博弈论总结（只会打表，永不证明）（博弈论）

概述

博弈论的研究对象是一类游戏，有特定的模型。

基础模型——先手必胜还是后手必胜？

好像有个专门的名词叫做Impartial Combinatorial Games（简称ICG）

大概的定义如下：

整个游戏可以抽象成一个DAG；

每个点都代表游戏过程中的某个决策状态（特殊的，出度为0的点是游戏的终止状态）；

每条边都表示可以从某个状态，经过直接的一次操作，转移到另一个状态。

有两个玩家，从指定的某个状态开始，依次执行操作，谁先因为当前到达了终止状态而无法操作的人输。

因为是DAG，所以一定会转移到终止状态的。

问题就是，从某状态开始，先手必胜还是后手必胜？

举个栗子——Nim游戏的一个变种

有一堆\(n\)个石子，每次可以取\(1-k\)个，当前无法操作的人输，问是否先手存在必胜策略？

对于这种问题，对于以每个状态为起点的情况，我们都会唯一确定是先手必胜还是后手必胜。

这应该是很好想，几乎不用证明的。

可以对每个点标记两种状态N和P，分别表示先手必胜和后手必胜

首先根据定义，终状态为P

然后，所有能直接到达终状态的状态就为N了

进一步推广，如果某点的出边指向的点的集合中，有至少一个点为P，那么这个点为N；否则就为P。

比如对于上面提到的栗子

对每个状态都标号为当前剩余石子数

那么\(0\)是P，\(1-k\)就都是N，\(k+1\)是P。。。。。。

接着就可以推出当且仅当\((k+1)\mid a\)时a是P。

对于这种基础的问题，枚举状态建好图后DP或者记忆化搜索就可以快速解决了。

模型升级——SG函数与SG定理

博弈论所涉及到的更多的游戏，会把若干ICG拼凑在一起，成为一个规模更大的模型。

比如说上面那个Nim游戏变种的升级版——

有\(n\)堆石子，每堆\(a_i\)个，每次可以取\(1-k\)个，当前无法操作的人输，问是否先手存在必胜策略？

这时候，如果仍沿用上面的方法求解，我们会发现状态维度很大，时间和空间根本承受不了。

这里介绍SG函数与SG定理，详细证明就算了，我太弱了。

strangedbly巨佬的博客给出了十分易懂的证明，个人力荐。

定义运算\(mex(S)\)（S是一个自然数集合），结果为S中未出现的最小自然数。

定义\(SG(i)\)（i是一个状态，在图中是一个点）为对所有\(i\)可直达状态（在图中与i通过有向边连接的所有点）的SG函数值取mex的值，即。

\[SG(i)=mex({j\mid SG(j),(i,j)\in G}) \]

定义SG定理：点\(i\)为P当且仅当\(SG(i)=0\)

若干ICG（可以不相同）组合在一起的游戏，把每个游戏的SG值异或起来，不为0则先手必胜。

接着对例子分析一下。

可以发现，对于单堆石子来说，剩零个时\(SG\)值为\(0\)，剩一个时为\(1\)。。。剩\(k\)个为\(k\)，剩\(k+1\)个时因为不能转移到零个，\(SG\)值又变成了\(0\)。。。。。。

这可以说明SG函数对于判断状态为N还是P是非常有效的。

那么对于若干堆石子（即整个升级版游戏）来说，胜负又会如何呢？只要把这若干个\(SG\)值都异或起来就完全OK啦。

实现

简单的ICG可直接通过递推、DP等方法推导出所有点的状态。当然，如果找到规律，可以直接\(O(1)\)判断都说不好。

多个ICG的组合游戏，则一定是离不开SG函数的。

但假如点非常多，或者每个点的后继确定起来非常麻烦的时候，DP是不能解决问题的。

那怎么办？那肯定是有规律啊！一眼看不出规律怎么办？可别忘了打表啊！

当然，打表也是有技巧的。至于如何如何，蒟蒻也说不出什么门道来，还是多刷题为上上策。

题目

posted @ 2018-03-28 17:35  Flash_Hu  阅读(3949)  评论(6)  编辑  收藏  举报