递归实现快速幂(C++版)
快速幂是什么?
顾名思义,快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
就以a的b次方来介绍:
把b转换成二进制数,该二进制数第i位的权为
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例如:
11的二进制是1011
11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1
因此,我们将a¹¹转化为算
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如何编写快速幂代码?
以下是用C++语言编写的两种代码,可供各位参考:
1 //快速幂1(数字较小): 2 #include<bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 long long f(long long n,long long m) 5 { 6 //求的是m个n相乘,这里n是一个正整数 7 if(m==0)return 1; 8 else if(m==1)return n; 9 else if(m%2==0)return f(n*n,m/2);//偶数时的降幂 10 return f(n*n,m/2)*n;//奇数时的降幂 11 } 12 int main() 13 { 14 long long n,m; 15 cin>>n>>m; 16 cout<<f(n,m); 17 return 0; 18 }
1 //快速幂2(数字较大): 2 #include<bits/stdc++.h> 3 using namespace std; 4 int k; 5 long long f(long long n,long long m) 6 { 7 //求的是m个n相乘,这里n是一个正整数 8 if(m==0)return 1; 9 else if(m==1)return n%k; 10 else if(m%2==0)return f((n%k)*(n%k),m/2)%k;//偶数时的降幂 11 return f((n%k)*(n%k),m/2)*(n%k)%k;//奇数时的降幂 12 } 13 int main() 14 { 15 long long n,m; 16 cin>>n>>m>>k; 17 cout<<f(n,m); 18 return 0; 19 }
记住一点:数字较大的时候只要把原先的程序能模(%)的都模掉,否则数据太大,容易报表!
下面给大家一道题提升一下,如果大家有想法,可以私信我哦!(下期告诉大家参考答案)
题目描述 Description
有n头奶牛住在n个环形的牛圈,奶牛编号为0到n-1,牛圈编号也为0到n-1,i号牛住在第i号牛圈。
现在牛们想实施住宅滚动制度。每滚动一次,第0号圈的奶牛会顺时针搬到第m号牛圈中,第1号圈的奶牛会顺时针搬到第1+m号牛圈中,...,第n-m号圈的奶牛会顺时针搬到0号牛圈,
也就是说原来的第i号牛圈的奶牛会顺时针搬到i+m号牛圈。
试判断,进行了10^k轮滚动后,原来在x号圈的奶牛现在在几号牛圈。
输入描述 Input Description
一行,四个正整数,n m k x
输出描述 Output Description
10^k轮后,最初在第x个圈的奶牛所处牛圈的编号
样例输入 Sample Input
10 3 4 5
样例输出 Sample Output
5
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30%的数据,0 < k < 7;
对于 80%的数据,0 < k < 10^7;
对于 100%的数据,1 < n < 1,000,000,0 < m < n,1 <= x <=n,0 < k < 10^9。