算法导论 CLRS 23.1-8 解答

假设最小生成树T和T'按照权重排序后的边为(e₀, e₁, ..)和(e₀', e₁', ....), 引入记号E_i和E_i'，分别为T和T'的第0到第i条边的集合

 

假设e_k和e_k'为第一对不是同一条边的位置，假设e_k为边(u, v), e_k'为(u', v')

 

证明第一部分：

 在T'中必然有一条u--->v的路径，记为P'(u,v)：

　　1. P'(u,v)不可能只包含E_k-1'中的边：因为k为第一对不同的边故E_k-1 = E_k-1'，如果u--->v只有E_k-1'的边则在T中形成环路

      2. 假设边e_j'为{P'(u,v)-E_k-1'}中一条，则weight(e_j')<=weight(e_k) [注：反证法证明，略], 且j>=k，由递增可知weight(e_k')<=weight(e_j')，故weight(e_k')<=weight(e_k)

 结论1： 对称的可以推到weight(e_k)<=weight(e_k'), 因此e_k和e_k'的权重必然相等； 

 结论2： 任取边e'属于{P'(u,v)-E_k-1'}, weight(e’)=weight(e_k)=weight(e_k')

 

证明第二部分：

 1. 如果T'中也有e_k，则在T'中交换e_k和e_k'

 2. 如果T'中不包含e_k, 可以将{P'(u,v)-E_k-1'}中任意一条替换为为e_k, 然后按照1交换