P2730 魔板 Magic Squares
题目背景
在成功地发明了魔方之后,鲁比克先生发明了它的二维版本,称作魔板。这是一张有8个大小相同的格子的魔板:
1 2 3 4
8 7 6 5
题目描述
我们知道魔板的每一个方格都有一种颜色。这8种颜色用前8个正整数来表示。可以用颜色的序列来表示一种魔板状态,规定从魔板的左上角开始,沿顺时针方向依次取出整数,构成一个颜色序列。对于上图的魔板状态,我们用序列(1,2,3,4,5,6,7,8)来表示。这是基本状态。
这里提供三种基本操作,分别用大写字母“A”,“B”,“C”来表示(可以通过这些操作改变魔板的状态):
“A”:交换上下两行;
“B”:将最右边的一列插入最左边;
“C”:魔板中央四格作顺时针旋转。
下面是对基本状态进行操作的示范:
A: 8 7 6 5
1 2 3 4
B: 4 1 2 3
5 8 7 6
C: 1 7 2 4
8 6 3 5
对于每种可能的状态,这三种基本操作都可以使用。
你要编程计算用最少的基本操作完成基本状态到目标状态的转换,输出基本操作序列。
输入输出格式
输入格式:只有一行,包括8个整数,用空格分开(这些整数在范围 1——8 之间)不换行,表示目标状态。
输出格式:Line 1: 包括一个整数,表示最短操作序列的长度。
Line 2: 在字典序中最早出现的操作序列,用字符串表示,除最后一行外,每行输出60个字符。
输入输出样例
2 6 8 4 5 7 3 1
7
BCABCCB
说明
题目翻译来自NOCOW。
USACO Training Section 3.2
Solution:
本题显然没啥好方法,于是只能搜。关键是如何搜,并保存状态。这里我参考了这篇博客 。
首先,我们考虑到状态数一共就是$8!$个(即$1-8$的全排列),一共有$40320$种不同状态,而每个状态含$8$个变量,那么如何去建立状态的$hash$表呢?貌似巨佬们都是用的康托展开(又要挖坑去补了~),很显然至少我现在不会,所以去看了上面的那篇博客,$hash$方法极其精妙。
我们用基数转换法,由于每个状态实际是$1-8$的排列,于是将每个状态的每一位上的数都$-1$转换为$8$进制数,这样显然每个$8$进制数只会对应$1$种状态,而且最大的状态也就$(76543210)_8=(16434824)_{10}$,于是我们开一个$vis$数组就能判重了。实现时通过位运算,也很好对$8$进制的数进行处理!
很明显,四万多个状态深搜怎么都会超时,$so$直接去$bfs$。
具体实现时,开一个表存$3$种变换,再转换目标状态和初始状态,判断一下是否已经相等。不想等则入队,对队首状态尝试$3$种操作得到新状态并入队(记得判重),小技巧是队列开二维$que[i][k],\;i\leq 40320,\;k\in [0\;or\;1]$,其中$que[i][k],k=0$表示队列中第$i$个状态是由哪个状态转移过来的(即操作次数,因为每次队首移动意味着一次操作),$que[i][k],k=1$表示队列中第$i$个状态是通过什么操作转移过来的。这样当搜到目标状态后,输出当前状态由哪个状态转移而来即操作次数,直接从当前状态往前面状态回溯就能找到具体的操作方法。
(代码风格借(co)鉴(py)上面介绍的那个博客,太菜了自己代码写得太烂~手动滑稽~)
代码:
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define ll long long using namespace std; int ch[3][9]={ {0,8,7,6,5,4,3,2,1}, {0,4,1,2,3,6,7,8,5}, {0,1,7,2,4,5,3,6,8}, },ha[50000][9],a[9],que[50000][2],now,ed,cnt; char ans[50000]; bool vis[17000000]; int main() { ios::sync_with_stdio(0); int x; for(int i=1;i<=8;i++)cin>>x,ed=(ed<<3)+x-1; for(int i=1;i<=8;i++)ha[1][i]=i-1,now=(now<<3)+ha[1][i]; if(now==ed){cout<<0;return 0;} vis[now]=1; int head,tail=1; while(head<tail){ head++; for(int i=0;i<3;i++){ now=0; for(int j=1;j<=8;j++) a[j]=ha[head][ch[i][j]],now=(now<<3)+a[j]; if(vis[now])continue; vis[now]=1; que[++tail][0]=head,que[tail][1]='A'+i; ha[tail][0]=ha[head][0]+1; for(int j=1;j<=8;j++)ha[tail][j]=a[j]; if(now==ed){ cout<<ha[tail][0]<<endl;x=tail; while(que[x][0])ans[++cnt]=que[x][1],x=que[x][0]; while(cnt)cout<<ans[cnt--]; return 0; } } } }
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