输出和为n的所有的连续自然数序列

 

输出和为n的所有的连续自然数序列

如 n = 9：

 9

 4 5

 2 3 4

 

《编程之美》的题目（2.21只考加法的面试题），去年曾经写过本题的代码，后来不知道把代码放哪里了。按以前的思路，重写了下代码，写完后翻了下书，结果发现与书上要求的还不一样。

 

假设，拆分成的数列为：m, m+1, … m+k-1

则 n = (m + m + k - 1) * k / 2 或 2*n = (2*m + k - 1) * k

 

显然就是求2*n的所有因子，最简单的方法就是暴力搜索：

 

对公式2*n = (2*m + k - 1) * k 进行转变，可得下面几种方法：

 

方法一：

   2*m + k – 1 = 2 * n / k

  从k = 1 开始判断 k 是否是 2 * n的因子，当 k > 2 * n / k 时终止

   （由于2*m + k – 1和 k奇偶性相反，输出结果前还要判断k与2 * n / k是否奇偶性相反）

循环次数约为：sqrt(2*n)

 

方法二：

  m = (n – k * (k - 1) / 2) / k > 0

  从k = 1 开始判断 k 是否是(n – k * (k - 1) / 2)的因子，当m <= 0时终止

循环次数约为：sqrt(2*n)

 

上面两种方法，效率相差不大，并且都不高，对 n = 2^30，这种不能拆分的数，要进行大量的计算。注意到2*m + k – 1和 k奇偶性相反，可以先将2 * n的所有质因子2提取出来，假设总共有t个2，则 2 * n = 2^t * nn（nn为奇数），问题转为求nn的所有因子，假设nn = a * b (a <= b)，由于 2 * m + k – 1 一定大于k，由2 * n = 2^t * a * b可得两组2*n的两组因子(2^t * a, b) 和 (a, 2^t * b) 这两组数中，较小的那个就是k。采用这种方法的好处是，对偶数能极大的减少计算，特别是对n = 2^30，可以不进行任何除法计算。

对 nn求因子，可以采用上面的方法一和方法二，于是得到方法三和方法四。

 

方法三：

2 * n = 2^t * nn 奇数 nn = i * j (i <= j)   ->   j = nn / i

从i = 1开始（每次递增2），判断i是否是nn的因子，当 j > i 时终止。

循环次数约为：sqrt(nn) / 2

 

方法四：

2 * n = 2^t * nn 奇数 nn = i * (i + j) (j >= 0)   ->   j = (nn – i * i) / i >= 0

从i = 1开始（每次递增2），判断i是否是(nn – i * i) / i的因子，当 j < 0时终止。

循环次数约为：sqrt(nn) / 2

 

方法五：

既然是求所有的因子，那么最好的方法当然是利用质因子进行组合。

下面的代码存在一些需要优化的地方，比如存在重复计算、防止编译器对n / i 和n % i进行两次除法计算。如果数不是太大，可以缓存所有的质因子。

另见： 输出自然数n的所有因子。

（下面的代码，要将函数参数改为unsigned的话，需要将i=1的情况单独列出来讨论，即可保证计算过程中不会发生溢出。）

 

void output(int beg, int len) { printf("%d-%d\n", beg, beg + len - 1); }

inline void output2(int i, int j) { output((i - j + 1) / 2u, j); }

 

//方法三

void seq3(int n)          

{                        //2*n = (2*m+k-1)*k //m, m+1, ... m+k-1

 if (n <= 0) return;   // 

 unsigned count = 1;  

 while (n % 2u == 0) { n /= 2u; ++count; } //去除质因子2,设f = 2^x   

 for (unsigned i = 1; ;i += 2) { //获取nn的所有因子 nn = i * j 且 i <= j

    unsigned j = n / i;

    if (i > j) break;

    if (n % i) continue;

    output2(j << count, i); //k=i  2m+k-1=j*2*f 

    if (i == j) break;

    unsigned t = i << count;   

    if (t > j) output2(t, j);  

    else output2(j, t);

 }

 printf("\n");

}

 

 

//方法四

void seq4(int n)          

{                        //2*n = (2*m+k-1)*k //m, m+1, ... m+k-1

 if (n <= 0) return;   // 

 unsigned count = 1;  

 while (n % 2u == 0) { n /= 2u; ++count; } //去除质因子2,设f = 2^x

 n -= 1 * 1;   

 for (unsigned i = 1; n >= 0; n -= 4 * i + 4, i += 2) { //获取nn的所有因子

    if (n % i == 0) {     // nn = (i+a)*i -> a = (nn - i * i) / i

      unsigned j = n / i + i;

      output2(j << count, i); //k=i 2m+k-1=j*2*f   

      if (i == j) continue;

      unsigned t = i << count;     

      if (t > j) output2(t, j);  

      else output2(j, t);

    }  

 }

 printf("\n");

}

 

 

//方法五

unsigned gn = 0; //值为 2 * n

static void factor(unsigned n, unsigned k = 1, unsigned beg = 3)

{

 assert(n & 1);

 assert(beg & 1);

 if (n == 1) {

    unsigned t = ::gn / k;

    if (t > k) output2(t, k);

    else output2(k, t);

    return;

 }

 assert(n >= beg);

 

 for (unsigned i = beg, count = 0; ;i += 2) {

    //if (n % i) {

    // if (n / i >= i) continue;

    // factor(1, k, n);   // n是质数

    // factor(1, k * n, n);

    // return; 

    //}

    if (i > n / i) {

      factor(1, k);   // n是质数，

      factor(1, k * n);

      return;       

    }

    if (n % i) continue;

   

    ++count;

    n /= i;

    while (n % i == 0) { ++count; n /= i; }

    for (unsigned j = 0, f = k; j <= count; ++j, f *= i) 

      factor(n, f, i + 2);

    return;  

 }

}

 

void seq(int n)          

{                        //2*n = (2*m+k-1)*k //m, m+1, ... m+k-1

 if (n <= 0) return;

 ::gn = n * 2u;

 while (n % 2u == 0) { n /= 2u;} //去除质因子2

 factor(n);

 printf("\n");

}