斜堆、左偏树简明教程

在堆的实际应用中，我们经常要做一些堆的合并操作。

这时候，我们就需要一种新的数据结构：可并堆。

 

可并堆有很多种，例如：斜堆，左偏树，（配对堆、斐波那契堆，这两个不会说的，因为我不会）。

这里介绍两种斜堆和左偏树。

 

斜堆：

我们将根节点值较大的堆称作a，较小的堆称作b（小根堆相反）。

那么我们把a的右儿子和b合并作为新堆的右儿子，将a的左儿子作为新堆的左儿子。

那么我们会遇到这样一个情况，就是随着合并的次数增多，右儿子会变得比较大，而左儿子会变得很小。

那么我们可以想到一个显而易见的做法，那就是在每次合并后，交换左右儿子，这样下一次合并的时候就会合并到较小的子树上。

得到了这样的一个算法后，我们来考虑一下复杂度。

在不加优化的合并方式中，会出现一种情况就是几乎连成一条链，在这种形态下的单次合并复杂度会几乎达到O(N)。

而我们每次将左右儿子交换，就能保证不会出现这种情况。

因为事实上每一次新加入的元素是类似平均地加入到这棵树中（因为每次都是加到较小的子树中）。

这样就能保证合并的复杂度均摊到O（logn）了。

void merge(int rta,int rtb){
	if(size[rta]==0)return rtb;
	if(size[rtb]==0)return rta;
    if(key[rta]<key[rtb])swap(rta,rtb);
    rchild[rta]=merge(rchild[rta],rtb);
	swap(lchild[rta],rchild[rta]);
    return rta;
}

　　

 

左偏树：

顺着斜堆的想法，我们可以想到，一次合并的效率与这次合并多快能遇到【一个只有一个儿子的节点】有关（因为在递归合并两棵子树时，若一棵为空，则合并完成）。

那么我们顺着这个思路，可以定义一个值为与点i最近的【一个只有一个儿子的节点】的距离为dis(i)，并且规定每个点左儿子的dis一定比右儿子的dis大，否则交换左右儿子。

这样每个点的dis就是右儿子dis+1，dis（一个只有一个儿子的节点）=0。

合并时，与斜堆类似，递归地合并。将根节点值较小的树插到较大的树的右子树里（小根堆相反），在此过程中更新每个点的dis值，并通过交换左右儿子使它满足刚才的性质。

void merge(int rta,int rtb){
	if(size[rta]==0)return rtb;
	if(size[rtb]==0)return rta;
    if(key[rta]<key[rtb])swap(rta,rtb);
    rchild[rta]=merge(rchild[rta],rtb);
    if(dis[lchild[rta]]<dis[rchild[rta]])
	    swap(lchild[rta],rchild[rta]);
	dis[rta]=dis[rchild[rta]]+1;
    return rta;
}

 

【两种可并堆的除合并以外的操作与堆相同，不再赘述】