网络流(三)最大流最小割定理

传送门:

网络流(一)基础知识篇

网络流(二)最大流的增广路算法

网络流(三)最大流最小割定理

网络流(四)dinic算法

网络流(五)有上下限的最大流

网络流(六)最小费用最大流问题

转载:https://blog.csdn.net/w417950004/article/details/50538948

割(CUT)是网络中顶点的划分,它把网络中的所有顶点划分成两个顶点的集合源点S和汇点T。记为CUT(S,T)。

如下图:源点:s=1;汇点:t=5。框外是容量,框内是流量

 

 

如下图是一个图的割。顶点集合S={1,2,3}和T={4,5}构成一个割。

           

如果一条弧的两个顶点分别属于顶点集S和T那么这条弧称为割CUT(S,T)的一条割边。  从S指向T的割边是正向割边,从T指向S的割边是逆向割边。如上图正向割边:

1->2;3->5      逆向割边:2->3。

割CUT(S,T)中所有正向割边的容量和称为割的容量。不同的个的容量不同。如上图割的容量为4+4=8;割的正向流量:4+2=6    逆向割的流量:1。

定理一:如果f是网络中的一个流,CUT(S,T)是任意一个割,那么流量f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。

推理提示:如果V既不是源点也不是汇点,那么:f({V},S∪T)-f(S∪T,{V})=0; 任何一个点,流入的与流出的量相等。

        结论:f= f(S,T)- f(T,S)<=f(S,T)<=割CUT(S,T)的容量 。 

推论1:如果f是网络中的一个流,CUT(S,T)是一个割,那么f的值不超过割CUT(S,T)的容量。

推论2:网络中的最大流不超过任何割的容量 

 

定理2: 在任何网络中,如果f是一个流,CUT(S,T)是一个割,且f的值等于割CUT(S,T)的容量,那么f是一个最大流,CUT(S,T)是一个最小割(容量最小的割)。

 

 

定理3:最大流最小割定量: 在任何的网络中,最大流的值等于最小割的容量。

结论1:最大流时,最小割cut(S,T)中,正向割边的流量=容量,逆向割边的流量为0。否则还可以增广。

结论2:在最小割中cut(S,T)中:

                         ① 源点s∈S。

                         ② 如果i∈S,结点j满足:有弧<i,j>,并且c[I,j]>f[I,j]  或者有弧<j,i>并且f[j,i]>0,那么j∈S。//否则不是最小割

                         即从s出发能找到的含有残留的点组成集合S。其余的点组成集合T。

posted @ 2018-04-16 13:11  _努力努力再努力x  阅读(1740)  评论(0编辑  收藏  举报