LCT总结——概念篇+洛谷P3690[模板]Link Cut Tree(动态树)（LCT，Splay）
为了优化体验（其实是强迫症），蒟蒻把总结拆成了两篇，方便不同学习阶段的Dalao们切换。
LCT总结——应用篇戳这里
概念、性质简述
首先介绍一下链剖分的概念（感谢laofu的讲课）
链剖分，是指一类对树的边进行轻重划分的操作，这样做的目的是为了减少某些链上的修改、查询等操作的复杂度。
目前总共有三类：重链剖分，实链剖分和并不常见的长链剖分
重链剖分
实际上我们经常讲的树剖，就是重链剖分的常用称呼。
对于每个点，选择最大的子树，将这条连边划分为重边，而连向其他子树的边划分为轻边。
若干重边连接在一起构成重链，用树状数组或线段树等静态数据结构维护。
至于有怎样优秀的性质等等，不在本总结的讨论范畴了（其实是因为本蒟蒻连树剖都不会）
实链剖分
同样将某一个儿子的连边划分为实边，而连向其他子树的边划分为虚边。
区别在于虚实是可以动态变化的，因此要使用更高级、更灵活的Splay来维护每一条由若干实边连接而成的实链。
基于性质更加优秀的实链剖分，LCT(Link-Cut Tree)应运而生。
LCT维护的对象其实是一个森林。
在实链剖分的基础下，LCT资磁更多的操作
- 查询、修改链上的信息（最值，总和等）
- 随意指定原树的根（即换根）
- 动态连边、删边
- 合并两棵树、分离一棵树（
跟上面不是一毛一样吗） - 动态维护连通性
- 更多意想不到的操作（可以往下滑一滑）
想学Splay的话，推荐巨佬yyb的博客
LCT的主要性质如下：
-
每一个Splay维护的是一条从上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历Splay得到的每个点的深度序列严格递增。
是不是有点抽象哈
比如有一棵树，根节点为\(1\)（深度1），有两个儿子\(2,3\)（深度2），那么Splay有\(3\)种构成方式：
\(\{1-2\},\{3\}\)
\(\{1-3\},\{2\}\)
\(\{1\},\{2\},\{3\}\)（每个集合表示一个Splay）
而不能把\(1,2,3\)同放在一个Splay中（存在深度相同的点） -
每个节点包含且仅包含于一个Splay中
-
边分为实边和虚边，实边包含在Splay中，而虚边总是由一棵Splay指向另一个节点（指向该Splay中中序遍历最靠前的点在原树中的父亲）。
因为性质2，当某点在原树中有多个儿子时，只能向其中一个儿子拉一条实链（只认一个儿子），而其它儿子是不能在这个Splay中的。
那么为了保持树的形状，我们要让到其它儿子的边变为虚边，由对应儿子所属的Splay的根节点的父亲指向该点，而从该点并不能直接访问该儿子（认父不认子）。
各种操作
\(access(x)\)
LCT核心操作，也是最难理解的操作。其它所有的操作都是在此基础上完成的。
因为性质3，我们不能总是保证两个点之间的路径是直接连通的（在一个Splay上）。
access即定义为打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历以根开始、以指定点结束的Splay出现。
蒟蒻深知没图的痛苦qwq
所以还是来几张图吧。
下面的图片参考YangZhe的论文
有一棵树，假设一开始实边和虚边是这样划分的（虚线为虚边）
那么所构成的LCT可能会长这样（绿框中为一个Splay，可能不会长这样，但只要满足中序遍历按深度递增（性质1）就对结果无影响）
现在我们要\(access(N)\)，把\(A-N\)的路径拉起来变成一条Splay。
因为性质2，该路径上其它链都要给这条链让路，也就是把每个点到该路径以外的实边变虚。
所以我们希望虚实边重新划分成这样。
然后怎么实现呢？
我们要一步步往上拉。
首先把\(splay(N)\)，使之成为当前Splay中的根。
为了满足性质2，原来\(N-O\)的重边要变轻。
因为按深度\(O\)在\(N\)的下面，在Splay中\(O\)在\(N\)的右子树中，所以直接单方面将\(N\)的右儿子置为\(0\)（认父不认子）
然后就变成了这样——
我们接着把\(N\)所属Splay的虚边指向的\(I\)（在原树上是\(L\)的父亲）也转到它所属Splay的根，\(splay(I)\)。
原来在\(I\)下方的重边\(I-K\)要变轻（同样是将右儿子去掉）。
这时候\(I-L\)就可以变重了。因为\(L\)肯定是在\(I\)下方的（刚才\(L\)所属Splay指向了\(I\)），所以I的右儿子置为\(N\)，满足性质1。
然后就变成了这样——
\(I\)指向\(H\)，接着\(splay(H)\)，\(H\)的右儿子置为\(I\)。
\(H\)指向\(A\)，接着\(splay(A)\)，\(A\)的右儿子置为\(H\)。
\(A-N\)的路径已经在一个Splay中了，大功告成！
代码其实很简单。。。。。。循环处理，只有四步——
- 转到根；
- 换儿子；
- 更新信息；
- 当前操作点切换为轻边所指的父亲，转1
inline void access(int x){
for(int y=0;x;y=x,x=f[x])
splay(x),c[x][1]=y,pushup(x);//儿子变了，需要及时上传信息
}
\(makeroot(x)\)
只是把根到某个节点的路径拉起来并不能满足我们的需要。更多时候，我们要获取指定两个节点之间的路径信息。
然而可能这两个点不是祖孙关系（该路径不能满足按深度严格递增的要求）。根据性质1，这样的路径不能在一个Splay中。
Then what can we do?
\(makeroot\)定义为换根，让指定点成为原树的根。
这时候就利用到\(access(x)\)和Splay的翻转操作。
\(access(x)\)后\(x\)一定是Splay中，中序遍历最后的点对吧。
\(splay(x)\)后，\(x\)在Splay中将没有右子树（性质1）。于是翻转整个Splay，使得所有点的深度都倒过来了，\(x\)没了左子树，反倒成了深度最小的点（根节点），达到了我们的目的。
代码
inline void pushr(int x){//Splay区间翻转操作
swap(c[x][0],c[x][1]);
r[x]^=1;//r为区间翻转懒标记数组
}
inline void makeroot(int x){
access(x);splay(x);
pushr(x);
}
关于pushdown和makeroot的一个相关的小问题详见下方update（关于pushdown的说明）
\(findroot(x)\)
找\(x\)所在原树的树根，主要用来判断两点之间的连通性（findroot(x)==findroot(y)表明\(x,y\)在同一棵树中）
代码：
inline int findroot(R x){
access(x); splay(x);
while(c[x][0])pushdown(x),x=c[x][0];
//如要获得正确的原树树根，一定pushdown！详见下方update（关于findroot中pushdown的说明）
splay(x);//保证复杂度
return x;
}
同样利用性质1，不停找左儿子，因为其深度一定比当前点深度小。
\(split(x,y)\)
神奇的\(makeroot\)已经出现，我们终于可以访问指定的一条在原树中的链啦！
split(x,y)定义为拉出\(x-y\)的路径成为一个Splay（本蒟蒻以\(y\)作为该Splay的根）
代码
inline void split(int x,int y){
makeroot(x);
access(y);splay(y);
}
x成为了根，那么x到y的路径就可以用\(access(y)\)直接拉出来了，将y转到Splay根后，我们就可以直接通过访问\(y\)来获取该路径的有关信息
\(link(x,y)\)
连一条\(x-y\)的边（本蒟蒻使\(x\)的父亲指向\(y\)，连一条轻边）
代码
inline bool link(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)==x)return 0;//两点已经在同一子树中，再连边不合法
f[x]=y;
return 1;
}
如果题目保证连边合法，代码就可以更简单
inline void link(int x,int y){
makeroot(x);
f[x]=y;
}
\(cut(x,y)\)
将\(x-y\)的边断开。
如果题目保证断边合法，倒是很方便。
使\(x\)为根后，\(y\)的父亲一定指向\(x\)，深度相差一定是\(1\)。当\(access(y),splay(y)\)以后，\(x\)一定是\(y\)的左儿子，直接双向断开连接
inline void cut(int x,int y){
split(x,y);
f[x]=c[y][0]=0;
pushup(y);//少了个儿子，也要上传一下
}
那如果不一定存在该边呢？
充分利用好Splay和LCT的各种基本性质吧！
正确姿势——先判一下连通性（注意\(findroot(y)\)以后\(x\)成了根），再看看\(x,y\)是否有父子关系，还要看\(y\)是否有左儿子。
因为\(access(y)\)以后，假如y与x在同一Splay中而没有直接连边，那么这条路径上就一定会有其它点，在中序遍历序列中的位置会介于\(x\)与\(y\)之间。
那么可能\(y\)的父亲就不是\(x\)了。
也可能\(y\)的父亲还是\(x\)，那么其它的点就在\(y\)的左子树中
只有三个条件都满足，才可以断掉。
inline bool cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x||f[y]!=x||c[y][0])return 0;
f[y]=c[x][1]=0;//x在findroot(y)后被转到了根
pushup(x);
return 1;
}
如果维护了\(size\)，还可以换一种判断
inline bool cut(int x,int y){
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x||sz[x]>2)return 0;
f[y]=c[x][1]=0;
pushup(x);
return 1;
}
解释一下，如果他们有直接连边的话，\(access(y)\)以后，为了满足性质1，该Splay只会剩下\(x,y\)两个点了。
反过来说，如果有其它的点，\(size\)不就大于\(2\)了么？
其实，还有一些LCT中的Splay的操作，跟我们以往学习的纯Splay的某些操作细节不甚相同。
包括\(splay(x),rotate(x),nroot(x)\)（看到许多版本LCT写的是\(isroot(x)\)，但我觉得反过来会方便些）
这些区别之处详见下面的模板题注释。
update（关于findroot中pushdown的说明）
蒟蒻真的一时没注意这个问题。。。。。。Splay根本没学好
找根的时候，当然不能保证Splay中到根的路径上的翻转标记全放掉。
所以最好把pushdown写上。
Candy巨佬的总结对pushdown问题有详细的分析
只不过蒟蒻后来经常习惯这样判连通性（我也不知道怎么养成的）
makeroot(x);
if(findroot(y)==x)//后续省略
这样好像没出过问题，那应该可以证明是没问题的（makeroot保证了x在LCT的顶端，access(y)+splay(y)以后，假如x,y在一个Splay里，那x到y的路径一定全部放完了标记）
导致很久没有发现错误。。。。。。
另外提一下，假如LCT题目在维护连通性的情况中只可能出现合并而不会出现分离的话，其实可以用并查集哦！（实践证明findroot很慢）
这样的例子有不少，比如下面“维护链上的边权信息”部分的两道题都是的。
甚至听到Julao们说有少量题目还专门卡这个常数。。。。。。XZY巨佬的博客就提到了
update（关于pushdown的说明）
我pushdown和makeroot有时候会这样写，常数小一点
void pushdown(int x){
if(r[x]){
r[x]=0;
int t=c[x][0];
r[c[x][0]=c[x][1]]^=1;
r[c[x][1]=t]^=1;
}
}
void makeroot(int x){
access(x);splay(x);
r[x]^=1;
}
这种写法等于说当x有懒标记时，x的左右儿子还是反的
那么如果findroot里实在要写pushdown，那么这种pushdown就会出现问题（参考评论区@ zjp_shadow巨佬的指正）
再次update，蒟蒻发现这种问题还是可以避免的，若用这种pushdown，findroot这样写就好啦
inline int findroot(int x){
access(x);splay(x);
pushdown(x);
while(lc)pushdown(x=lc);
splay(x);
return x;
}
当题目中维护的信息与左右儿子顺序有关的时候，pushdown如果用这种不严谨写法会是错的（比如[NOI2005]维护数列（这是Splay题）和洛谷P3613 睡觉困难综合征）
再次update，夏丶沐瑾巨佬指出这种问题也是可以避免的，把pushup这样写就好啦
inline void pushup(int x){
pushdown(lc);pushdown(rc);//加上两个
//......
}
所以此总结以及下面模板里的pushdown，常数大了一点点，却是更稳妥、严谨的写法
//pushr同上方makeroot部分
void pushdown(int x){
if(r[x]){
if(c[x][0])pushr(c[x][0]);//copy自模板，然后发现if可以不写
if(c[x][1])pushr(c[x][1]);
r[x]=0;
}
}
void makeroot(int x){
access(x);splay(x);
pushr(x);//可以看到两种写法造成makeroot都是不一样的
}
这种写法等于说当x有懒标记时，x的左右儿子已经放到正确的位置了，只是儿子的儿子还是反的
那么这样就不会出问题啦
两种写法差别还确实有点大呢
模板
洛谷P3690 【模板】Link Cut Tree （动态树）（点击进入题目）
最基本的LCT操作都在这里，也没有更多额外的复杂操作了，确实很模板。
#include<bits/stdc++.h>
#define R register int
#define I inline void
#define G if(++ip==ie)if(fread(ip=buf,1,SZ,stdin))
#define lc c[x][0]
#define rc c[x][1]
using namespace std;
const int SZ=1<<19,N=3e5+9;
char buf[SZ],*ie=buf+SZ,*ip=ie-1;
inline int in(){
G;while(*ip<'-')G;
R x=*ip&15;G;
while(*ip>'-'){x*=10;x+=*ip&15;G;}
return x;
}
int f[N],c[N][2],v[N],s[N],st[N];
bool r[N];
inline bool nroot(R x){//判断节点是否为一个Splay的根（与普通Splay的区别1）
return c[f[x]][0]==x||c[f[x]][1]==x;
}//原理很简单，如果连的是轻边，他的父亲的儿子里没有它
I pushup(R x){//上传信息
s[x]=s[lc]^s[rc]^v[x];
}
I pushr(R x){R t=lc;lc=rc;rc=t;r[x]^=1;}//翻转操作
I pushdown(R x){//判断并释放懒标记
if(r[x]){
if(lc)pushr(lc);
if(rc)pushr(rc);
r[x]=0;
}
}
I rotate(R x){//一次旋转
R y=f[x],z=f[y],k=c[y][1]==x,w=c[x][!k];
if(nroot(y))c[z][c[z][1]==y]=x;c[x][!k]=y;c[y][k]=w;//额外注意if(nroot(y))语句，此处不判断会引起致命错误（与普通Splay的区别2）
if(w)f[w]=y;f[y]=x;f[x]=z;
pushup(y);
}
I splay(R x){//只传了一个参数，因为所有操作的目标都是该Splay的根（与普通Splay的区别3）
R y=x,z=0;
st[++z]=y;//st为栈，暂存当前点到根的整条路径，pushdown时一定要从上往下放标记（与普通Splay的区别4）
while(nroot(y))st[++z]=y=f[y];
while(z)pushdown(st[z--]);
while(nroot(x)){
y=f[x];z=f[y];
if(nroot(y))
rotate((c[y][0]==x)^(c[z][0]==y)?x:y);
rotate(x);
}
pushup(x);
}
/*当然了，其实利用函数堆栈也很方便，代替上面的手工栈，就像这样
I pushall(R x){
if(nroot(x))pushall(f[x]);
pushdown(x);
}*/
I access(R x){//访问
for(R y=0;x;x=f[y=x])
splay(x),rc=y,pushup(x);
}
I makeroot(R x){//换根
access(x);splay(x);
pushr(x);
}
int findroot(R x){//找根（在真实的树中的）
access(x);splay(x);
while(lc)pushdown(x),x=lc;
splay(x);
return x;
}
I split(R x,R y){//提取路径
makeroot(x);
access(y);splay(y);
}
I link(R x,R y){//连边
makeroot(x);
if(findroot(y)!=x)f[x]=y;
}
I cut(R x,R y){//断边
makeroot(x);
if(findroot(y)==x&&f[y]==x&&!c[y][0]){
f[y]=c[x][1]=0;
pushup(x);
}
}
int main()
{
R n=in(),m=in();
for(R i=1;i<=n;++i)v[i]=in();
while(m--){
R type=in(),x=in(),y=in();
switch(type){
case 0:split(x,y);printf("%d\n",s[y]);break;
case 1:link(x,y);break;
case 2:cut(x,y);break;
case 3:splay(x);v[x]=y;//先把x转上去再改，不然会影响Splay信息的正确性
}
}
return 0;
}
