数理方程：三类常见齐次方程及其通解
更新：25 MAR 2016
一维弦振动方程
方程形式
\(\large \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\quad\normalsize (0<x<l,\quad t>0)\)
其中\(a\)为正实数。
分离变量
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)
\(\large \dfrac{X’’}{X}=\dfrac{T’’}{a^2T}=-\lambda, \quad\normalsize \lambda=\beta^2>0\)
位移函数通解
\(\large X(x)=A\cos\beta x+B\sin\beta x\)
\(A, B, \beta\)由边界条件求出。
相位函数通解
\(\large T(t)=C\cos\beta t+D\sin\beta t\)
\(C, D\)由利用初始条件对\(u(x,t)\)作Fourier展开求得。
齐次边界条件：两端固定
\(\large \left. u\right|_{x=0}=\left. u\right|_{x=l}=0\)
此时由两个边界条件分别可以得到
\(\large A=0, B\neq 0\)
\(\large \beta=\dfrac{n\pi}{l}\)
一维热传导方程
方程形式
\(\large \dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\quad\normalsize (0<x<l,\quad t>0)\)
其中\(a\)为正实数。
分离变量
\(u(x,t)=X(x)T(t)\)
\(\large \dfrac{X’’}{X}=\dfrac{T’}{a^2T}=-\lambda, \quad\normalsize \lambda=\beta^2>0\)
位移函数通解
\(\large X(x)=A\cos\beta x+B\sin\beta x\)
\(A, B, \beta\)由边界条件求出。
相位函数通解
\(\large T(t)=Ce^{-\beta^2 a^2 t}\)
\(C\)由初始条件得到。
齐次边界条件：两端固定
\(\large \left. u\right|_{x=0}=\left. u\right|_{x=l}=0\)
此时由两个边界条件分别可以得到
\(\large A=0, B\neq 0\)
\(\large \beta=\dfrac{n\pi}{l}\)
二维Laplace方程·方域
方程形式
\(\large \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\quad\normalsize (0<x<a,\quad 0<y<b)\)
分离变量
\(\large u(x,y)=X(x)Y(y)\)
\(\large \dfrac{X’’}{X}=-\dfrac{Y’’}{Y}=\lambda\)
二维Laplace方程·圆域
方程形式
\(\large \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho\dfrac{\partial u}{\partial \rho}\right)+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0,\quad\normalsize \rho<\rho_0,\quad 0\leqslant\theta<2\pi\)
分离变量
\(\large u(\rho,\theta)=R(\rho)\Phi(\theta)\)
\(\large \dfrac{\rho^2 R’’+\rho R’}{R}=-\dfrac{\Phi’’}{\Phi}=-\lambda\)
自然边界条件
\(\large |R(0)|<+\infty\)
\(\large \Phi(\theta+2\pi)=\Phi)(\theta)\)
注意：第一条在非圆内情况下不适用；第二条在扇形域不适用
角度函数通解
当\(\lambda=0\)
\(\large \Phi_0(\theta)=a_0’\)
当\(\lambda=n^2>0, n=1,2,3,…\)
\(\large \Phi_n(\theta)=a_n’\cos n\theta+b_n’\sin n\theta\)
此时以及使用了边界的重复性，导致了特征值的分立
径向函数通解
当\(\lambda=0\)
\(\large R_0(\rho)=c_0+d_0\ln\rho\)
当\(\lambda=n^2>0, n=1,2,3,…\)
\(\large R_n(\rho)=c_n\rho^n+d_n\rho^{-n}\)
再利用边界条件可以使所有\(d_n=0\)（注意若不是圆内，例如圆外或环内则不能如此确定)
\(\large R_n=c_n\rho^n\)
通解
\(\large u(\rho,\theta)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\rho^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)\)
