[转载]辗转相除法
关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下:
约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。
辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。
对于52317和75569两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的使因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。
现在教你用辗转相除法来求最大公约数。
先用较大的75569除以52317，得商1，余数23252，再以52317除以23252，得商2，余数是5813，再用23252做被除数，5813做除数，正好除尽得商数4。这样5813就是5569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。
那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。
比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商 q1，余数r1：a÷b＝q1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：a＝b * q1＋r1------l）
如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数3。要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子：
b＝r1q2＋r2-------2）
如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢？因为如果2）式变成了b＝r1q2，那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由l）式，就一定能整除a，从而也是a1b的公约数。
反过来，如果一个数d，能同时整除a1b，那么由1）式，也一定能整除r1，从而也有d是b1r1的公约数。
这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数，在r1＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。
有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。
在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。
一般用辗转相除法，都列成下面的式子：
不过，《九章》中的辗转相除法略有些不同，它叫“更相减损”，是辗转相减的方法。这也很好理解，除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算，一直减到结果比除数小为止。
比如我们用“更相减损法”来求91和49的最大公约数，可以由91减49一次，得余42；再由49减42一次，余7；更由42减7，这一回要减五次，余的还是7，再减，就是0了。那么这个7就是91和49的最大公约数。这个7就是约分术中所谓的“等数”，因为减得结果和最后一次的减数相等了，就叫等数。
辗转相除法在小学中学都没教过，恐怕是有点难讲清其中的道理。不过，两千多年前的古人居然有此创造，咱们后人再学不会，可就惭愧了，何况这还是一种很实用的方法。
注: 上面这些讲解均来自网络,由于忘记来源,不能标明出处,还望谅解!
######################################改进########################################
#include <stdio.h>
int main()
{
int m, n;
int m_temp, n_temp, res;
printf("Enter two integer:\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
m_temp = m;
n_temp = n;
if (m > 0 && n >0)
{
do
{
res = n % m;
n = m;
m = res;
} while (m != 0);
printf("Greatest common divisor: %d\n", n);
printf("Lease common multiple : %d\n", m_temp * n_temp / n);
}
else printf("Error!\n");
return 0;
}
测试结果:
===================================
Enter two integer:
22 33↙
Greatest common divisor: 11
Lease common multiple : 66
===================================
