HDU - 6305 RMQ Similar Sequence(笛卡尔树)
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6305
题目
对于A,B两个序列,任意的l,r,如果RMQ(A,l,r)=RMQ(B,l,r),B序列里的数为[0,1]的实数,B的重量为B的所有元素的和,否则为0。问你B的期望重量是多少。
分析
准备知识:笛卡尔树https://skywt.cn/posts/cartesian-tree/
RMQ-Similar实际上就是A和B的笛卡尔树一样。于是这个题就是笛卡尔树同构的问题,假设A的笛卡尔树的子树大小为sz[u],那么序列B与A同构的概率为,因为B中的数满足均匀分布(因为B中的元素为[0,1]中的任意实数),所以每个位置的期望值为(0+1)/2,那么B的重量总和为n/2,所以B的重量的期望值为
。
实际上对这题我还没完全懂,暂且记录一下吧。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cassert> #include<queue> #include<vector> #include<stack> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e6+10; const int inf=0x3f3f3f3f; const int mod=1e9+7; stack<int>st; ll inv[maxn]; int n; struct node{ int val,sz; int l,r,par; }t[maxn]; void init() { for(int i=0;i<=n;i++) t[i].l=0,t[i].r=0,t[i].par=0,t[i].sz=0;//初始化 t[0].val=inf; while(!st.empty()) st.pop(); st.push(0); } void build() { for(int i=1;i<=n;i++){ while(!st.empty()&&t[st.top()].val<t[i].val)//从栈顶往栈底遍历, st.pop(); int par=st.top(); t[i].par=par;//i.par为st.pop() t[i].l=t[par].r; t[t[par].r].par=i; t[par].r=i;//右子树 st.push(i); } } void dfs(int u) { if(u==0) return ; t[u].sz=1; dfs(t[u].l); dfs(t[u].r); t[u].sz+=t[t[u].l].sz+t[t[u].r].sz; } void Inv(){//扩展gcd求逆元 inv[1]=1; for(int i=2;i<maxn;i++) inv[i]=inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod; } int main() { int T; Inv(); scanf("%d",&T); while(T--){ scanf("%d",&n); init(); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t[i].val); build(); dfs(t[0].r); ll ans=n*inv[2]%mod; for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*inv[t[i].sz]%mod; printf("%lld\n",ans); } }