求一个数阶乘的位数

分析：n的位数等于(int)log₁₀(n) +1

         例如3的位数是(int)log₁₀(3)+1 = 1 ，52的位数是(int)log₁₀(52)+1 = 2

         所以一个数n的阶乘的位数是:

         (int)log₁₀(n!)+1 = (int)log₁₀(n*(n-1)*(n-2)*^...*2*1)+1

                                  = (int)(log₁₀(n)+log₁₀(n-1)+log₁₀(n-2)+...+log₁₀(2)+log₁₀(1))+1

         用C++实现的话，就是 (int)(log(n)+log(n-1)+log(n-2)+...+log(2)+log(1))/log(10)+1，          这是运用了对数的换底公式，因为C++中log(x)表示以e为底的对数，如下是简单的代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    double sum = 0;
    for(int i = 1;i<=n;i++)
        sum+= log((double)i)/log((double)10);
    cout<<int(sum)+1<<endl;
}

      可以发现，这个算法的时间复杂度是O(n)，我们可以通过斯特林公式(Stirling's approximation)将这个算法的复杂度降低到O(1)，斯特林公式如下：

 

下面是简单的代码实现：

#include<iostream>
#include<cmath>
#define  PI 3.1415926
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    double bit = 0;
    bit = (0.5*log(2*PI*n)+n*log((double)n)-n)/log((double)10);
    cout<<int(bit)+1<<endl;
}