Reinforcement learning 是机器学习里面的一个分支，特别善於控制一只能够在某个环境下 自主行动 的个体 (autonomous agent)，透过和 环境 之间的互动，例如 sensory perception 和 rewards，而不断改进它的 行为 。
听到强化学习，你脑里应该浮现一只曱甴那样的小昆虫，那就是 autonomous agent 的形象：
对「环境」(environment) 这概念，你应该想到像以下这经典游戏的迷宫：
包括有追捕你的怪物、和吃了会加分的食物 （这些代表负值和正值的 rewards）。 当然，实际应用的「环境」和「奖励」可以是抽象的，这游戏是一个很具体的例子。
输入／输出
记住，reinforcement learning 的 输入 是：
- 状态 (States) = 环境，例如迷宫的每一格是一个 state
- 动作 (Actions) = 在每个状态下，有什么行动是容许的
- 奖励 (Rewards) = 进入每个状态时，能带来正面或负面的 价值 (utility)
而输出就是：
- 方案 (Policy) = 在每个状态下，你会选择哪个行动？
於是这 4 个元素的 tuple （S，A，R，P）就构成了一个强化学习的系统。 在抽象代数中我们常常用这 tuple 的方法去定义系统或结构。
再详细一点的例子就是：
- states S = 迷宫中每一格的位置，可以用一对座标表示，例如(1,3)
- actions A = 在迷宫中每一格，你可以行走的方向，例如：｛上，下，左，右｝
- rewards R = 当前的状态 (current state) 之下，迷宫中的那格可能有食物 (+1) 、也可能有怪兽 (-100)
- policy P = 一个由 状态 $\rightarrow$ 行动 的 函数，意即： 这函数对给定的每一个状态，都会给出一个行动。
（S, A, R）是使用者设定的， P 是算法自动计算出来的。
人与虫之间
第一个想到的问题是： 为什么不用这个方法打造人工智能？ 但现时的强化学习算法，只对比较细小和简单的环境适用，对於大的复杂的世界，例如象棋的 $10^\mbox{xxx}$ 状态空间，仍是 intractable 的。
关键就是，高等智慧生物会在脑中建立世界的模型 (world model) 或知识 (knowledge)， 而强化学习只是关心简单的「状态－行动」配对。
强化学习的领导研究者 Richard Sutton 认为，只有这种学习法才考虑到 自主个体、环境、奖励 等因素，所以它是人工智能中最 top-level 的 architecture，而其他人工智能的子系统，例如 logic 或 pattern recognition，都应该在它的控制之下，我觉得颇合理。
所以要制造 strong AI，一个可能的方案就是结合强化学习和某种处理复杂 world model 的能力：
「你们已经由虫进化成人，但在你们之内大部份仍是虫。」 -- 尼采, Thus spoke Zarathustra
「如果人类不相信他们有一天会变成神，他们就肯定会变成虫。」 -- Henry Miller
程式
学 AI 最紧要有 program，不然就会很枯燥。 这是我在网上找到的一个特别简单的 demo，作者是 Travis DeWolf：
https://studywolf.wordpress.com/2012/11/25/reinforcement-learning-q-learning-and-exploration/
只要 Python 便可运行，但你可能要 install PyGame。
猫、老鼠、芝士：
猫的行动是简单地朝着老鼠追（没有智能），老鼠的行动是学习出来的。
注意，在 main program 和 cellular.py 这两部分，纯粹是定义了迷宫世界如何运作，基本上是一个 game，里面完全没有智能，你可以用｛上、下、左、右｝ 控制各 agent 的活动，如此而已。
强化学习的程式在 qlearn.py，很短，而真正学习的程式基本上只有一句，就是：
def learnQ(self, state, action, reward, value):
oldv = self.q.get((state, action), None)
if oldv is None:
self.q[(state, action)] = reward
else:
self.q[(state, action)] = oldv + self.alpha * (value - oldv)
单是这一句程式，就能令老鼠学到避开猫、吃芝士。 以下再解释……
強化學習的原理
《AI－a modern approach》这本书第 21 章有很好的简介。 《AIMA》自然是经典，很多人说他们是读这本书而爱上 AI 的。 这本书好处是，用文字很耐性地解释所有概念和原理，思路很清晰，使读者不致有杂乱无章的感觉。 例如 21 章 首先讲 passive reinforcement learning，意思是当 policy 是固定时，纯粹计算一下 agent 期望的价值（utility，即 rewards 的总和） 会是多少。 有了这基础后再比较不同 policies 的好坏。 这种思路在数学中很常见： 首先考虑简单到连白痴也可以解决的 case，然后逐步引入更多的复杂性。 例如数学归纳法，由 N=1 的 case 推到 N→∞ 。
为免重复，我只解释到明白 Q learning 的最少知识。
Utility (价值，或效用)
U 是一连串行动的 rewards 的总和。 例如说，行一步棋的效用，不单是那步棋当前的利益，还包括走那步棋之后带来的后果。 例如，当下贪吃一只卒，但 10 步后可能被将死。 又或者，眼前有美味的食物，但有些人选择不吃，因为怕吃了会变肥。
一个 state 的效用 U 就是： 假设方案固定，考虑到未来所有可能的 transitions，从这个 state 开始的平均期望的 total reward 是多少 :
$$ U(S_0) = \mathbb{E}[ \; \sum_{t=0}^{\infty} \; \gamma^t \; R(S_t) \; ] $$
其中 $\mathbb{E[\;]}$ 代表期望值，$\gamma$ 是 discount factor，例如 0.9 或什么。
实例： 考虑这简单的迷宫：
那些箭咀表示的是众多可能方案中的其中一个。
根据这个方案，由（1，1）开始的运行可能是这个结果：
下面橙色的值是每个 state 的 reward。 在这例子中，每个不是终点的格，也会扣 0.04 分。
但从同一起点，同一方案，也可以出现不同结果，例如在 (1,3) 企图向右爬，但实际结果是向下跌一格； 这些 state transitions 是由外在世界的机率决定的。 （例如某人读了大学文凭，但遇上经济不景，他的薪水未必能达到行动的预期效果。）
同一方案的运行结果可以是：
或者：
Bellman condition
这是 dynamic programming（动态规划）的中心思想，又叫 Bellman optimality condition。
在人工智能里我们叫 reinforcement learning，但在控制论的术语里叫 dynamic programming，两者其实是一样的。 Richard Bellman 在 1953 年提出这个方程，当时他在 RAND 公司工作，处理的是运筹学的问题。 他也首先使用了 "curse of dimensionality" 这个术语，形容动态规划的主要障碍。
考虑的问题是： 要做一连串的 sequential decisions。
Bellman equation 说的是： 「如果从最佳选择的路径的末端截除一小部分，馀下的路径仍然是最佳路径。」
换句话说，如果一系列的选择 A B C D E…… 是最优的，那么这系列除去开始的 A，那 B C D E …… 系列应用在后继的状态上也是最优的。
（例如，你从香港乘车到北京，选择了最便宜的路线，此路线经过 10 个车站，第二站是深圳：
$$ \mbox{香港} \rightarrow \mbox{深圳} \rightarrow ... ... \rightarrow \mbox{北京} $$
但如果除去出发点香港站，那么由第二站深圳到最后的北京站：
$$ \mbox{深圳} \rightarrow ... ... \rightarrow \mbox{北京} $$
这路线仍然是馀下 9 个站之间最便宜的。）
用数学表示：
$$ U^*(S) = \max_a \{ R(a) + U^*(S') \} $$
$$ U^*(\mbox{全路径}) = \max_a \{ R(\mbox{在当前状态下选取 a}) + U^*(馀下路径) \} $$
$*$ 表示「最优 (optimal)」。 这条看似简单的式子是动态规划的全部内容； 它的意义是： 我们想获得最佳效益的路径，所以将路径切短一些，於是问题化解成一个较小的问题； 换句话说它是一个 recursive relation。
Delta rule
这只是一个简单的 trick，在机器学习中经常出现。 假设我们有一个理想，我们要逐步调教当前的状态，令它慢慢趋近这个理想。 方法是：
$$ \mbox{当前状态} := \mbox{当前状态} + \alpha ( \mbox{理想} - \mbox{当前状态}) $$
其中 $\alpha$ 叫「学习速度 (learning rate)」。 "Delta" ($\Delta$) 指的是理想和现状之间的差异。
很明显，只要反覆执行上式，状态就会逐渐逼近理想值。
（Delta rule 的微分形式就是我们熟悉的「梯度下降」： $x \mbox{ += } \eta \cdot \frac{dy}{dx}$）
Temporal difference (TD) learning
将 delta rule 应用到 Bellman condition 上，去寻找最优路径，这就是 temporal difference learning。
我们还是从简单情况开始： 假设方案固定，目标是学习每个 state 的 utility。
理想的 U(S) 值，是要从 state S 开始，试验所有可能的 transitions，再计算这些路径的 total rewards 的平均值。
但实际上，agent 只能够每次体验一个行动之后的 state transition。
将 Bellman condition 应用在我们的情况，一个 state S 的 U 值，是它自身的 reward，加上所有可能的后继 states 的 U 值，取其机率平均，再乘以 discount factor $\gamma$：
$$ U(S) = R(S) + \gamma \sum_{S'} P(S \rightarrow S') \; U(S') $$
其中 P 是 transition 的机率，S' 是后继 state，$\sum$ 是对所有后继 states 求和。 换句话说，这是理想的 U(S) 和 U(S 的后继) 之间的关系，是一个 recursive relation。
例如，假设 agent 现时对 state (1,3) 和 state (2,3) 的估值，分别为 0.84 和 0.92。 又假设 agent 察觉到，根据现有方案，在 (1,3) 时总是会发生跳到 (2,3) 这个 transition。 那么这两个 states 的 U 值，应该符合这条约束：
$$ U(1,3) = -0.04 + U(2,3) $$
换句话说，这是两个 states 之间，U 值的 local (局部的)约束。
TD learning 的思想是： 假设其他 U(S') 的值正确，利用 Bellman optimality 来调整当下 state 的 U(S)。 当尝试的次数多了，所有 U 值都会趋向理想。 Agent 只需要用这条 update rule：
$$ U(S) \mbox{ += } \alpha ( \; R(S) + \gamma U(S') - U(S) \; ) $$
$\alpha$ 是 learning rate，它决定学习的速度（但它不能太大，避免 overshooting）。 后面那东西是 U(S) 和 U(S) 的估值 (estimation) 之间的差别。 对於理想的 U(S) 和 U(S')，那差别会是 0。 而在每个 time step，我们只是用 $\alpha$ 部分地 调整这个差别。
最后一提，在上面理想约束的公式里，有对於机率 P 的求和，但在 update formula 中 P 不见了。 那是因为 agent 在环境中的行动，暗含了对於 state transition 机率的 sampling (随机地取样本)。 换句话说，那机率求和是由 agent 本身体现的。
P 是 state transitions 的机率，换句话是关於世界的一个 model。 TD learning 不需要学习 P，所以叫 model-free learning。 但正如开篇时说过，model-free 并不一定是好事，人的智慧就是基於我们对外在世界有一些很好的 models。
Q value
Q 值只是 U 值的一个变种 ; U 是对每个 state 而言的，Q 把 U 值分拆成每个 state 中的每个 action 的份量。 换句话说，Q 就是在 state S 做 action A 的 utility。
Q 和 U 之间的关系是：
$$ U(S) = \max_A \; Q(A, S) $$
Q 的好处是什么？ 下面将会介绍 active learning，而 Q value 配合 TD learning，可以在 active learning 中也消除 P，达到 model-free 的效果。
上面的 update rule 只要用这个关系改写就行：
$$ U(S) \mbox{ += } \alpha ( \; R(S) + \gamma \max_{A'} \; Q(A', S') - Q(A, S) \; ) $$
Active learning
在 passive learning 中，方案不变，我们已经能够计算每个 state S 的效用 U(S)，或者每个 state S 之下行动 A 的效用 Q(S, A)。
如果方案是可以改变的，我们只需计算不同方案的 Q 值，然后在每个 state S 选取相应於最大 Q 值的行动 A，那就是最佳方案，不是吗？
实际上执行的结果，却发现这些 agent 的方案很差！ 原因是，学习过程中的 Q 值是 estimate，不是理想的 Q 值，而如果根据这样的 Q 行动，agent 变得很短视，不会找到 optimal policy。 （例如，某人经常吃同一间餐馆，但循另一路径走，可以发现更好的餐馆。）
Agent 需要尝试一些未知的状态／行动，才会学到 optimal policy； 这就是所谓的 exploration vs exploitation （好奇心 vs 短暂贪婪）之间的平衡。
方法是，人工地将未知状态的价值增加一点：
$$ U(S) = R(S) + \gamma \max_A \; \mathcal{F}[ \; \sum_{S'} P(S \rightarrow S') U(S'), \; N(A, S) \; ] $$
其中 N(A, S) 是状态 S 和行动 A 这对组合出现过（被经历过）的次数，$\mathcal{F}$ 是 exploration 函数，它平时回覆正常的 U 的估计值，但当 N 很小时（亦即我们对 S，A 的经验少），它会回覆一个比较大的估值，那代表「好奇心」的效用。
结语
本来想写一篇人人能读懂的 RL 简介，但发觉写到长篇大论才勉强解释完。 希望女朋友能读懂 :)
