最小表示法(模板)
最小表示法就是对于一个循环字符串,其字典序最小的状态;
显然任意一个循环串的最小表示法是唯一的,那么可以同过比较两个循环串的最小表示法来判断它们是否相同;
对于朴素算法:
初始化:i = 0, j = 1, k = 0;
若 s[i] < s[j],j++;
若 s[i] > s[j],i = j, j++;
若 s[i] == s[j],则 k++,直至 s[i + k] != s[j + k]
对于 s[i + k] < s[j + k],j++;
否则 i = j, j++;
返回 min(i, j);
时间复杂度 O(n^2),其中 n 为字符串 s 的长度;
代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 int get_min(string s){ 2 int len = s.size(); 3 int i = 0, j = 1, k = 0; 4 while(i < len && j < len){ 5 if(s[i] < s[j]) j++; 6 else if(s[i] > s[j]) i = j++; 7 else{ 8 k = 0; 9 while(k < len && s[i + k] == s[j + k]){ 10 k++; 11 } 12 if(s[i + k] < s[j + k]) j++; 13 else i = j++; 14 } 15 } 16 return i < j ? i : j; 17 }
优化:
s[i + k] != s[j + k]时:
对于 s[i + k] > s[j + k], 可直接令 i += k + 1;
关于其正确性证明:
i += k + 1 可行,只需证明 1) 以 i ~ i + k 中字符为头首字符的串不可能字典序最小;
证明 1) ,只需证明 2) 对于以 i ~ i + k 开头,以 i + k 结尾的后缀,一定存在等长的子串字典序比其小;
证明 2): 任取 i <= i' <= i + k,构造子串 s[i', i + k],len = i + k - i' + 1;取与其等长子串 s[j + k - len + 1 , j + k];
显然有:s[i', i + k - 1] = s[j + k - len + 1, j + k - 1] && s[i + k] > s[j + k],所以 s[i', i + k] > s[j + k - len + 1, j + k];
所以结论 2) 得证,即结论 1) 得证;
对于 s[i + k] < s[j + k],可令 j += k + 1 ;
其正确性证明与上面类似:
j += j + 1 可行,只需证明 1) 以 j ~ j + k 中字符为头首字符的串不可能字典序最小;
证明 1) ,只需证明 2) 对于以 j ~ j + k 开头,以 j + k 结尾的后缀,一定存在等长的子串字典序比其小;
证明 2): 任取 j <= j' <= j + k,构造子串 s[j', j + k],len = j + k - j' + 1;取与其等长子串 s[i + k - len + 1 , i + k];
显然有:s[j', j + k - 1] = s[i + k - len + 1, i + k - 1] && s[j + k] > s[i + k],所以 s[j', j + k] > s[i + k - len + 1, i + k];
所以结论 2) 得证,即结论 1) 得证;
注意:若出现 i == j 的情况,则将 j 往后移一位;
时间复杂度 O(n),其中 n 为字符串 s 的长度;
代码:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 void get_min(int n, int m){//最小表示法 2 int i = 0, j = 1 ,k = 0, t; 3 while(i < m && j < m && k < m){ 4 t = a[n][(i + k) % m] - a[n][(j + k) % m]; 5 if (!t) k++; 6 else{ 7 if(t > 0) i += k + 1; 8 else j += k + 1; 9 if (i == j) j++; 10 k = 0; 11 } 12 } 13 a[n][m] = i < j ? i : j; 14 }