【概率论】4-3:方差(Variance)

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title: 【概率论】4-3:方差(Variance)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Variance
- Standard Deviation
toc: true
date: 2018-03-23 22:22:11

Abstract: 本文介绍继期望之后分布的另一个重要数学性质，方差
Keywords: Variance,Standard Deviation

开篇废话

这两天更新有点频繁，但是没办法，必须快速的完成的基础知识积累，毕竟时间是有限的，还要留出更多的时间用于更进一步的深入研究，打牢基础的同时尽可能的提升速度。

如果我虚度光阴，那就请结束我的一生。如果你用奉承掐媚愚弄我，那我便自得取乐，如果你用荣华富贵诱惑我，那即便我的末日来临，我也要赌个输赢！

虽然期望很有用，但是并不能够完全的反应分布的信息，这么思考，首先，一个分布是一个公式确定的，这个公式的结构，和参数，如果能用一个参数全部概括，那么我们就有了一个超级模型一样的东西，这显然是不存在的，所以我们要用更多的数字特征来描述，代表一个分布的样子。
本文我们就介绍一款特征可以表示分布的离散程度（英文叫 “spread out”）——方差，他的衍生小弟叫做标准差是他的平方根，目前还不知道有啥特殊用途。

先举个例子，股票。。
一个股波动范围在 $[25,35]$ 之间，均匀分布，第二个股分布在 $[15,45]$ 之间的均匀分布。
那么其图像显示如下：

可见这个图像上，均值一致，都是30，但是分布有着明显区别，我们开始介绍我们的主角——“方差”

Definitions of the Variance and the Standard Deviation

Definition Variance/Standard Deviation.Let $X$ be a random variable with finite mean $\mu=E(X)$ ,The variance of $X$ denoted by $Var(x)$ ,is defined as follows:
$Var(X)=E[(X-\mu)^2]$

上面是关于方差和标准差的定义，首先随机变量的必须有一个有限的期望，然后再这个期望的基础上，每个变量和均值做差然后求其平方的期望，一共两步，用到了两次期望，可见方差其实就是随机变量函数的期望，而这个函数内又包含期望的运算。
注意无限的均值，或者不存在均值，都会导致方差无法计算，这是我们说随机变量没有方差，比如柯西分布，没有均值，也就没有方差，可见不是所有分布都有均值和方差的，同样，后面所有用到期望求的数字特征都没有。
方差用希腊字母 $\sigma^2$ 表示，标准差用希腊字母 $\sigma$ 表示，这是单个变量的分布时，当有多个变量的时候只需要对$\sigma$ 加以区分就可以，比如加下标 $\sigma_a$ so so

那么我们来计算个🌰 ：
计算上面例子中第一种股票的方差：
在$[25,35]$ 的均匀分布
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\arrowvert' at position 71: …0}\frac{x^3}{3}\̲a̲r̲r̲o̲w̲v̲e̲r̲t̲^5_{x=-5}=\frac…

上面的积分，和积分限的计算请自行打草稿，这里不再赘述了。
下面开始看看方差有哪些定理

Theorem Alternative Method for Calculating the Variance.For every random variable $X$ , $Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$

这个定理中文不知道叫啥，二选一定理？不知道，反正结论是方差可以直接用两个期望计算，一个是随机变量的平方的期望，另一个是期望的平方。

证明：
$\begin{aligned} Var(X) & =E[(X-\mu)^2]\\ & =E(X^2-2\mu X+\mu^2)\\ & =E(X^2)-2\mu E(X)+ \mu^2\\ & =E(X^2)-\mu^2 \end{aligned}$
Q.E.D

简单的计算过程，用到的性质都是期望的性质，所以又不懂回到前两篇重新研究。

方差和标准差只取决于其分布，而且其实际意义就是随机变量对均值 $\mu$ 的离散程度，值越大说明越分散，相反，越小表示与均值越聚集。
这里可以有个例子，这里我就不写啦，大家自己看书吧

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