最小生成树之prim算法
MST（Minimum Spanning Tree，最小生成树）问题有两种通用的解法，Prim算法就是其中之一，它是从点的方面考虑构建一颗MST，大致思想是：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。
Prim算法适用于稠密图 Kruskal适用于稀疏图
用图示和代码说明：
初始状态：
设置2个数据结构：
lowcost[i]:表示以i为终点的边的最小权值,当lowcost[i]=0说明以i为终点的边的最小权值=0,也就是表示i点加入了MST
mst[i]:表示对应lowcost[i]的起点，即说明边<mst[i],i>是MST的一条边，当mst[i]=0表示起点i加入MST
我们假设V1是起始点，进行初始化（*代表无限大，即无通路）：
lowcost[2]=6，lowcost[3]=1，lowcost[4]=5，lowcost[5]=*，lowcost[6]=*
mst[2]=1，mst[3]=1，mst[4]=1，mst[5]=1，mst[6]=1，（所有点默认起点是V1）
明显看出，以V3为终点的边的权值最小=1，所以边<mst[3],3>=1加入MST
此时，因为点V3的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=5，lowcost[5]=6，lowcost[6]=4
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=1，mst[5]=3，mst[6]=3
明显看出，以V6为终点的边的权值最小=4，所以边<mst[6],6>=4加入MST
此时，因为点V6的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=2，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=6，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V4为终点的边的权值最小=2，所以边<mst[4],4>=4加入MST
此时，因为点V4的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=5，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=6，lowcost[6]=0
mst[2]=3，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=3，mst[6]=0
明显看出，以V2为终点的边的权值最小=5，所以边<mst[2],2>=5加入MST
此时，因为点V2的加入，需要更新lowcost数组和mst数组：
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=3，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=2，mst[6]=0
很明显，以V5为终点的边的权值最小=3，所以边<mst[5],5>=3加入MST
lowcost[2]=0，lowcost[3]=0，lowcost[4]=0，lowcost[5]=0，lowcost[6]=0
mst[2]=0，mst[3]=0，mst[4]=0，mst[5]=0，mst[6]=0
至此，MST构建成功，如图所示：
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 #include<queue> 7 #include<stack> 8 #include<map> 9 #include<sstream> 10 using namespace std; 11 typedef long long ll; 12 const int maxn = 2e3 + 10; 13 const int INF = 1 << 30; 14 int dir[4][2] = {1,0,0,1,-1,0,0,-1}; 15 int T, n, m, x; 16 int Map[maxn][maxn];//存图 17 int lowcost[maxn], mst[maxn]; 18 void prim(int u)//最小生成树起点 19 { 20 int sum_mst = 0;//最小生成树权值 21 for(int i = 1; i <= n; i++)//初始化两个数组 22 { 23 lowcost[i] = Map[u][i]; 24 mst[i] = u; 25 } 26 mst[u] = -1;//设置成-1表示已经加入mst 27 for(int i = 1; i < n; i++)//此处只需要迭代n-1次即可 28 { 29 int minn = INF; 30 int v = -1; 31 //在lowcost数组中寻找未加入mst的最小值 32 for(int j = 1; j <= n; j++) 33 { 34 if(mst[j] != -1 && lowcost[j] < minn) 35 { 36 v = j; 37 minn = lowcost[j]; 38 } 39 } 40 if(v != -1)//v=-1表示未找到最小的边, 41 {//v表示当前距离mst最短的点 42 printf("%d %d %d\n", mst[v], v, lowcost[v]);//输出路径 43 mst[v] = -1; 44 sum_mst += lowcost[v]; 45 for(int j = 1; j <= n; j++)//更新最短边 46 { 47 if(mst[j] != -1 && lowcost[j] > Map[v][j]) 48 { 49 lowcost[j] = Map[v][j]; 50 mst[j] = v; 51 } 52 } 53 } 54 } 55 printf("weight of mst is %d\n", sum_mst); 56 } 57 int main() 58 { 59 cin >> n >> m; 60 memset(Map, 0, sizeof(Map)); 61 for(int i = 1; i <= m; i++) 62 { 63 int u, v, w; 64 cin >> u >> v >> w; 65 Map[u][v] = Map[v][u] = w; 66 } 67 for(int i = 1; i <= n; i++) 68 { 69 for(int j = 1; j <= n; j++) 70 { 71 if(i == j)Map[i][j] = 0; 72 else if(!Map[i][j])Map[i][j] = INF; 73 } 74 } 75 prim(1); 76 return 0; 77 }
输入：
7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24
输出：
1 6 10
6 5 25
5 4 22
4 3 12
3 2 16
2 7 14
weight of mst is 99
