算法之动态规划初步(Java版)
概述:
算法的重要性是不言而喻的。
可能是你会不屑于听这样的话,是因为在我们的实际开发中,用到算法的地方真是太少了。对于这一点我并不否认,因为对于一个初级的开发者而言,算法显得太过高深了。如果我们想去实现一个功能,通常的做法就是百度或是Google。这就是为什么会有那么一句调侃之辞:我们不生产代码,我们只是代码的搬运工。
当我们已经完成了初级开发者的这一过程时,我们应该想着怎么去优化自己的代码,从而让自己的代码更加优美,也更显B格。
动规的使用场景:
动态规划是对回溯算法的一种改进。
我们知道回溯的一个致命缺点是它的重复计算,在后面的例子中我也会通过实例来说明这一点,而动规则规避了这个问题。动规的核心是状态和状态转移方程。
示例例举及过程说明:
1.数字三角形
问题描述:
有一个由非负整数组成的三角形,第一行只有一个数,除了最后一行之外每个数的左下方和右下方各有一个数。
从第一行的数开始,每次可以往下或右下走一格,直到走到最后一行,把沿涂经过的数全部加起来。如何走才能使得这个数尽可能的大?
思路梳理:
对于这样一个问题,可能大家想到的第一个解法就是递归。对于递归,我们不用想太多。因为当我们想要知道第(i, j)处的最大值时,是要依赖第(i + 1, j)和第(i + 1, j + 1)个节点的最大值。以此类推,如是我们就可以使用递归和递推来实现。
递归求解(关键代码)
/** * 通过回溯法获得第(i, j)处的最大值 * @author Aaron * 2015年8月2日 */ private static int getNodeMaxByRecall(int[][] m, int i, int j) { int max = Integer.MIN_VALUE; System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]"); max = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(getNodeMaxByRecall(m, i + 1, j), getNodeMaxByRecall(m, i + 1, j + 1))); return max; } /** * 回溯法求解 * @author Aaron * 2015年8月1日 */ public static void calculateByRecall(int[] a) { int[][] m = getMatrix(a); int max = getNodeMaxByRecall(m, 0, 0); System.out.println("max[0][0] = " + max); }
可以看到,递归求解时是一种自顶向下的求解方式。它是在按需去计算。
在递归中,比如说我们的意图是去求解max(i, j),当我们知道需要求解max(i, j),就必须知道max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)时,我们才去求解max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1).
可是,这种按需求解的过程,无法让我们知道,再要计算的点是否已经计算过了。下面是这个程序在递归的过程中计算过的节点过程:
可以看到,这里有一些节点是被重复计算的。
递推法求解(关键代码):
/** * 通过递推法获得第(i, j)处的最大值 * @author Aaron * 2015年8月2日 */ private static int getNodeMaxByRecursion(int[][] m, int i, int j) { int max = Integer.MIN_VALUE; System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]"); max = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(m[i + 1][j], m[i + 1][j + 1])); return max; } /** * 递推法求解 * @author Aaron * 2015年8月2日 */ private static void calculateByRecursion(int[] a) { int[][] m = getMatrix(a); for (int i = m.length - 1; i >= 0; i--) { for (int j = 0; j <= i; j++) { m[i][j] = getNodeMaxByRecursion(m, i, j); } } int max = m[0][0]; System.out.println("max[0][0] = " + max); }
可以看到,递推求解时是一种自底向上的求解方式。它是在预先计算。
在递推中,比如说我们的意图是去求解max(i, j),当我们知道需要求解max(i, j),就必须知道max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)时,不过这个时候,我们的max(i + 1, j)和max(i + 1, j + 1)已经计算出来了,这个时候我们就不用再去计算了.
在递推的计算过程中,因为我们是自底向上的求解,所以我们并不知道这个节点是否会被使用到,而如果这个节点需要被使用,我们也不会重复计算这个值,因为已经计算过,并已经保存下来了。不过,这个过程中,每个节点都会被计算一次,不管会不会被使用(虽然这个程序中是都被使用了)。
记忆化求解(关键代码):
/** * 通过记忆化搜索获得第(i, j)处的最大值 * @author Aaron * 2015年8月2日 */ private static int getNodeMaxByMemory(int[][] m, int[][] d, int i, int j) { if (d[i][j] >= 0) { return d[i][j]; } System.out.println("m[" + i + "][" + j + "]"); d[i][j] = m[i][j] + (i == m.length - 1 ? 0 : Math.max(getNodeMaxByMemory(m, d, i + 1, j), getNodeMaxByMemory(m, d, i + 1, j + 1))); return d[i][j]; } /** * 记忆化搜索 * @author Aaron * 2015年8月2日 */ private static void calculateByMemory(int[] a) { int[][] m = getMatrix2(a); int[][] d = initMatrix(m.length); int max = getNodeMaxByMemory(m, d, 0, 0); System.out.println("max[0][0] = " + max); }
记忆化搜索是基于递归来进行的。因为我们想做一件事,来避免之前在递归中的重复计算。在学习算法的复杂度的时候,我们知道复杂度分为两种,一种是时间复杂度,一种是空间复杂度。这两种复杂度是有一个平衡的。也就是说我们想要在时间上优化,那么空间上就得做出牺牲。这里也正是使用了牺牲空间来换取时间的优先。
下面是各个节点被计算的过程:
这里可以看到,我们的每个节点也是只被计算了一次。节省了时间。
2.钢条切割
问题描述:
给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p(i),求切割钢条的方案,使得销售收益r(n)最大。注意,如果长度为n英寸的钢条的价格为p(n)足够大,最优解可能不是完全不需要切割。
价格表:
看到这一个问题,不知道大家是不是也跟我一样,第一感觉是可以使用贪心试一下。可是细想之后又发现行不通,因为这里面如果按不同的方式切割钢条,那么切割成的两份都是可变的量,不好控制。
按照上面的思路,我们可以使用两种方法来试着解决这一问题:
递归(关键代码):
/** * 计算长度为n的钢条的最佳切割方案(递归) * @author Aaron * 2015年8月3日 */ private static int getMax(int[] p, int n) { System.out.println(n); if (n <= 0) { return 0; } int max = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 1; i <= n; i++) { max = Math.max(max, p[i - 1] + getMax(p, n - i)); } return max; } /** * 通过递归计算钢条的切割算法 * @author Aaron * 2015年8月3日 */ private static void calculateMaxByRecursive(int n) { initPriceList(); int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30}; int max = getMax(p, n); System.out.println("max = " + max); }
记忆化搜索(关键代码):
private static int[] getRecordArray(int n) { if (n <= 0) { return null; } int[] r = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { r[i] = Integer.MIN_VALUE; } return r; } /** * 计算长度为n的钢条的最佳切割方案(记忆化搜索) * @author Aaron * 2015年8月3日 */ private static int getMaxByMemory(int[] p, int n, int[] r) { if (n <= 0) { return 0; } if (r[n] >= 0) { return r[n]; } System.out.println(n); int max = Integer.MIN_VALUE; for (int i = 1; i <= n; i++) { max = Math.max(max, p[i - 1] + getMaxByMemory(p, n - i, r)); } r[n] = max; return max; } /** * 通过记忆化搜索计算钢条的切割算法 * @author Aaron * 2015年8月3日 */ private static void calculateMaxByMemory(int n) { initPriceList(); int[] p = {1, 5, 8, 9, 10, 17, 17, 20, 24, 30}; int[] r = getRecordArray(n + 1); int max = getMaxByMemory(p, n, r); System.out.println("max = " + max); }
完整源代码下载:
http://download.csdn.net/detail/u013761665/8957807