快速排序的堆栈深度

一个典型的快速排序如下

QUICKSORT(A, p, r)

if (p < r)

　　then q <- PARTITION(A, p, r)

　　　　  QUICKSORT(A, p, q-1)

　　　　  QUICKSORT(A, q+1, r)

 

显然在最底层一个函数返回之前，栈的深度为length(A).其实其中一个递归可以去掉。

QUICKSORT2(A, p, r)

while (p < r)

　　then q <- random(p, r)

              QUICKSORT2(A, p, q-1)

　　　　　p = q+1

 

在最后一个函数返回之前，栈的深度为lg(length(A)).

简单分析：

我们把每一次函数调用看作一颗树的树叶。那么整个过程就是一颗2叉树。

第一情况，是左右节点同时入栈，不断地递归直到最深一层。这时候整棵树都入栈了。

第二种情况，假设某一时刻程序即将执行到p = q + 1这一步之前。注意该函数是优先递归的，能执行到这一步，肯定从某些函数返回了，这时候的栈已经不是最深的了。以q为根的左子树已经处理完毕。注意数组以q为分界分为两部分。左边的元素比q下标的元素小，右边的元素比q下标的元素大。现在执行p = q+1，注意q+1是右边子数组的起始坐标。然后进行下一个循环。其实这相当于对q的右子树进行递归。由于我们的总是先处理左节点，所以对q的右子树的递归直到遇到最左的节点，函数才能返回。这时候从树的跟到某个最深的节点的路径上的所有节点都在栈里面。所以栈的最大深度就是树的高。（下图红色为当前处理路径，蓝色为已经处理）

          1

    1        1

 1    1   1  1

1 1 1 1 1 1