;
            c2[i] = 0;
        }
        for(i =2;i<=n;i++)//操作第i个括号
        {
            for(int j = 0; j<= n;j++)//对于指数为j的进行操作
            {
                for(int k =0 ;k+j<=n;k+=i)//吧第i个的每一个数与之前的结果相乘
                {
                    c2[j+k]+=c1[j];//j+k指数相加，他的值就是这个指数的系数
                }
            }
            for(int j = 0;j<=n;j++)//系数保存在前面一个数组中
            {
                c1[j] = c2[j];
                c2[j] = 0;
            }
        }
        printf("%d\n", c1[n]);
    }
    return 0;
}

 另外，我还写了一个记忆化搜索的方法，虽然耗时耗空间，但是过了，挂在这里瞧瞧（15Ms，上面那个0Ms）

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define MAX(a,b) (a > b ? a : b)
#define MIN(a,b) (a < b ? a : b)
#define MAXN 400005
#define INF 2000000007
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))


int ans[130];
int vis[130][130],d[130][130];

int dfs(int a, int b)
{
    if(vis[a][b])return d[a][b];
    vis[a][b] = 1;
    d[a][b] = 1;
    for(int i = (a+1)/2; i <= a-b; i++)
    {
        d[a][b]+=dfs(i, a-i);
    }
    return d[a][b];
}

void f()
{
    ans[1] = 1;
    ans[2] = 2;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i = 3; i<= 120; i++)
    {
        ans[i] = 1;
        for(int j = 1; i-j >= j; j++)
        {
            ans[i]++;
            if(i-j >= 2*j)
            {
                ans[i] += dfs(i-j, j);
                ans[i] --;
            }
        }
    }
}

int main()
{
    f();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
    return 0;
}