BZOJ3612 [Heoi2014]平衡 整数划分

[Heoi2014]平衡

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Description

下课了，露露、花花和萱萱在课桌上用正三棱柱教具和尺子摆起了一个“跷跷板”。

     这个“跷跷板”的结构是这样的：底部是一个侧面平行于地平面的正三棱柱教具，

上面 摆着一个尺子，尺子上摆着若干个相同的橡皮。尺子有 2n + 1 条等距的刻度线，

第 n + 1 条 刻度线恰好在尺子的中心，且与正三棱柱的不在课桌上的棱完全重合。

     露露发现这个“跷跷板”是不平衡的（尺子不平行于地平面）。于是，她又在尺

子上放 了几个橡皮，并移动了一些橡皮的位置，使得尺子的 2n + 1 条刻度线上都恰

有一块相同质 量的橡皮。“跷跷板”平衡了，露露感到很高兴。

     花花觉得这样太没有意思，于是从尺子上随意拿走了 k 个橡皮。令她惊讶的事

情发生了： 尺子依然保持着平衡！

     萱萱是一个善于思考的孩子，她当然不对尺子依然保持平衡感到吃惊，因为这

只是一个 偶然的事件罢了。令她感兴趣的是，花花有多少种拿走 k 个橡皮的方法

，使得尺子依然保 持平衡？

当然，为了简化问题，她不得不做一些牺牲——假设所有橡皮都是拥有相同质量的

 质点。但即使是这样，她也没能计算出这个数目。放学后，她把这个问题交给了她

的哥哥/ 姐姐——Hibarigasaki 学园学生会会长，也就是你。当然，由于这个问题

的答案也许会过于 庞大，你只需要告诉她答案 mod p 的值。

Input

第一行，一个正整数，表示数据组数 T（萱萱向你询问的次数）。   

  接下来 T 行，每行 3 个正整数 n, k, p。 

Output

共 T 行，每行一个正整数，代表你得出的对应问题的答案。 

 

Sample Input

10
6 5 10000
4 1 10000
9 6 10000
4 6 10000
5 1 10000
8318 10 9973
9862 9 9973
8234 9 9973
9424 9 9973
9324 9 9973

Sample Output

73
1
920
8
1
4421
2565
0
446
2549

HINT

 T <= 20，1 <= n <= 10000，1 <= k <= 10，2 <= p <= 10000，且 k <= 2n+1。

 

设f(i, j)表示把i分成j个不同的且<= n的整数的方案数。

考虑一般的整数划分数问题，f(i, j) = f(i-1, j-1) + f(i-j, j)，其中第一项表示新填一个1，第二项表示把所有数都加1。

顺着这个思路，我们先考虑“不同”这个限制。

显然我们不能直接新填一个1，所以我们考虑把所有数加1，搞出来一个1，第一项得出为f(i-j, j-1)

第二项同样为f(i-j, j).

所以状态转移方程为f(i, j) = f(i-j, j) + f(i-j, j-1).

再考虑不能超过n这个限制，如果有超过n的数，显然它只有一个，而且是n+1，所以我们把这些情况减掉，即f(i-n-1, j-1).

统计答案时，考虑选了0和不选0，两种情况，并特判k=1.

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 101001
#define M 15
using namespace std;
int n,m,p,w;
int f[N][M]; // f[i][j] 表示
//将i划分成j个互不相同的正整数，
// 且最大不超过n 的划分方案数
int main()
{
    int i,j,k,g;
    f[0][0]=1;
    for(scanf("%d",&g);g--;)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        if(m==1)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        w=n*(m-1);
        for(i=1;i<=w;i++)
            for(j=1;j<m;j++)
            {
                f[i][j]=(i>=j?(f[i-j][j]+f[i-j][j-1]):0);
                f[i][j]=(i>=n+1)?(f[i][j]-f[i-n-1][j-1]):f[i][j];
                f[i][j]=(f[i][j]%p+p)%p;
            }
        long long ans=0;
        for(i=1;i<=w;i++)
            for(j=1;j<m;j++)
                ans+=f[i][j]*f[i][m-j],ans%=p;
        for(i=0;i<=w;i++)
            for(j=1;j<m-1;j++)
                ans+=f[i][j]*f[i][m-1-j],ans%=p;
        printf("%lld\n",ans);
    }
}