acm之路--母函数 by小宇
母函数又叫生成函数,原是数学上的一个名词,是组合数学中的一个重要理论。
生成函数是说,构造这么一个多项式函数g(x)。使得x的n次方系数为f(n)。
对于母函数,看到最多的是这样两句话:
1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂相应起来。”
2.“把离散数列和幂级数一 一相应起来,把离散数列间的相互结合关系相应成为幂级数间的运算关系。最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “
母函数能够解决一些问题 如 砝码问题,整数划分,等等
砝码问题:
有1克、2克、3克、4克砝码各一枚。问能称出哪几种重量?每种重量各有几种方案?
以下是用母函数解决问题的思路:
首先。我们用X表示砝码。X的指数表示砝码的重量。那么,假设用函数表示每一个砝码能够称的重量,
1个1克的砝码能够用函数X^0 + X^1表示。
1个2克的砝码能够用函数X^0 + X^2表示,
依次类推。
假设我们把上面2个多项式相乘。能够得到X^0 + X^1 + X^2 + X^3。继续把它与X^0 + X^3相乘,得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。
接着把它与X^0+X^4相乘,最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + 2*X^4 + 2*X^5 + 2*X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。
因为X的指数表示的是重量,所以。在相乘时,依据幂的运算法则(同底幂相乘,指数相加),得到的结果正是全部的方案。
并且,每一个X前面的系数代表它有几种方案。
须要注意的是,假设有2个1克的砝码,应该用X^0 + X^1 + X^2表示,而不是X^0 + 2*X^1。
整数划分是个非常经典的问题,划分规则就不再细述,直接说思路。与上面的问题相比,每种砝码的个数不再是1个。而是无限个。
于是,
1克的砝码能够用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示,
2克的砝码能够用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示。
3克的砝码能够用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示,
依次类推。
相乘后求出X^n的系数,就是结果。
以后在ACM上难免会遇到这种问题。我们仅仅需模拟两个多项式相乘就可以。
做题思路就是开两个数组。一个数组是ans[ ]。我们用来保存当前得到的多项式的各项系数,temp[ ] 则是暂时的一个数组。用来保存每次计算的暂时结果。计算完后,赋值给ans[ ] 。然后清零。进行下一次计算;
计算的时候开3层for 循环,最外层,记录它正在与第几个多项式相乘。第二层,表示c1中的每一项。第三层表示后面被乘多项式中的每一项。
练习题目有HDU 1085 HDU1398 HDU1028 HDU1171
hdu 1028 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303725
hdu 1085 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303995
hdu 1398 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303933
hdu 1171 http://blog.csdn.net/jk13171217/article/details/38303111 (具体介绍1171题)