数制转换及其计算方式

我们通常习惯的“十进制”：逢十进一。例如：

  还有 

但是，在电脑中，“十进制”是不吃香的。换句话说，由于为了使电脑的物理构造更加简单可靠，电脑被设计成“只了解二进制”的工作模式。

二进制

所谓“二进制”，简而言之：逢二进一。

例如，上例的算式，在电脑中就被表示为如下形式：

123，被表示为二进制，其（整除）计算过程如下所示：

考虑到一个字节是8个二进制位，所以我们在“最高位”也就是“第7位”上补0，形成如下最终答案：

同理，56的转换如下：

56的二进制表示如下：

再看加法的过程，注意：逢二进一！

那么，二进制的10110011表示为十进制，应该是多少呢？计算过程如下：

上述这个式子被称为“按权展开式”；按权展开式所得到的结果，一定是10进制的值。

自己算算看，答案是多少？

根据按权展开式，我们总是可以得到“任何进制数所对应的十进制值”。

八进制和十六进制

无论是八进制或是十六进制，都不是电脑所能“理解”的。那为什么需要这两种进制呢？原因是，八进制和十六进制能够有效地提高二进制计算的效率。

换句话说，八进制或十六进制能够很方便地和二进制进行相互转换。

先来说说八进制：

八进制“逢8进一”。注意到：3个二进制位正好能表达1个八进制位的信息。1个八进制位有共8种状态，对应的3个二进制位是 所以，八进制和二进制的转换方式是十分简单的：3个二进制位转换成对应的1个八进制位。

举例来说，二进制到八进制的转换如下图所示：

其中，每3位二进制数转换为1位八进制数。注意到上图二进制数中，最左侧的0是我们手动补上去的，为的是凑足3个数进行转换。同理，我们有下图：

把上述转换得到的2个八进制数相加；

按权展开，验算一下：

这与十进制数计算的答案是相符的。说明我们的八进制运算是正确的。

最后，我们也可以把八进制转为二进制，得到二进制的答案：

（和先前的二进制形式的计算结果是相符的）

由上运算过程可见，八进制的表示法，比二进制的表示法来得方便。（尽管电脑不认识八进制，但是可以提高我们手工计算的速度。）

再来看看十六进制：

这和八进制的形式很相似。只不过：

十六进制“逢16进一”。1个十六进制位对应的数值表示是：0～9,A,B,C,D,E,F；其中，A,B,C,D,E,F分别对应十进制的10,11,12,13,14,15。我们注意到：4个二进制位正好能表达1个十六进制位的信息。1个十六进制位有共16种状态，对应的4个二进制位是  所以，十六进制和二进制的转换方式是十分简单的：4个二进制位转换成对应的1个十六进制位。

以上题为例，我们再用十六进制做个转换计算的例子：

另一个数：

二者相加：

按权展开，得到：

同样地，我们也可以很方便地把上述十六进制的值再转为二进制的表达形式：（1位十六进制扩展为4位二进制）

由上运算过程可见，十六进制的表示法，比二进制的表示法来得方便。（尽管电脑也不认识十六进制，但是它却可以提高我们手工计算的速度。）

至此，我们完整地讨论了二进制、八进制、十进制、十六进制之间的转换问题。在具体的计算和转换过程中，需要灵活掌握和运用。

特别地，由于时间关系，本文只讨论了加法的问题。至于减法，读者可以根据文中所述的原理，自己推算一下。

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