频域分辨率与DFT，DCT，MDCT理解

搞了这么久音频算法，有些细节还没有很清楚。

比如DFT和DCT有哪些区别，DFT系数为什么会是对称的，同样帧长的数据，各自的频域分辨率是多少？

今天决定搞清楚这些问题，

首先DFT的系数对称(2N点的数据做DFT，变换系数关于N点位置对称)是因为DFT的的变换基是对0～2π分析的，因为0到π和π到2π对称所以会对称。可以参见DFT公式

而DCT的系数就不会对称(2N点的数据做DCT，变换系数不对称)是因为DCT的变换基是对0～π分析的，故不会存在变换关系，可参加DCT变换。(以DCT2型为例子)

DCT和DFT比较

 

再引用wikipedia上对DCT的解释

注意里面的解释：DCT相当于一个长度是他两倍的实偶函数DFT。那么下面的问题来了，同样长度N的信号做DCT和DFT，各自的频域分辨率是多少。

 

注意，

上面引用给出另外两个引申，

第一：DST相当于一个长度是它两倍的实奇函数DFT。

第二：MDCT相当于对交叠的数据进行DCT。

 

第二类问题：

对采样率为f hz的信号进行长度为2N的DFT分析它的频域分辨率是多少，第2N个信号表示多少hz：

答案：分辨率是f/2N。得到的第2N个频域系数，他代表的2π，也就是f Hz的信号。

对采样率为f hz的信号进行长度为2N的MDCT分析它的频域分辨率是多少，第N个信号表示多少hz（注意MDCT的输入是输出的2倍）：

答案：分辨是是f/2N。得到的第N个频域系数，他代表的π，也就是f/2 Hz的信号。

对采样率为f hz的信号进行长度为2N的DCT分析它的频域分辨率是多少,，第2N个信号表示多少hz：

答案：分辨是是f/2N。得到的第2N个频域系数，他代表的π，也就是f/2 Hz的信号。

 

蓝色：表示注意。

红色：表示不确定。

 

红色的部分我不确认我分析的结果，希望有人能给些帮助。

 

本文不含MDCT，MLT和DCT的详细区别，编码特性等等，尤其是针对MLT和MDCT建议查阅Malvar的论文。有时间另将分析。