第2章 数字之魅——寻找最大的K个数
寻找最大的K个数
问题描述
在面试中，有下面的问答：
问：有很多个无序的数，我们姑且假定它们各不相等，怎么选出其中最大的若干个数呢？
答：可以这样写：int array[100] ……
问：好，如果有更多的元素呢？
答：那可以改为：int array[1000] ……
问：如果我们有很多元素，例如1亿个浮点数，怎么办？
答：个，十，百，千，万……那可以写：float array [100 000 000] ……
问：这样的程序能编译运行么？
答：嗯……我从来没写过这么多的0 ……
分析与解法
【解法一】
当学生们信笔写下float array [10000000]，他们往往没有想到这个数据结构要如何在电脑上实现，是从当前程序的栈（Stack）中分配，还是堆（Heap），还是电脑的内存也许放不下这么大的东西？
我们先假设元素的数量不大，例如在几千个左右，在这种情况下，那我们就排序一下吧。在这里，快速排序或堆排序都是不错的选择，他们的平均时间复杂度都是O（N * log2N）。然后取出前K个，O（K）。总时间复杂度O（N * log2N）+ O（K） = O（N * log2N）。
你一定注意到了，当K=1时，上面的算法也是O（N * log2N）的复杂度，而显然我们可以通过N-1次的比较和交换得到结果。上面的算法把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有序，也不需要后N-K个数有序。
怎么能够避免做后N-K个数的排序呢？我们需要部分排序的算法，选择排序和交换排序都是不错的选择。把N个数中的前K大个数排序出来，复杂度是O（N * K）。
那一个更好呢？O（N * log2N）还是O（N * K）？这取决于K的大小，这是你需要在面试者那里弄清楚的问题。在K（K < = log2N）较小的情况下，可以选择部分排序。
算法如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findMaxK; 2 /** 3 * 寻找最大的K个数 4 * 【解法一】快速排序 5 * @author DELL 6 * 7 */ 8 public class FindMaxK1 { 9 //快速排序的一次划分 10 public static int partition(float a[], int first, int last){ 11 float temp; 12 int i,j; 13 temp = a[first]; 14 i = first; 15 j = last; 16 while(i<j){ 17 while(i<j&&a[j]<=temp){ 18 j--; 19 } 20 if(i<j) a[i++] = a[j]; 21 while(i<j&&a[i]>=temp){ 22 i++; 23 } 24 if(i<j) a[j--] = a[i]; 25 } 26 a[i] = temp; 27 return i; 28 } 29 //快速排序 30 public static void quickSort(float a[], int first, int last){ 31 if(first>=last) 32 return; 33 int i = partition(a, first, last); 34 quickSort(a, first, i-1); 35 quickSort(a, i+1, last); 36 37 } 38 //输出最大的K个数 39 public static void maxK(float a[], int k){ 40 if(k>a.length){ 41 System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！"); 42 return; 43 } 44 quickSort(a,0,a.length-1); 45 System.out.print("最大的"+k+"个数为："); 46 for(int i=0;i<k;i++){ 47 System.out.print(a[i]+" "); 48 } 49 System.out.println(); 50 } 51 public static void main(String[] args) { 52 float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3}; 53 maxK(a,3); 54 } 55 56 }
程序运行结果如下：
最大的3个数为：9.0 7.0 6.0
1 package chapter2shuzizhimei.findMaxK; 2 /** 3 * 寻找最大的K个数 4 * 【解法一】冒泡法（不全排序） 5 * @author DELL 6 * 7 */ 8 public class FindMaxK2 { 9 10 //输出最大的K个数 11 public static void maxK(float a[], int k){ 12 if(k>a.length){ 13 System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！"); 14 return; 15 } 16 int i,j; 17 float temp; 18 System.out.print("最大的"+k+"个数为："); 19 //采用冒泡排序的思想 20 for(i=0;i<k;i++){ 21 for(j=1;j<a.length-i;j++){ 22 if(a[j]<a[j-1]){ 23 temp = a[j-1]; 24 a[j-1] = a[j]; 25 a[j] = temp; 26 } 27 } 28 System.out.print(a[a.length-i-1]+" "); 29 } 30 } 31 public static void main(String[] args) { 32 float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3}; 33 maxK(a,3); 34 } 35 36 }
程序运行结果如下：
最大的3个数为：9.0 7.0 6.0
在下一个解法中，我们会通过避免对前K个数排序来得到更好的性能。
【解法二】
回忆一下快速排序，快排中的每一步，都是将待排数据分做两组，其中一组的数据的任何一个数都比另一组中的任何一个大，然后再对两组分别做类似的操作，然后继续下去……
在本问题中，假设N个数存储在数组S中，我们从数组S中随机找出一个元素X，把数组分为两部分Sa和Sb。Sa中的元素大于等于X，Sb中元素小于X。
这时，有两种可能性：
1. Sa中元素的个数小于K，Sa中所有的数和Sb中最大的K-|Sa|个元素（|Sa|指Sa中元素的个数）就是数组S中最大的K个数。
2. Sa中元素的个数大于或等于K，则需要返回Sa中最大的K个元素。
这样递归下去，不断把问题分解成更小的问题，平均时间复杂度O（N * log2K）。代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findMaxK; 2 /** 3 * 寻找最大的K个数 4 * 【解法二】递归划分 5 * @author DELL 6 * 7 */ 8 public class FindMaxK3 { 9 //快速排序的一次划分 10 public static int partition(float a[], int first, int last){ 11 float temp; 12 int i,j; 13 temp = a[first]; 14 i = first; 15 j = last; 16 while(i<j){ 17 while(i<j&&a[j]<=temp){ 18 j--; 19 } 20 if(i<j) a[i++] = a[j]; 21 while(i<j&&a[i]>=temp){ 22 i++; 23 } 24 if(i<j) a[j--] = a[i]; 25 } 26 a[i] = temp; 27 return i; 28 } 29 30 //输出最大的K个数 31 public static void maxK(float a[], int first, int last, int k){ 32 if(k>a.length){ 33 System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！"); 34 return; 35 } 36 if(k<=0) 37 return; 38 int i = partition(a,first,last); 39 if(i-first+1==k){ 40 for(int j=first;j<first+k;j++){ 41 System.out.print(a[j]+" "); 42 } 43 } 44 if(i-first+1>k) 45 maxK(a,first,i,k); 46 if(i-first+1<k){ 47 for(int j=first;j<i+1;j++){ 48 System.out.print(a[j]+" "); 49 } 50 maxK(a,i+1,last,k-(i-first+1)); 51 } 52 } 53 public static void main(String[] args) { 54 float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3}; 55 int k = 5; 56 System.out.print("最大的"+k+"个数为："); 57 maxK(a,0,a.length-1,k); 58 System.out.println(); 59 } 60 61 }
程序运行结果如下：
最大的5个数为：9.0 7.0 6.0 5.0 5.0
【解法三】
寻找N个数中最大的K个数，本质上就是寻找最大的K个数中最小的那个，也就是第K大的数。可以使用二分搜索的策略来寻找N个数中的第K大的数。对于一个给定的数p，可以在O（N）的时间复杂度内找出所有不小于p的数。假如N个数中最大的数为Vmax，最小的数为Vmin，那么这N个数中的第K大数一定在区间[Vmin, Vmax]之间。那么，可以在这个区间内二分搜索N个数中的第K大数p。伪代码如下：
1 while(Vmax - Vmin > delta) 2 { 3 Vmid = Vmin + (Vmax - Vmin) * 0.5; 4 if(f(arr, N, Vmid) >= K) 5 Vmin = Vmid; 6 else 7 Vmax = Vmid; 8 }
伪代码中f（arr, N, Vmid）返回数组arr[0, …, N-1]中大于等于Vmid的数的个数。
上述伪代码中，delta的取值要比所有N个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小。如果所有元素都是整数，delta可以取值0.5。循环运行之后，得到一个区间（Vmin, Vmax），这个区间仅包含一个元素（或者多个相等的元素）。这个元素就是第K大的元素。整个算法的时间复杂度为O（N * log2（|Vmax - Vmin| /delta））。由于delta的取值要比所有N个数中的任意两个不相等的元素差值之最小值小，因此时间复杂度跟数据分布相关。在数据分布平均的情况下，时间复杂度为O（N * log2（N））。
完整代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findMaxK; 2 /** 3 * 寻找最大的K个数 4 * 【解法三】寻找最大的K个数中最小的那个 5 * 二分搜索策略 6 * @author DELL 7 * 8 */ 9 public class FindMaxK4 { 10 /** 11 * 计算数组a中大于等于Vmid的数的个数 12 * @param a 13 * @param Vmid 14 * @return 15 */ 16 public static int f(int a[], double Vmid){ 17 int count=0; 18 for(int i=0;i<a.length;i++){ 19 if(a[i]>=Vmid) 20 count++; 21 } 22 return count; 23 } 24 25 //输出最大的K个数 26 public static void maxK(int a[], int k){ 27 if(k>a.length){ 28 System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！"); 29 return; 30 } 31 double Vmax,Vmin; 32 double Vmid; 33 Vmax = a[0]; 34 Vmin = a[0]; 35 //寻找数组中最大和最小的元素 36 for(int i=1;i<a.length;i++){ 37 if(a[i]>Vmax) 38 Vmax = a[i]; 39 if(a[i]<Vmin) 40 Vmin = a[i]; 41 } 42 while(Vmax-Vmin>0.5){ 43 Vmid =Vmin + (Vmax - Vmin)*0.5; 44 if(f(a,Vmid)>=k) 45 Vmin = Vmid; 46 else 47 Vmax = Vmid; 48 } 49 System.out.print("最大的"+k+"个数为："); 50 for(int i=0;i<a.length;i++){ 51 if(a[i]>=Vmin) 52 System.out.print(a[i]+" "); 53 } 54 System.out.println(); 55 } 56 public static void main(String[] args) { 57 int a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3}; 58 int k = 3; 59 maxK(a, k); 60 } 61 62 }
程序运行结果如下：
最大的3个数为：9 6 7
在整数的情况下，可以从另一个角度来看这个算法。假设所有整数的大小都在[0, 2m-1]之间，也就是说所有整数在二进制中都可以用m bit来表示（从低位到高位,分别用0, 1, …, m-1标记）。我们可以先考察在二进制位的第（m-1）位，将N个整数按该位为1或者0分成两个部分。也就是将整数分成取值为[0, 2m-1-1]和[2m-1, 2m-1]两个区间。前一个区间中的整数第（m-1）位为0，后一个区间中的整数第（m-1）位为1。如果该位为1的整数个数A大于等于K，那么，在所有该位为1的整数中继续寻找最大的K个。否则，在该位为0的整数中寻找最大的K-A个。接着考虑二进制位第（m-2）位，以此类推。思路跟上面的浮点数的情况本质上一样。
对于上面两个方法，我们都需要遍历一遍整个集合，统计在该集合中大于等于某一个数的整数有多少个。不需要做随机访问操作，如果全部数据不能载入内存，可以每次都遍历一遍文件。经过统计，更新解所在的区间之后，再遍历一次文件，把在新的区间中的元素存入新的文件。下一次操作的时候，不再需要遍历全部的元素。每次需要两次文件遍历，最坏情况下，总共需要遍历文件的次数为2 * log2（|Vmax - Vmin|/delta）。由于每次更新解所在区间之后，元素数目会减少。当所有元素能够全部载入内存之后，就可以不再通过读写文件的方式来操作了。
此外，寻找N个数中的第K大数，是一个经典问题。理论上，这个问题存在线性算法。不过这个线性算法的常数项比较大，在实际应用中效果有时并不好。
【解法四】
我们已经得到了三个解法，不过这三个解法有个共同的地方，就是需要对数据访问多次，那么就有下一个问题，如果N很大呢，100亿？（更多的情况下，是面试者问你这个问题）。这个时候数据不能全部装入内存（不过也很难说，说知道以后会不会1T内存比1斤白菜还便宜），所以要求尽可能少的遍历所有数据。
不妨设N > K，前K个数中的最大K个数是一个退化的情况，所有K个数就是最大的K个数。如果考虑第K+1个数X呢？如果X比最大的K个数中的最小的数Y小，那么最大的K个数还是保持不变。如果X比Y大，那么最大的K个数应该去掉Y，而包含X。如果用一个数组来存储最大的K个数，每新加入一个数X，就扫描一遍数组，得到数组中最小的数Y。用X替代Y，或者保持原数组不变。这样的方法，所耗费的时间为O（N * K）。
进一步，可以用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中最小的一个。每次新考虑一个数X，如果X比堆顶的元素Y小，则不需要改变原来的堆，因为这个元素比最大的K个数小。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶的元素Y。在X替换堆顶元素Y之后，X可能破坏最小堆的结构（每个结点都比它的父亲结点大），需要更新堆来维持堆的性质。更新过程花费的时间复杂度为O（log2K）。
图2-1是一个堆，用一个数组h[]表示。每个元素h[i]，它的父亲结点是h[i/2]，儿子结点是h[2 * i + 1]和h[2 * i + 2]。每新考虑一个数X，需要进行的更新操作伪代码如下:
1 if(X > h[0]) 2 { 3 h[0] = X; 4 p = 0; 5 while(p < K) 6 { 7 q = 2 * p + 1; 8 if(q >= K) 9 break; 10 if((q < K - 1) && (h[q + 1] < h[q])) 11 q = q + 1; 12 if(h[q] < h[p]) 13 { 14 t = h[p]; 15 h[p] = h[q]; 16 h[q] = t; 17 p = q; 18 } 19 else 20 break; 21 } 22 }
因此，算法只需要扫描所有的数据一次，时间复杂度为O（N * log2K）。这实际上是部分执行了堆排序的算法。在空间方面，由于这个算法只扫描所有的数据一次，因此我们只需要存储一个容量为K的堆。大多数情况下，堆可以全部载入内存。如果K仍然很大，我们可以尝试先找最大的K'个元素，然后找第K'+1个到第2 * K'个元素，如此类推（其中容量K'的堆可以完全载入内存）。不过这样，我们需要扫描所有数据ceil （K/K'）次。
完整代码如下：
1 package chapter2shuzizhimei.findMaxK; 2 /** 3 * 寻找最大的K个数 4 * 【解法四】 5 * 采用堆遍历一遍数组 6 * @author DELL 7 * 8 */ 9 public class FindMaxK5 { 10 11 //输出最大的K个数 12 public static void maxK(float a[], int k){ 13 if(k>a.length){ 14 System.out.println("k的值有误，不能大于数组长度！"); 15 return; 16 } 17 float b[] = new float[k]; 18 float temp; 19 //建小根堆 20 b[0] = a[0]; 21 for(int i=1;i<k;i++){ 22 int j = i-1; 23 if(a[i]>=b[j/2]){ 24 b[j+1]=a[i]; 25 }else{ 26 int p = j/2; 27 int q = p/2; 28 b[j+1]=b[p]; 29 b[p] = a[i]; 30 while(p!=0&&b[p]<b[q]){ 31 temp = b[q]; 32 b[q] = b[p]; 33 b[p] = temp; 34 p = q; 35 q = p/2; 36 } 37 } 38 } 39 for(int i=k;i<a.length;i++){ 40 if(a[i]>b[0]){ 41 b[0]=a[i]; 42 //调整堆 43 int p = 0; 44 while(p<k){ 45 int q = 2*p+1; 46 if(q>=k) 47 break; 48 if(q<k-1&&b[q+1]<b[q]) 49 q = q+1; 50 if(b[p]>b[q]){ 51 temp = b[p]; 52 b[p] = b[q]; 53 b[q] = temp; 54 p=q; 55 }else{ 56 break; 57 } 58 } 59 } 60 } 61 System.out.print("最大的"+k+"个数为："); 62 for(int i=0;i<k;i++){ 63 System.out.print(b[i]+" "); 64 } 65 System.out.println(); 66 } 67 public static void main(String[] args) { 68 float a[] = {9,5,4,3,5,6,7,1,3}; 69 int k = 5; 70 maxK(a, k); 71 } 72 73 }
程序运行结果如下：
最大的5个数为：5.0 6.0 5.0 9.0 7.0
【解法五】
上面类快速排序的方法平均时间复杂度是线性的。能否有确定的线性算法呢？是否可以通过改进计数排序、基数排序等来得到一个更高效的算法呢？答案是肯定的。但算法的适用范围会受到一定的限制。
如果所有N个数都是正整数，且它们的取值范围不太大，可以考虑申请空间，记录每个整数出现的次数，然后再从大到小取最大的K个。比如，所有整数都在（0, MAXN）区间中的话，利用一个数组count[MAXN]来记录每个整数出现的个数（count[i]表示整数i在所有整数中出现的个数）。我们只需要扫描一遍就可以得到count数组。然后，寻找第K大的元素：
代码清单2-14
1 for(sumCount = 0, v = MAXN - 1; v >= 0; v--) 2 { 3 sumCount += count[v]; 4 if(sumCount >= K) 5 break; 6 } 7 return v;
极端情况下，如果N个整数各不相同，我们甚至只需要一个bit来存储这个整数是否存在。
当实际情况下，并不一定能保证所有元素都是正整数，且取值范围不太大。上面的方法仍然可以推广适用。如果N个数中最大的数为Vmax，最小的数为Vmin，我们可以把这个区间[Vmin, Vmax]分成M块，每个小区间的跨度为d =（Vmax - Vmin）/M，即 [Vmin, Vmin+d], [Vmin + d, Vmin + 2d],……然后，扫描一遍所有元素，统计各个小区间中的元素个数，跟上面方法类似地，我们可以知道第K大的元素在哪一个小区间。然后，再对那个小区间，继续进行分块处理。这个方法介于解法三和类计数排序方法之间，不能保证线性。跟解法三类似地，时间复杂度为O（（N+M）* log2M（|Vmax - Vmin|/delta））。遍历文件的次数为2 * log2M（|Vmax - Vmin|/delta）。当然，我们需要找一个尽量大的M，但M取值要受内存限制。
在这道题中，我们根据K和N的相对大小，设计了不同的算法。在实际面试中，如果一个面试者能针对一个问题，说出多种不同的方法，并且分析它们各自适用的情况，那一定会给人留下深刻印象。
注：本题目的解答中用到了多种排序算法，这些算法在大部分的算法书籍中都有讲解。掌握排序算法对工作也会很有帮助。
