【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part III)

---

title: 【概率论】5-6:正态分布(The Normal Distributions Part III)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Normal Distributions
- The Standard Normal Distribution
- The Lognormal Distributions
toc: true
date: 2018-03-30 08:58:10

Abstract: 本文介绍正态分布第三部分，标准正态分布，正态分布的线性组合，对数正态分布以及对数正态分布
Keywords: The Normal Distributions，The Standard Normal Distribution

开篇废话

废话就是概率论基础知识部分快要结束了，接下来的关于数理统计部分的内容很多都是依赖概率论的知识的，所以打好基础才好继续深入。
本文继续介绍标准正态分布，以及正态分布不同参数的比较。

The Standard Normal Distribution

Definition Standard Normal Distribution.The normal distribution with mean 0 and variance 1 is called the standard normal distribution.The p.d.f. of the standard nromal distribution is usually denoted by the symbol $\phi$ ,and the c.d.f. is denoted by the symbol $\Phi$ .Thus,
$\phi(x)=f(x|0,1)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}x^2} \text{ for }-\infty<x<\infty$
and
$\Psi(x)=\int^{x}_{-\infty}\Psi(\mu)d\mu \text{ for }-\infty<x<\infty$

第二个公式中 $\mu$ 是个哑变量，根据微积分基本定理可以知道上面写的 c.d.f.的导数就是p.d.f.
正则化的本质就是均值为0，方差为1的正态分布被称为正态分布家族中的标准。
c.d.f是使用初等函数是无法求得的，也就是没有一个封闭的形式，就像本本节开始时说的，只能用查表或者数值法来求p.d.f的某段积分，或者查询c.d.f的结果做差得到对应段的p.d.f.

Theorem Consequences of Symmetry.For all x and all $0 < p < 1$
$\begin{aligned} \Psi(-x)=1-\Psi(x) \text{ and } \Psi^{-1}(p)=-\Psi^{-1}(1-p) \end{aligned}$

这个证明相对简单，其实主要考察的是上一篇关于正态分布的形状问题，正态分布p.d.f.的根本性质是对称性，关于均值对称，这个性质就可以衍生出上面定理的结论，比如 $Pr(X\leq -x)=Pr(X\geq x)$ 就是对称性质的体现，然后是c.d.f.的反函数重新改写前面这个对称性质，等是左边为 $\Psi^{-1}(\Psi(-x))=\Psi^{-1}(p)$ 以及 等式右边 $\Psi^{-1}(1-\Psi(x))=-\Psi^{-1}(1-p)$

Theorem Converting Normal Distributions to Standard.Let $X$ have the normal distribution with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$ .Let $F$ be the c.d.f. of $X$ .Then $Z=(X-\mu)/\sigma$ has the standard normal distribution, and ,for all x and all $0 < p < 1$
$F(x)=\Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})\\ F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)$

这个定理要完成的一个任务是把一个一般的正态分布，通过随机变量的函数将原正态分布转换成标准正态分布，方法是目标随机变量减去均值后的差再除以标准差。
证明
$Pr(X\leq x)=Pr(Z\leq \frac{x-\mu}{\sigma})$
这就能得到结论了，令 $p=F(x)$ 能得到 $F^{-1}(p)=\mu+\sigma\Phi^{-1}(p)$ 的结论。

---

我们来举个计算的例子，我们来计算一个正态分布中的概率，假设X有一个正态分布，均值是5方差是2，我们来计算 $Pr(1<X<8)$
如果我们令 $Z=(X-5)/2$ 那么Z会有一个标准的正态分布并且：
$Pr(1<X<8)=Pr(\frac{1-5}{2}<\frac{X-5}{2}<\frac{8-5}{2})=Pr(-2<Z<1.5)\\ \text{futhermore:}\\ \begin{aligned} Pr(-1<Z<1.5)&=Pr(Z<1.5)-Pr(Z\leq -2)\\ &=\Phi(1.5)-\Phi(-2)\\ &=\Phi(1.5)-[1-\Phi(2)] \end{aligned}$
从书后标准正态分布的表格中可以查到c.d.f.为 $\Phi(1.5)=0.9332$ 并且 $\Phi(2)=0.9773$ 所以
$Pr(1<X<8)=0.9105$

---

本section的精髓是，首先我们没办法计算正态分布的不定积分，所以想求值要查表，查表你有不能对每一个分布参数都建表，所以要制造一个标准，其他的不同参数和标准有数字关系，于是定义一个标准正态分布，然后所有正态分布和标准正态分布产生数字联系，就能用一张表解决问题了。

本文节选自原文地址：https://www.face2ai.com/Math-Probability-5-6-The-Normal-Distributions-P3转载请标明出处