poj1830--高斯消元

http://poj.org/problem?id=1830

    某些开关的动作可能影响另一些开关的状态,因此以开关为节点，如果存在这种关系就加入一条有向边（开始我想成对称的了，浪费了很多时间- -），这样就构成了一个图，可以用邻接矩阵表示（但是要转置一下，后面细说）。当某个开关按下时，其自身状态改变，受其影响的开关的状态也改变。

    用两个N维向量表示初始状态和结束状态，两者逐个元素异或，就得到了开关状态的变化。

    以第一个样例输入为例分析，3个开关，两两相连，初始状态000，最终状态111，开关对应的邻接矩阵为

将对角线的0全部换成1，得矩阵A=

将矩阵每一列想象为一个开关按下后产生的效果（1表示状态翻转，0表示不变），比如，第二列就表示按下第二个开关，则第二个开关的本身状态要改变（这就是把对角线0换成1的原因），受第二个开关影响的开关j状态也要改变，恰好对应邻接矩阵中A[j, 2]=1

    把A写成分块矩阵的形式，每一列作为一个子矩阵，则有A=[a₁, a₂, a₃],此处a_i均为列

向量，设第i个开关按下次数为x_i，x_i=0或1（开关按两下和没按是等效的，0/1就够了）

记初始状态b0=[0,0,0],最终状态b1=[1,1,1],则状态变化b=b0^b1=[1,1,1],这里b也是列

向量。目标就是求x₁a₁  + x₂a₂ +x₃a₃ = b的解的个数（此处的加是模2加，也就是异或，下同）

    这个方程可以写成

 

 

    下面就是解这个线性方程组

    对增广矩阵[A b]做初等行变换，化成阶梯形（高斯消元法），如果存在[0,0,…,0,1]的行，就是无解；如果存在r行[0,0,…,0,0]，就意味着有r个自由变量，因为这里的变量只取0/1，所以有2^r个解；如果不存在[0,0,…,0,*]，即把最后一行去掉后不存在全0行，则A为

满秩矩阵，则方程组有唯一解。

    如果不理解这个地方，建议找本线性代数书，看一下线性方程组的解法，解的结构，通解

    下面是我写的代码，能用，但很丑陋，自己都不忍心看，但懒得改了，至少暂时是不想改了

//poj1830--线性方程组高斯消元
//开关问题--xor
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int b[35];
int A[35][35];
void elem_trans(int N){//对N*(N+1)的增广矩阵做行初等变换
    for (int r = 0, col = 0; r < N - 1 && col <= N;) {//对前n-1行
        if (A[r][col] == 0) {//可能需要做行交换
            int i;
            for (i = r + 1; i < N; i++) {//从下一行开始找
                if (A[i][col] == 1) {
                    for (int j = col; j <= N; j++) {//行交换
                        swap(A[i][j], A[r][j]);
                    }
                    break;
                }
            }
            if (i == N) {//如果这一列下面所有的都为0
                col++;//指针移到下一列
                continue;
            }//else i != N,表示是break出来的，已经做完行交换
        }
        //assert A[r][col] == 1
        for (int r2 = r + 1; r2 < N; r2++) {//用第r行对下面的行消元
            if (A[r2][col] == 1) {
                for (int j = col; j <= N; j++) {
                    A[r2][j] ^= A[r][j];
                }
            }
        }
        r++, col++;
    }
}
bool is_equal(int *x, int begin, int end, int val){
    for (int i = begin; i < end; i++) {
        if (x[i] != val) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int calc(int N){
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        if (is_equal(A[i], 0, N, 0)) {
            for (int j = i; j < N; j++) {
                if (A[j][N] == 1) {
                    return -1;//impossible
                }
            }
            return 1 << (N - i);//pow(2, N - i);//有解，且有N-i个自由变量
        }
    }
    return 1;
}

int main(int argc, const char *argv[])
{
    int K, N;
    scanf("%d", &K);//K组测试数据
    for (int i = 0; i < K; i++) {
        scanf("%d", &N);//N个开关
        memset(b, 0, sizeof(b));
        memset(A, 0, sizeof(A));
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            scanf("%d", &b[j]);
        }
        for (int j = 0, tmp; j < N; j++) {
            scanf("%d", &tmp);
            b[j] ^= tmp;//b是初始状态和最终状态的异或，即状态的变化
        }
        int s, t;
        while (scanf("%d%d", &s, &t) != EOF && s != 0) {
            A[t - 1][s - 1] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            A[j][j] = 1;
            A[j][N] = b[j];//将b放到最后一列构成增广矩阵
        }
        elem_trans(N);
        int res = calc(N);
        if (res < 0) {
            printf("Oh,it's impossible~!!\n");
        }else{
            printf("%d\n", res);
        }
    }
    return 0;
}