0-1背包问题

0-1背包问题： 

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

算法基本思想：

利用动态规划思想 ，子问题为：f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

其状态转移方程是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}    //这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。

解释一下上面的方程：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，如果只考虑第i件物品放或者不放，那么就可以转化为只涉及前i-1件物品的问题，即1、如果不放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；2、如果放第i件物品，则问题转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”(此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i])。则f[i][v]的值就是1、2中最大的那个值。

（注意：f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。）

优化空间复杂度：

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

上面f[i][v]使用二维数组存储的，可以优化为一维数组f[v]，将主循环改为：

for i=1..N

for v=V..0

f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

即将第二层循环改为从V..0，逆序。

解释一下：

假设最大容量M=10，物品个数N=3，物品大小w{3,4,5}，物品价值p{4,5,6}。

当进行第i次循环时，f[v]中保存的是上次循环产生的结果，即第i-1次循环的结果(i>=1)。所以f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}这个式子中，等号右边的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]都是前一次循环产生的值。

当i=1时，f[0..10]初始值都为0。所以

f[10]=max{f[10],f[10-c[1]]+w[1]}=max{0,f[7]+4}=max{0,0+4}=4;

f[9]=max{f[9],f[9-c[1]]+w[1]}=max{0,f[6]+4}=max{0,0+4}=4;

......

f[3]=max{f[3],f[3-c[1]]+w[1]}=max{0,f[3]+4}=max{0,0+4}=4;

f[2]=max{f[2],f[2-c[1]]+w[1]}=max{0,f[2-3]+4}=0;//数组越界？

f[1]=0;

f[0]=0;

当i=2时，此时f[0..10]经过上次循环后，都已经被重新赋值，即f[0..2]=0,f[3..10]=4。利用f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}这个公式计算i=2时的f[0..10]的值。

当i=3时同理。

具体的值如下表所示：

因此，利用逆序循环就可以保证在计算f[v]时，公式f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}中等号右边的f[v]和f[v-c[i]]+w[i]保存的是f[i-1][v]和f[i -1][v-c[i]]的值。

当i=N时，得到的f[V]即为要求的最优值。

初始化的细节问题：

 在求最优解的背包问题中，一般有两种不同的问法：1、要求“恰好装满背包”时的最优解；2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包。

这两种问法，在初始化的时候是不同的。

1、要求“恰好装满背包”时的最优解：

在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。如果不能恰好满足背包容量，即不能得到f[V]的最优值，则此时f[V]=-∞，这样就能表示没有找到恰好满足背包容量的最优值。

2、求小于等于背包容量的最优解，即不一定恰好装满背包：

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价值尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

总结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

 

0-1背包问题代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MIN=0x80000000;
const int N=3;   //物品数量
const int V=5;  //背包容量
int f[N+1][V+1];

int Package(int *W,int *C,int N,int V);
void main(int argc,char *argv[])
{
 int W[4]={0,7,5,8};      //物品权重
 int C[4]={0,2,3,4};      //物品大小
 int result=Package(W,C,N,V);
 if(result>0)
 {
  cout<<endl;
  cout<<"the opt value:"<<result<<endl;
  int i=N,j=V;
  while(i)
  {
   if(f[i][j]==(f[i-1][j-C[i]]+W[i]))
   {
    cout<<i<<":"<<"w="<<W[i]<<",c="<<C[i]<<endl;
    j-=C[i];
   }
   i--;
  }
 }
 else
  cout<<"can not find the opt value"<<endl;
 return;
}

int Package(int *W,int *C,int N,int V)
{
 int i,j;
 memset(f,0,sizeof(f));  //初始化为0

 for(i=0;i<=N;i++)
 for(j=1;j<=V;j++)               //此步骤是解决是否恰好满足背包容量，
  f[i][j]=MIN;                //若“恰好”满足背包容量，即正好装满背包，则加上此步骤，若不需要“恰好”，则初始化为0
    
 for(i=1;i<=N;i++)
  for(j=C[i];j<=V;j++)
  {
   f[i][j]=(f[i-1][j]>f[i-1][j-C[i]]+W[i])?f[i-1][j]:(f[i-1][j-C[i]]+W[i]);
   cout<<"f["<<i<<"]["<<j<<"]="<<f[i][j]<<endl;
  }
 return f[N][V];
}

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int MIN=0x80000000;
const int N=3;   //物品数量
const int V=5;  //背包容量
int f[V+1];

int Package(int *W,int *C,int N,int V);
void main(int argc,char *argv[])
{
 int W[4]={0,7,5,8};      //物品权重
 int C[4]={0,2,3,4};      //物品大小
 int result=Package(W,C,N,V);
 if(result>0)
 {
  cout<<endl;
  cout<<"the opt value:"<<result<<endl;
 }
 else
  cout<<"can not find the opt value"<<endl;
 return;
}

int Package(int *W,int *C,int N,int V)
{
 int i,j;
 memset(f,0,sizeof(f));  //初始化为0

 for(i=1;i<=V;i++)               //此步骤是解决是否恰好满足背包容量，
  f[i]=MIN;                //若“恰好”满足背包容量，即正好装满背包，则加上此步骤，若不需要“恰好”，则初始化为0
    
 for(i=1;i<=N;i++)
  for(j=V;j>=C[i];j--)    //注意此处与解法一是顺序不同的，弄清原因
  {
   f[j]=(f[j]>f[j-C[i]]+W[i])?f[j]:(f[j-C[i]]+W[i]);
   cout<<"f["<<i<<"]["<<j<<"]="<<f[j]<<endl;
  }
 return f[V];
}

 

参考：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_4cd99cfa0100mer2.html

http://www.cnblogs.com/tanky_woo/archive/2010/07/31/1789621.html