【组合数学】 02 - Möbius反演公式

合集 - 组合数学(6)

1.【组合数学】 01 - 关于“摆放”的科学2016-09-02

2.【组合数学】 02 - Möbius反演公式2016-09-02

3.【组合数学】 03 - 母函数和递推关系2016-09-024.【组合数学】 04 - 基本计数问题2016-09-025.【组合数学】 05 - 经典计数方法2016-09-026.【组合数学】 06 - 组合设计2016-09-02

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　　计数问题种类繁多，为了避免陷入漫无目的烧脑运动，我们先需要关注一些常用方法和结论。数学的抽象性和通用性是我们一直推崇的，从诸多特殊问题中发现一般性的方法，也总会让人兴奋和慨叹。一般教材多是以排列组合开篇，采用了一些技巧性很强的初等方法来讨论组合计数，我倒觉得可以直接先掌握一些锋利的工具，到时再看那些问题，会有快刀斩乱麻之快感。

1. 关联代数

1.1 一个例子

　　为了对反演公式有个直观的认识，我们从一个简单的问题说起，考察数列的求和公式（1）。左式表示当知道数列的每一项$a_n$时，就可以得到前$n$项的和$s_n$，右式表示知道和$s_n$也可以反推到项$a_n$。整理一下这段陈述中的要素，有两个定义在自然数集上的函数$f(n),g(n)$，$f(n)$可以由$g(1),\cdots ,g(n)$线性表出，$g(n)$也可以由$f(1),\cdots ,f(n)$线性表出，结论是这两个线性表出是等价的，由其中一个可以推导出另一个。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& s_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\iff a_n=s_n-s_{n-1}\end{array}$$

　　这样的互逆推导现象被称为反演，现在来深入寻找其中的模式。有了线性代数的知识，以上推导式其实就是一个简单的线性方程组（式（2））。有两点需要强调，一点是由于递推式的特点，两边的矩阵都是下三角可逆矩阵。另一点是，这个表达式对任意的$n$都成立，其中的向量和方阵都可以看成是无限维的。第二点让我们把注意力吸引到了方阵上（设两边分别为$A,B$），因为不管$n$是多少，两边的方阵在$a_{ij},b_{ij}$的取值都是相同的！

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \left[\begin{array}{c}{s}_1\\ s_2\\ ⋮\\ s_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ 1& 1& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ 1& \cdots & 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& & & \\ -1& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{s}_1\\ s_2\\ ⋮\\ s_n\end{array}\right]\end{array}$$

1.2 偏序集

　　看来我们已经把问题引入到了无限维下三角方阵上来，而讨论的目标则是它的逆元。为了得到这样的扩展，我们用另一种方法来描述下三角方阵。首先它定义在正整数集的二元关系$(x,y)$上，其次只有当$x⩾y$时有意义。我们知道正整数集是一个全序集，任意两个数之间都是“可比”的，下三角矩阵就是“可比”关系的函数。既然要扩展定义，我们不妨把这个函数定义在稍弱一点的“序集”上，只需要局部是“可比”的，反演在局部应该也是有意义的。

　　具体来说，我们来回顾集合论中的偏序集，定义集合$X$的二元关系$⩾$，它满足自反率、反对称性、传递性，并称之为偏序。定义了偏序的集合也称为偏序集（partially ordered set），其中有二元关系的两个元素称为可比的，可比元素之间的所有元素称为截断，记为$[x,y]$。偏序集可以用Hasse图来直观地表示，图中只连接了直接可比的元素（上大下小），整体看起来呈现网状结构。除了整数集之外，常见的偏序集还有：集合间的包含关系、正整数间的整除关系等。

　　偏序集可以是无限的，但为了便于讨论，我们假定局部是有限的，即$[x,y]$是有限集。如果把偏序关系全部倒过来，得到的显然还是偏序集，且和原集是同构的，没有本质区别，它们称为对偶的。另外，对于偏序集$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，容易知道直积$X_1\times \cdots \times X_n$在式（3）定义下也是偏序集。如果记$n$元集合的所有子集在包含关系下的偏序集为$B(n)$，则易知它同构于$n$个$2$元链$L_2$的直积$L_2^n$。再记$n$之内的整数在整除关系下的偏序集为$D(n)$，设$n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$，则易知它同构于$L_{e_1+1}\times \cdots \times L_{e_k+1}$。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (x_1,x_2,\cdots ,x_n)⩾(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\iff x_1⩾y_1\wedge \cdots \wedge x_n⩾y_n\end{array}$$

1.3 关联代数

　　现在在偏序关系$X$上定义函数$\alpha (x,y)\in X\times X\to \mathbb{R}$，当$x⩾̸y$时$\alpha (x,y)=0$。为讨论它们的代数结构，记所有函数的集合为$I(X)$，在上面定义加法和数乘是平凡的。参考矩阵乘法的定义，可以按式（4）定义函数的乘法$\alpha \beta$，可以证明乘法满足结合律。在抽象代数中我们知道，这样的结构叫做结合代数，在这里我们称它为偏序集$X$的关联代数（incidence algebra），也记作$I(X)$。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& (\alpha \beta )(x,y)=\sum _{x⩾z⩾y}\alpha (x,z)\beta (z,y)\end{array}$$

　　容易验证以下函数$\delta$就是关联代数的单位元，下面讨论关联代数中的逆元。假设$\beta \alpha =\delta$，固定$x$的值，由乘法的定义可有式（6）。如果$\alpha (x,x)\ne 0$，显然可递推得到任何一个$\beta (x,y)$，这就得到了$\alpha$存在逆元的充要条件：$\alpha (x,x)\ne 0$。还可以确定，$\beta (x,y)$完全取决于$z\in [x,y]$上$\alpha (z,y)$的值。另外值得注意的是，逆元$\beta$不仅与$\alpha$有关，还与偏序集的结构有关。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \delta (x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& (x=y)\\ 0,& (x\ne y)\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \beta (x,x)\alpha (x,x)=1,\sum _{x⩾z⩾y}\beta (x,z)\alpha (z,y)=0\end{array}$$

　　特别地，定义式（7）中的常用函数$\zeta$为zeta函数，它的逆$\mu$显然存在，被称之为Möbius函数。由式（6）可得到$\mu$的递推式（8），它只包含$0,\pm 1$，具体值与偏序集的结构有关。设偏序集$X_1,\cdots ,X_k$上有函数${\delta }_i,{\zeta }_i,{\mu }_i$，对于它们的直积$X$，首先显然有式（9）的前两式成立，式（10）的推导和逆元的唯一性也说明了第三式成立。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \zeta (x,y)=\{\begin{array}{cc}1,& (x⩾y)\\ 0,& (x⩾̸y)\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \mu (x,x)=1,\mu (x,y)=-\sum _{x⩾z>y}\mu (x,z)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \delta (x,y)=\prod _{i=1}^k{\delta }_i(x_i,y_i);\zeta (x,y)=\prod _{i=1}^k{\zeta }_i(x_i,y_i);\mu (x,y)=\prod _{i=1}^k{\mu }_i(x_i,y_i)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \delta (x,y)=\prod _{i=1}^k\sum _{x_i⩾z_i⩾y_i}{\zeta }_i(x_i,z_i){\mu }_i(z_i,y_i)=\sum _{x⩾z⩾y}\prod _{i=1}^k{\zeta }_i(x_i,z_i){\mu }_i(z_i,y_i)\end{array}$$

2. Möbius反演公式

2.1 反演公式

　　有了以上准备工作，现在把例子中的问题进行扩展。为了避免对无限的讨论，先限定对任意$x$，小于它的元素有限，这样的偏序集称为下有限的。同样可以定义上有限，以下结论对上有限也有对应的结果。设$f(x),g(x)$是定义在偏序集$X$上的函数，而$\alpha ,\beta$是$I(X)$中的互逆元，则需要证式（11）成立。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& f(x)=\sum _{y⩽x}\alpha (x,y)g(y)\iff g(x)=\sum _{y⩽x}\beta (x,y)f(y)\end{array}$$

　　为了论证方便，可以把$\sum$的下标换成任意值$y$（因为当$y⩽̸x$时$\alpha (x,y)=0$），证明$\Rightarrow$时，只需把$f(y)=\sum _z\alpha (y,z)g(z)$带入右式中的$\sum _y\beta (x,y)f(y)$即可。过程从略，同样的方法可以验证$\Leftarrow$。特别地，对zeta函数有Möbius反演公式（式（12））成立，而式（11）是它的推广形式，这些结论都是美国数学家Rota在1964年发表的。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& f(x)=\sum _{y⩽x}g(y)\iff g(x)=\sum _{y⩽x}\mu (x,y)f(y)\end{array}$$

　　当偏序集是有限集时，关系代数其实可以表示成方阵，这时反演公式其实就是线性方程组的解。为了显式地表示式（11）的递推关系，我们需要把方阵的行（列）按照偏序集元素的从小到大的顺序排列，这就需要把偏序关系扩展成全序关系。这一点是不难做到的，首先对$n=1$的偏序集已经是全序集，当$n>1$时先把一个极小值记作$x_1$，其它$n-1$个元素仍然构成偏序集。由归纳法知它们可以扩展成全序集$x_2⩽\cdots ⩽x_n$，这时全序集$x_1⩽\cdots ⩽x_n$就是满足条件的扩展。这个全序集的关联代数的方阵就是下三角矩阵，元素可逆的充要条件是：方阵的对角元素非零。

2.2 反演公式的应用

2.2.1 递推数列

　　接下来具体讨论几个常见偏序集，先从最简单的单链$L_n$开始，则有式（13）的反演公式。把数列$f(n),g(n)$分别看成是行向量$F,G$，再把它们的递推关系表示为互逆的下三角方阵$A,B$，反演公式其实就是平凡的$F=AG\iff G=BF$。特别地，$L_n$的$\zeta ,\mu$分别可以表示为式（2）中的矩阵。以上结论对$n=\mathrm{\infty }$同样成立，$F,G$就变成无穷维行向量，$A,B$就是无穷维下三角方阵。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& f(n)=\sum _{k=1}^n{a}_{nk}g(k)\iff g(n)=\sum _{k=1}^n{b}_{nk}f(k)\end{array}$$

　　有时候我们需要得到除$\zeta ,\mu$之外的互逆函数（方阵），而利用两个关系简单的数列就可以反过来求互逆函数。这里拿多项式举例（以下假定读者有高中排列组合知识），假设有两个多项式序列$\{p_n(x)\},\{q_n(x)\}$，其中$p_k(x),q_k(x)$的阶都是$k$，容易证明它们可以互相唯一线性表示。如果能某个关联函数能找到适当的多项式序列，那它的逆也就容易求得。比如考察$p_n(x)=x^n$和$q_n(x)=(x-1{)}^n$，则显然有下式成立，所以二项式矩阵$a_{ij}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$的逆元就是$b_{ij}=(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})$，它被称为二项式的反演公式。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& p_n(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})q_k(x);q_n(x)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p_k(x)\end{array}$$

　　二项式是非常常用的数列，利用这个反演公式可以解决一些很难的计数问题。比如考虑把$n$封信拆开重装，记有$k$封信装错的的装法有$D_k$个，这个数称为错位排列数，以后还会讨论。因为$n$封信的随意排列有$n!$种，而这其中可以分为有$0,1,\cdots ,n$封装错的情况，从而有式（15）左式，由二项式反演公式就得到式（15）右式。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& n!=\sum _{k=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})D_k\iff D_n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})k!\end{array}$$

　　特别地，当$q_n(x)=p_n(-x)$时，它们的关联函数与自己互逆。以下记$(x{)}_n=x(x-1)\cdots (x-n+1)$，考察$p_n(x)=(-x{)}_n$和$q_n(x)=(x{)}_n$，因为对任意整数$m$有式（16）成立。因为多项式之间的线性表示唯一，从而将$m$换成$x$等式也成立，这就得到了式（17），对应的反演公式被称为Lah反演公式。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& (-1{)}^n{\displaystyle \frac{(-m{)}_n}{n!}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n-1}{n})=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}){\displaystyle \frac{(m{)}_k}{k!}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& (-x{)}_n=\sum _{k=0}^n{l}_{nk}(x{)}_n\iff (x{)}_n=\sum _{k=0}^n{l}_{nk}(-x{)}_n,l_{nk}=(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n!}{k!}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})\end{array}$$

2.2.2 容斥原理

　　本节讨论集合$A$的子集簇$B(A)$在包含关系下的偏序集，这里只讨论$\zeta ,\mu$函数。前面已经知道，$B(A)$是同构于$L_2^n$的，而$L_2$的$\mu$函数为$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$。如果子集$S\supset T$，则利用公式（9）易知$\mu (S,T)=(-1{)}^{|S|-|T|}$，这个结论马上要用到。

　　现在要讨论$B(A)$的函数$f(S),g(S)$，并且它们有关系$f(S)=\sum _{T\subseteq S}g(T)$。为了使问题直观且有意义，可以建立如下模型：设集合的每个元素有属性集$X=\{P_1,P_2,\cdots ,P_n\}$中的部分属性，我们比较关心的集合有两种：恰好有属性子集$T$中的所有属性元素个数$N_{=}(T)$，和至少有$T$中所有属性的元素个数$N_{⩾}(T)$。

　　这个模型还有一个我们更熟悉描述方法，记所有含有性质$P_k$的元素为$A_k$，则$A_1,\cdots ,A_n$可以看作是全集$A$里$n$个子集。把$n$种性质简记为$[n]$，属性子集$T$则为$[n]$的一个子集，式（18）说明了两种描述的等价关系。对另一个熟悉的集合$A_1\cup \cdots \cup A_k$，可以先讨论它的逆${\overline{A}}_1\cap \cdots \cap {\overline{A}}_k$，将模型缩小为$k$个属性，它其实就是$N_{=}(\varnothing )$。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& N_{⩾}(T)=\left|\bigcap _{i\in T}{A}_i\right|;N_{=}(T)=|(\bigcap _{i\in T}{A}_i)\cap (\bigcap _{j\notin T}{A}_j)|\end{array}$$

　　在实际问题中，$N_{⩾}(T)$更容易求得，因为它只需关注具有属性集$T$元素。$N_{=}(T)$则比较难计算，但我们容易有式（19）左边的关系。它们满足属性子集的对偶偏序集上的反演公式，则容易有式（19）右边的结论。特别地有式（20）成立，它还有个直观的描述，不含有任何性质的元素可以这样计数：先在全集$A$中分别去除$A_i$的个数，然后加上被重复去除的$A_i\cap A_j$，再加上多去除的部分……。这个过程就是在反复地去除再添加，因此式（20）也叫容斥原理。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& N_{⩾}(T)=\sum _{S\supseteq T}{N}_{=}(S)\iff N_{=}(T)=\sum _{S\supseteq T}(-1{)}^{|S|-|T|}{N}_{⩾}(S)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& |A|-|A_1\cup \cdots \cup A_n|=N_{=}(\varnothing )=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k\sum _{|S|=k}{N}_{⩾}(S)\end{array}$$

　　容斥原理是个很古老的结论，这里利用反演公式的证明比任何初等证明都清晰。之前其实我们已经运用过这个结论，这里再举几个例子。先来回顾一下错位排列问题，把第$i$位没有排错作为性质$P_i$。至少有$k$位排列正确的个数有$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(n-k)!$，利用容斥原理并整理得式（21）左，它和式（15）其实是一样的。有趣的是还有式（21）右成立，它说明信封完全装错的概率趋于$1/e$。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& D_n=n!\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k}{k!}};\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{D_n}{n!}}={\displaystyle \frac{1}{e}}\end{array}$$

　　再来看欧拉函数$\phi (n)$，它表示$[n]$中与$n$互素的数的个数。设$n$的全部质因数是$p_1,\cdots ,p_k$，以被$p_i$整除为性质$P_i$，$[n]$中至少被$m$个质因数整除的个数是$\sum {\displaystyle \frac{n}{p_{i_1}\cdots p_{i_m}}}$。利用容斥原理并整理得式（22），它也有显然的概率论意义：不被$p_i$整除 与不被$p_j$整除是独立事件。

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \phi (n)=n(1-{\displaystyle \frac{1}{p_1}})(1-{\displaystyle \frac{1}{p_2}})\cdots (1-{\displaystyle \frac{1}{p_k}})\end{array}$$

　　• 计算$[n]$中与$n$互素的数之和；（提示：计算能整除$p_1\cdots p_i$的数之和，答案${\displaystyle \frac{1}{2}}n\phi (n)$）

　　• 字母$a_1,\cdots ,a_n$各有两个，用它组成的$2n$元字中，相同字母不相邻的字有多少个？

2.2.3 经典反演公式

　　最后来讨论正整数集在整除关系下偏序集，其实这是Möbius反演公式的最初原型。当$d|n$时，先来计算$\mu (n,d)$，为此考虑偏序集$D(n)$，其中$n=p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$。前面知道它同构于$L_{e_1+1}\times \cdots \times L_{e_k+1}$，${\mu }_i(n_i,d_i)$（$n_i,d_i$分别是$n,d$中$p_i$的幂）当$n_i=d_i$相等时为$1$，当$n_i=d_i{p}_i$时为$-1$，其它为$0$。

　　利用公式（9）可以证明，$\mu (n,d)$只与$m={\displaystyle \frac{n}{d}}$有关，由此可直接记作$\mu (m)$。它就是经典Möbius函数，易知它有表达式（23），其下的经典Möbius反演公式便是式（24），之前的反演公式是推广后的结论。

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \mu (m)=\{\begin{array}{cc}(-1{)}^r,& \text{all }{e}^i=1\\ 0,& \text{others}\end{array},(m=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r},\text{all }{e}^i>0)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(24)}& f(n)=\sum _{d|n}g(d)\iff g(n)=\sum _{d|n}\mu ({\displaystyle \frac{n}{d}})f(d)\end{array}$$