素数

1、素性测试

bool is_prime(int x)
{
    for(int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if(n % i == 0)return false;
    }
    return x != 1;//x等于1是特例
}

2、约数枚举

vector<int> divisor(int n)
{
    vector<int>res;
    for(int i = 1; i * i <= n; i++)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i != n / i)res.push_back(n / i);
        }
    }
    return res;
}

3、整数分解

map<int, int> prime_factor(int n)
{
    map<int, int>cnt;
    for(int i = 2; i * i <= n; i++)
    {
        while(n % i == 0)
        {
            ++cnt[i];
            n /= i;
        }
    }
    if(n != 1)cnt[n] = 1;
    return cnt;
}

4、埃氏筛法

打表出10^6以内的素数

const int maxn = 1000000+10;
int prime[maxn];
bool is_prime[maxn];
int sieve(int n)//返回n以内素数的个数
{
    int p = 0;
    for(int i = 0; i <= n; i++)is_prime[i] = 1;
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for(ll i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[p++] = i;
            for(ll j = i * i; j <= n; j += i)is_prime[j] = 0;//这里涉及i*i,必须使用long long
        }
    }
    return p;
}

5、区间筛法

给定整数a和b，请问区间[a,b]内有多少个素数？

a< b<=10^12

b-a<=10^6

b以内的合数的最小质因数一定不超过sqrt(b)。如果有sqrt(b)以内的素数表的话，就可以把埃式筛法运用在[a,b]上了。也就是说，先分别做好[2,sqrt(b)]的表和[a,b]的表，然后从[2,sqrt(b)]的表中筛得素数的同时，也将其倍数从[a,b]的表中划去，最后剩下的就是区间[a,b]内的素数了。

typedef long long ll;
const int maxn = 1000000+10;
bool is_prime[maxn];//这是ab区间上的素数
bool is_prime_small[maxn];//这是(2,根号b)区间的素数
int sum_prime(ll a, ll b)//[a, b]区间内素数筛选
{
    for(ll i = 0; i * i <= b; i++)is_prime_small[i] = 1;
    for(ll i = 0; i <= b - a; i++)is_prime[i] = 1;
    if(a < 2)a = 2;//注意这里
    for(ll i = 2; i * i <= b; i++)
    {
        if(is_prime_small[i])//如果是小区间上的素数那就直接筛选小区间和大区间
        {
            for(ll j = 2 * i; j * j <= b; j += i)is_prime_small[j] = 0;//筛选小区间

            for(ll j = max(2LL, (a + i - 1) / i) * i; j <= b; j += i)//j初始化的时候是ab区间中第一个i的倍数
                is_prime[j - a] = 0;
        }
    }
    int sum = 0;
    for(ll i = 0; i <= b - a; i++)if(is_prime[i])sum++;
    return sum;
}