在线算法(online algorithm)

看到一道有趣的题目，具体题目请看这里。

由于对问题的结果抱求知态度，于是算了一把。在此写出详细分析过程。

按照思路，我们先假设选取固定的K值，然后计算能够找到最好的概率。最后确定如何选取最佳的K值，从而使得概率最大。

先定义几个符号：令M(j)表示从第一个到第j个人中的最高分数，令S表示我们成功选择了最好的人的事件，那么Si 就表示了最佳的人是第i个的事件。显然不同的Si 是不相交的，于是P{S}=P{S1}+P{S2}+...+P{Sn}。注意到我们假设最好的人为第K个，那么K之前的人都不会成功，因此P{Si}=0,i=1,2,...k。于是P{S}=P{Sk+1}+P{Sk+2}+...+P{Sn}。

现在的工作是计算P{Si}，i=k+1,...,n，也就是说第i个人会成功，那么这种情况下有两种事情是一定要发生的：首先是最好的人必须在位置i上，如果最好的人都不是第i个，那还有什么意思呢？用事件Ai表示最好的人出现在位置i上，由于人分布的随机性，显然Ai=1/n。第二件事情就是我们不能选择位置k+1到i-1中的任何一个人，而这个要发生就必须要这些人的分数必须小于M(k)，否则按照我们的策略就会选取其中的任何一个分数大于M(k)的人。令Bi表示排在k+1到i-1的人没有人被选取的事件。那么P{Si}=P{AiBi}。看看A和B两个事件之间的关系，A表示第i个人的分数是最高的，而B表示从第一个到第i-1个人的分数都不能超过第i个人的分数，而至于前面i-1个人的相对次序如何，则对B没有任何影响，也就是说前面1到i-1个人的相对次序如果，并不影响第i个人分数是否大于1到i-1中的所有数值，这样好办了，两个事件是相互独立的。

如果B事件要发生的话，那么从第1个人到第i-1个人的最大值必须出现在第k个人之前，否则就肯定会选取了k到i-1中的某个人。而这个最大值则可以是1到i-1的任何一个数值，因此P{Bi}=k/(i-1)。

现在可以计算了，由于A和B独立，那么P{Si}=P{AiBi}=P{Ai}*P{Bi}=k/(n*(i-1))。

后面的那个求和公式看起来比较眼熟不？可惜本人的高等数学忘得太多了，在一阵猛算后发现算不出来，网上找了很久，才想起来这是著名的调和级数，该级数是发散的，无法算出其精确值。在郁闷了一阵后找到利用积分来求其上下界的办法。利用下面的公式：

那么求和转化为：

这两个积分套用公式就可以得出结果为lnn-lnk。

那么最终结果为：

现在我们已经知道了P{S}的上下界，即最大值和最小值，现在就是选取正确的k值使得下界取最大值，对对k求导得到(ln n - ln k - 1)/n，令导数为0得到ln k = ln n - 1，即k=n/e，其中e为自然数即2.71828......，那么k约等于0.37n。

由此看出，在线算法只能得到一个最好的概率，没有办法去选取一定是最好的值。其实人生就是这样的一个在线算法，由于你永远不知道下一步会怎样，只能根据过去来猜测。一旦走错了，就无法再重来，你永远也没有“如果一切可以重来，我会选择......”的机会，希望我们都按照在线算法一样做出了最好的选择。智者曾说过“30岁前不要怕，30岁之后就不要悔”，一旦做出了决定就不要后悔，因为即使后悔也没有重来的机会了。

PS：说下在线算法(online algorithm)和离线(offline algorithm)算法，离线算法也就是知道了所有的输入，根据某些条件来选取最佳策略，而在线算法就是无法预知到后面的输入，只能按照目前的状况来做出下一步的最好决策，在线算法追求的是与离线算法一样的好结果。关于在线算法的详细信息可以看维基。写到后面想起了suit同学的口头禅“人一辈子就不能做错事”，呵呵。