数理方程:Fourier级数
更新:25 MAR 2016
对于周期函数(周期为\(2\pi\))或定义在\([-\pi,\pi]\)上的函数\(f(x)\),可以展开为*
\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad n=0,1,2,…\)
则系数为
\(\large a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos nx dx\)
\(\large b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\sin nx dx\)
对于周期函数(周期为\(2l\))或定义在\([-l,l]\)上的函数\(f(x)\),
\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x\right)\)
则系数为
\(\large a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cdot\cos\frac{n\pi}{l}xdx\)
\(\large b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cdot\sin\frac{n\pi}{l}xdx\)
对于定义在\([0,l]\)上的函数\(f(x)\),展成Fourier级数,需要用到延拓的概念,此时可以选择奇延拓(展成正弦函数)或偶延拓(展成余弦函数)
奇延拓(展成正弦函数)
\(\large f(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi}{l}x\)
\(\large b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cdot\sin\frac{n\pi}{l}xdx\)
偶延拓(展成余弦函数)
\(\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi}{l}x\)
\(\large a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cdot\cos\frac{n\pi}{l}xdx\)
* 展开有条件(Dirichlet条件),此处不详细说明。对于一般数学物理方程基本适用。