二叉堆

在计算机科学中，堆（Heap）是一种基于树（Tree）的特殊的数据结构。堆需要满足堆特性（Heap Property）：如果节点 A 是节点 B 的父节点，则节点 A 中的键值与节点 B 中的键值的比较顺序关系将适用于堆中的所有节点。也就是可以总结为两种情况。

• 父节点的键值大于等于子节点的键值 A(Parent(i)) ≥ A[i] ，则根节点的键值为堆中的最大值。这种类型的堆叫做最大堆（Max Heap）。
• 父节点的键值小于等于子节点的键值 A(Parent(i)) ≤ A[i]，则根节点的键值为堆中的最小值。这种类型的堆叫做最小堆（Min Heap）。

由于堆中的最大值或最小值总是被存储在根节点（Root Node）中，所以名字称为堆。堆不是一种排序的数据结构，可认为是部分排序的结构。从堆的图形结构来看，在相同层级中的节点间没有任何特定的关系，即使是兄弟节点。

堆经常被应用于优先队列（Priority Queue），当你需要找到队列中最高优先级或者最低优先级的元素时，使用堆结构可以帮助你快速的定位元素。

堆实现与基本操作

常见的堆实现为二叉堆（Binary Heap），其实际上是一颗二叉树（Binary Tree），并且是一颗完全二叉树（Complete Binary Tree）。如下图中展示了一个完全二叉的最大堆。

当堆被实现为完全二叉树时，其高度为最小高度。如果堆中有 n 个节点，则最小高度为 Θ(lg n)。

实现堆结构时通常使用数组结构（Array），并且元素间不需要指针引用。使用完全二叉树或者满二叉树实现堆时可以保持最优的空间效率。通常第一个元素或最后一个元素将保存根节点，根节点后紧跟着其两个子节点，两个子节点后将紧跟着 4 个这两个子节点的子节点，以此类推。因此，在一个以 0 为起点的数组中，位置 i 处的节点的子节点的位置将位于 2i+1 和 2i+2 处。平衡一个堆的操作将使用元素互换的方式，所以对堆进行排序无需使用额外的空间，堆排序（heapsort）即是用了这种就地排序（In-Place）的方式。

堆排序

堆排序（Heap Sort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。二叉堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树。树中每个节点与数组中存放该节点值的那个元素对应。在堆排序算法中，我们使用最大堆。

堆节点的访问

通常堆是通过一维数组来实现的。在数组起始为 0 的情形中，如果 i 为当前节点的索引，则有

• 父节点在位置 floor((i-1)/2)；
• 左子节点在位置 (2*i+1)；
• 右子节点在位置 (2*i+2)；

堆的操作

在堆的数据结构中，堆中的最大值总是位于根节点。堆中定义以下几种操作：

• 最大堆调整（Max-Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点，保持最大堆性质的关键。运行时间为 O(lg n)。
• 创建最大堆（Build-Max-Heap）：在无序的输入数组基础上构造出最大堆。运行时间为 O(n)。
• 堆排序（HeapSort）：对一个数组进行原地排序，卸载位在第一个数据的根节点，并做最大堆调整的递归运算。运行时间为 O(n*lg n)。
• 抽取最大值（Extract-Max）：相当于执行一次最大堆调整，最大值在根处。运行时间为 O(lg n)。

算法复杂度

• 最差时间复杂度 O(n*logn)
• 平均时间复杂度 Θ(n*logn)
• 最优时间复杂度 O(n*logn)
• 最差空间复杂度 O(n)，辅助空间 O(1)

示例代码

  class Program
  {
    static void Main(string[] args)
    {
      int[] unsorted = { 4, 9, 5, 2, 6, 3, 7, 1, 8 };

      HeapSortByMaxHeap(unsorted);

      foreach (var key in unsorted)
      {
        Console.Write("{0} ", key);
      }

      Console.Read();
    }

    static void HeapSortByMaxHeap(int[] unsorted)
    {
      // build the heap in array so that largest value is at the root
      BuildMaxHeap(unsorted);

      // swap root node and the last heap node
      for (int i = unsorted.Length - 1; i >= 1; i--)
      {
        // array[0] is the root and largest value. 
        // the swap moves it in front of the sorted elements
        int max = unsorted[0];
        unsorted[0] = unsorted[i];
        unsorted[i] = max; // now, the largest one is at the end

        // the swap ruined the heap property, so restore it
        // the heap size is reduced by one
        MaxHeapify(unsorted, 0, i - 1);
      }
    }

    static void BuildMaxHeap(int[] unsorted)
    {
      // put elements of array in heap order, in-place
      // start is assigned the index in array of the last parent node
      // the last element in 0-based array is at index count-1; 
      // find the parent of that element
      for (int i = (unsorted.Length / 2) - 1; i >= 0; i--)
      {
        // move a node down in the tree, as long as needed
        // shift down the node at index start to the proper place 
        // such that all nodes below the start index are in heap order
        MaxHeapify(unsorted, i, unsorted.Length - 1);
      }
      // after shifting down the root all nodes/elements are in heap order
    }

    static void MaxHeapify(int[] unsorted, int root, int bottom)
    {
      int rootValue = unsorted[root];
      int left = root * 2 + 1; // start from left child

      // while the root has at least one child
      while (left <= bottom)
      {
        // has more children
        if (left < bottom)
        {
          // if there is a right child and that child is greater
          if (unsorted[left] < unsorted[left + 1])
          {
            left = left + 1;
          }
        }

        // compare root and the older children
        if (rootValue < unsorted[left])
        {
          // swap
          unsorted[root] = unsorted[left];
          root = left;

          // repeat to continue sifting down the child now
          left = root * 2 + 1; // continue from left child
        }
        else
        {
          left = bottom + 1;
        }
      }

      unsorted[root] = rootValue;
    }

    static void HeapSortByMinHeap(int[] unsorted)
    {
      BuildMinHeap(unsorted);

      for (int i = unsorted.Length - 1; i >= 1; i--)
      {
        int min = unsorted[0];
        unsorted[0] = unsorted[i];
        unsorted[i] = min;

        MinHeapify(unsorted, 0, i - 1);
      }

      // reverse
      for (int i = 0; i < (unsorted.Length / 2); i++)
      {
        int t = unsorted[i];
        unsorted[i] = unsorted[unsorted.Length - 1 - i];
        unsorted[unsorted.Length - 1 - i] = t;
      }
    }

    static void BuildMinHeap(int[] unsorted)
    {
      for (int i = (unsorted.Length / 2) - 1; i >= 0; i--)
      {
        MinHeapify(unsorted, i, unsorted.Length - 1);
      }
    }

    static void MinHeapify(int[] unsorted, int root, int bottom)
    {
      int rootValue = unsorted[root];
      int left = root * 2 + 1; // start from left child

      // while the root has at least one child
      while (left <= bottom)
      {
        // has more children
        if (left < bottom)
        {
          // if there is a right child and that child is smaller
          if (unsorted[left] > unsorted[left + 1])
          {
            left = left + 1;
          }
        }

        // compare root and the older children
        if (rootValue > unsorted[left])
        {
          // swap
          unsorted[root] = unsorted[left];
          root = left;

          // repeat to continue sifting down the child now
          left = root * 2 + 1; // continue from left child
        }
        else
        {
          left = bottom + 1;
        }
      }

      unsorted[root] = rootValue;
    }
  }

参考资料

• Heap (data structure)
• A Generic BinaryHeap Class
• Min Heap Implementation for Dijkstra algorithm
• C5 generic collection library for C#/.NET
• Ocromancer - an OCR system
• Priority queue in .Net

本文《二叉堆》由 Dennis Gao 发表自博客园博客，任何未经作者本人允许的人为或爬虫转载均为耍流氓。