快速幂计算（整数快速幂/矩阵快速幂）

 

//*************快速幂计算****************************************

 

朴素算法实现：

ll get_pow(ll x, ll n)  //** (这里的n要求不小于0，如果n小于0则令n=-n，并且最终返回1.0/ans即可)
{
    ll ans=1;
    while(n--)
    {
        ans*=x%MAX;
        ans%=MAX;
    }
    return ans;
}

 

 

快速幂算法：

原理：

二分：

假设我们现在要计算pow(x,n），那么有当n为偶数时pow(x, n)==pow(x*x, n/2)，当n为奇数时，pow(x, n)==pow(x, n-1)*x, 此时n-1为偶数，可按前面的公式继续迭代；

循环往复，即可计算出答案；

 

二进制：

计算pow(x,n)，先将n转化为二进制形式，n=2^a+2^b....

例如：计算pow(x,21)，19=2^4+2^2+2^1；其中2^2可以由(2^1)*(2^1)得到，同理, 2^4可以由(2^2)*(2^2)得到；

所有有pow(x,21)==x^(2^4+2^2+2^1)，其时间复杂度为o(long2(n));

 

以上两种思路的出发点不同，不过其本质一致，代码也相同；

 

代码：

ll get_pow(ll x, ll n)  //** (这里的n要求不小于0，如果n小于0则令n=-n，并且最终返回1.0/ans即可)
{
    int ans=1;
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            ans=(ans*x)%MAX;
        }
        x=(x*x)%MAX;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

 

 

//*********************矩阵快速幂计算**********************************

矩阵快速幂和快速幂算法原理一样，只是操作对象换成了矩阵；

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=148（题目链接）

 

ac代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 2
#define mod 10000
#define ll long long
using namespace std;

struct Matrix
{
    ll x[MAXN][MAXN];
};

Matrix temp={1, 1, 1, 0};

ll n;  //***n为幂数，结果对mod取模

Matrix multi(Matrix a, Matrix b) //***矩阵乘法
{
    Matrix c;
    memset(c.x, 0, sizeof(c.x));
    for(int i=0; i<MAXN; i++)
    {
        for(int j=0; j<MAXN; j++)
        {
            for(int k=0; k<MAXN; k++)
            {
                c.x[i][j]+=(a.x[i][k]*b.x[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

ll Pow(ll n)
{
    Matrix ans;
    temp.x[0][0]=temp.x[0][1]=temp.x[1][0]=1;
    temp.x[1][1]=0;
    memset(ans.x, 0, sizeof(ans.x));
    ans.x[0][0]=ans.x[1][1]=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=multi(ans, temp);
        temp=multi(temp, temp);
        n>>=1;
    }
    return ans.x[0][1];
}

int main(void)
{
    std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    while(cin >> n && n!=-1)
    {
        cout << Pow(n)%mod << endl;
    }
    return 0;
}