【题解】51Nod 1594 莫比乌斯反演

Updated：这只鸽子学会了LaTeX

 

题意 

求

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \phi(gcd(\phi(i),\phi(j)))$$

在草稿纸上一番乱划推导之后

$$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \phi(gcd(\phi(i),\phi(j)))$$

$$=\sum_{d=1}^{n} \phi(d){\times}f(d)$$

这里f(d)表示有多少对i，j满足他们的$\phi$值的gcd为d

$$f(d)=\sum_{i,j} {\lbrack} {gcd(\phi(i),\phi(j))=d} {\rbrack}$$

我们令

$$F(d)=\sum_{i,j}{\lbrack}{d{\vert}gcd(\phi(i),\phi(j))}{\rbrack}$$

就有

$$F(n)=\sum_{n{\vert}d} f(d)$$

反演得到

$$f(n)=\sum_{d} F(n{\times}d){\times}\mu(d)$$

所以原式就等于

$$\sum_{i{\times}j<=n} \phi(i){\times}F(i{\times}j){\times}\mu(j)$$

只需要预处理出$\mu , \phi $ 和F即可

code

//
//  main.cpp
//  51nod
//
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//

#include <iostream>
using namespace std;
namespace gengyf{
#define maxn 2000010
#define ll long long
    inline int read(){
        int f=1,x=0;char s=getchar();
        while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
        while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
        return f*x;
    }
    ll w[maxn>>2],miu[maxn],phi[maxn],c[maxn],vis[maxn];
    int n,T,t;ll ans;
    void init(){
        phi[1]=miu[1]=1;
        for(int i=2;i<=maxn;i++){
            if(!vis[i]){//如果是质数
                miu[++w[++t]=i]=-1;
                phi[i]=i-1;
            }
            for(int j=1,k;(k=i*w[j])<=maxn;j++){
                vis[k]=1;
                if(i%w[j]==0){
                    phi[k]=phi[i]*w[j];
                    miu[k]=0;break;
                }
                phi[k]=phi[i]*(w[j]-1);miu[k]=-miu[i];
            }
        }
    }
    ll F(int x){return c[x]*c[x];}
    ll calc(int n){
        memset(c,0,sizeof(c));
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            ++c[phi[i]];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                c[i]+=c[j];
            }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(miu[i])
                for(int j=1;i*j<=n;j++){
                    ans+=F(i*j)*miu[i]*phi[j];
                }
        }
        return ans;
    }
    int main(){
        init();
        T=read();
        while(T--){
            n=read();
            printf("%lld\n",calc(n));
        }
        return 0;
    }
}
int main(){
    gengyf::main();
    return 0;
}

 

推式子很有趣的，大家一起来推式子啊

手动滑稽.jpg