欧拉函数
我们来看看一个问题
任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?(比如,在1到8之中,有多少个数与8构成互质关系?)
计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到8之中,与8形成互质关系的是1、3、5、7,所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式:
可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积,
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到"中国剩余定理",这里就不展开了,只简单说一下思路:如果a与p1互质(a<p1),b与p2互质(b<p2),c与p1p2互质(c<p1p2),则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能,b的值有φ(p2)种可能,则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能,而c的值有φ(p1p2)种可能,所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论,得到
再根据第3条的结论,得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
那我们怎么实现线性筛欧拉函数呢?
让我们分情况讨论一下
1.对于phi[i] 若i为一个素数,那么phi[i]=i-1。这个很简单,因为除了i以外,其余1——i-1 都与i互质。
2.若i=p^k 那么phi[i]=(p^(k-1)-1)*p(根据性质3)。
3.若i=p*j,p为素数 j mod p==0 phi[j*p]=p*phi[j] 证明如下:(看了很多博客,这个证明都是略。。。一点都不清真,这个证明是最难的,当然是转载的,感觉写得很有道理的样子)
4.若i=p*j,p为素数 j mod p!=0 很好那么根据性质5 phi[p*j]=phi[p]*phi[j];
【代码实现】
1 int phi[maxn],p[maxn]; 2 bool vis[maxn]; 3 void getphi(int n) 4 { 5 phi[1]=1; 6 for(int i=2;i<=n;i++) 7 { 8 if(!vis[i]) {p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;} 9 for(int j=1;j<=p[0];j++) 10 { 11 int t=p[j]*i;if(t>n) break;vis[t]=1; 12 if(i%p[j]==0) {phi[t]=phi[i]*p[j];break;} 13 phi[t]=phi[p[j]]*phi[i]; 14 } 15 } 16 }