【组合数学】 05 - 经典计数方法

1. 基本计数的母函数

　　现在来用母函数来求解基本计数问题，母函数既可以完成自动计数，还能表示计数本身，像Stirling数这种就只能用母函数表示。自动计数适用于可以分步的计数问题，并且目标值是每步值之和，这与多项式的运算性质有关。

1.1 组合数和分划数

　　直观上最符合这一特点的就是模型2，从\(n\)个可区别对象中选出\(m个\)。限制第\(k\)个对象被取的次数在集合\(M_k\)中，它被选情况的母函数是\(\sum\limits_{i\in M_k}x^i\)，所有元素被选择的情况可以借助母函数（1）自动计数，共选取\(m\)个元素的个数是\(x^m\)的系数。特别地，不可重复组合数的母函数是\((1+x)^n\)，可重复组合数的母函数是\(\dfrac{1}{(1-x)^n}\)（注意\(1+x+x^2+\cdots=\dfrac{1}{1-x}\)），满射的母函数是\(\dfrac{x^n}{(1-x)^n}\)。

\[\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k=\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j\in M_i}x^j\right)\tag{1}\]

　　对于模型4的分拆数，考虑到\(1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots m^{\lambda_m}\)型分拆要满足上篇式（14），它也可以用母函数自动计数。对长度为\(k\)的分部使用\(x^{k\lambda_k}\)，故长度为\(k\)的分部的母函数是\(1+x^k+x^{2k}+\cdots=\dfrac{1}{1-x^k}\)。所以\(p(m)\)的母函数便是式（2），由于\(p(m,k)\)等于最大分部为\(k\)的分拆数，故它的母函数是式（3）。

\[\sum_{n=0}^{\infty}p(n)x^n=\prod_{i=1}^{\infty}(1-x^i)^{-1}\tag{2}\]

\[\sum_{n=0}^{\infty}p(n,k)x^n=x^k\prod_{i=1}^k(1-x^i)^{-1}\tag{3}\]

　　值得一提的是，欧拉当初就是在研究分划数时发现母函数方法的。即使有式（2），\(p(m)\)的性质还是不清楚，我们注意到（2）的逆\(q(x)\)相对比较简单，值得讨论一下。\(q(x)\)有一个还算显然的组合意义，每一项系数的绝对值是分部互异的分划数，符号的意义则是分部数为奇数和偶数时分划数的差。利用这一组合意义辅助讨论（过程见教材），不难得到\(q(m)\)满足式（4）。继而可得到\(p(m)\)的递推关系式（5），它被称为欧拉公式。

\[q(m)=\left\{\begin{matrix}(-1)^k,&\text{if}\;m=\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\\0,&\text{if}\;m\ne\frac{1}{2}(3k^2\pm k)\end{matrix}\right.\tag{4}\]

\[p(m)=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\left(p(m-\frac{3k^2-k}{2})+p(m-\frac{3k^2+k}{2})\right)\tag{5}\]

　　• 利用母函数证明：分部都为奇数的分划数等于分部互异的分划数。

1.2 指数型母函数

　　对于模型1的排列数，简单的相加显然不再满足，考察上篇式（2），这就启发我们用\(\dfrac{x^k}{k!}\)代替\(x^k\)（式（6））。对于数列\(c_n\)，级数（6）被称为数列的指数型母函数，它对排列问题非常适用。同上面的分析，\(n\)个互异元素中选\(m\)个排列的母函数是式（7）。特别地，无重复排列数的母函数是\((1+x)^n\)，可重复排列数的母函数是\(e^{nx}\)（注意\(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots=e^x\)），满射排列数的母函数则是\((e^x-1)^n\)。

\[\sum_{k=0}^{\infty}c_k\dfrac{x^k}{k!}=c_0+c_1\dfrac{x}{1!}+c_2\dfrac{x^2}{2!}+c_3\dfrac{x^3}{3!}\cdots\tag{6}\]

\[\sum_{k=0}^{\infty}c_k\dfrac{x^k}{k!}=\prod_{i=1}^n\left(\sum_{j\in M_i}\dfrac{x^j}{j!}\right)\tag{7}\]

　　最后趁热看一下模型3中的Stirling数，由于\(k!S(m,k)\)就是模型1中的满射，利用满射排列数的母函数容易知\(S(m,k)\)的指数型母函数（式（8）），利用指数型母函数也可以得到上篇式（26）。为了得到\(s(m,k)\)的指数型母函数\(g_k(x)\)，从上篇式（27）右得到启发，先计算\(g_k(x)\)的母函数得到\((1+x)^y\)（过程略，二层母函数使用\(y\)），展开\(y\)的幂级数便得到\(s(m,k)\)的指数型母函数（9）。有了指数型母函数，Stirling数的性质就可以通过母函数研究，比如对母函数求导能得到递推关系式（10）（11）。

\[\sum_{m=0}^{\infty}S(m,k)\dfrac{x^m}{m!}=\dfrac{1}{k!}(e^x-1)^k\tag{8}\]

\[\sum_{m=0}^{\infty}s(m,k)\dfrac{x^m}{m!}=\dfrac{1}{k!}(\ln(1-x))^k\tag{9}\]

\[S(m,k)=\sum_{i=k-1}^{m-1} \binom{m-1}{i}S(i,k-1)\tag{10}\]

\[s(m,k)=\sum_{i=k-1}^{m-1}(-1)^{m-i-1}(m-1)_{m-i-1}s(i,k-1)\tag{11}\]

　　• 求每个元素取到偶数个的排列数。

2. Pólya计数定理

2.1 引言和环状字

　　基本计数问题中只涉及了两个最极端的拓扑结构，但在阐述的过程中，我们一直强调了同构类的思想。这里将推广这个思想，并将其用到更多的拓扑结构中。所谓同构，就是将拓扑结构中的元素置换，元素间的关系和置换后一致，它的代数意义就是我们熟悉的\((a,b)=(f(a),g(a))\)。我们这里就不再说元素可区分、不可区分了，每个元素单独看都无差别，它的差异性完全由其在拓扑结构中的位置决定。

　　比如图中的环状拓扑，直觉上说每个元素是“不可区分”的，但它们却不能随便置换。当把\(a\)置换到\(a'\)时，为了保持\(a,b\)的关系，\(b\)只能置换到\(b'\)，所以这个拓扑中的同构就只能是整个图的旋转。再来看另一个环状拓扑，它除了旋转之外，延虚线的翻转也是同构置换。最后的立方体，其中包括更多同构置换，它们都与我们的直觉对应，就是变动后仍与以前一样。为了简单起见，以下我们只讨论原像是复杂拓扑，而像是可区分集的问题。它的等价模型就是给拓扑结构的元素染色，这时的同构当然还要求元素被置换到同样颜色的元素。

　　如果原像是左图的\(m\)阶有向环形，用\(n\)种颜色为其染色（或写入\(n\)种字母），结果被称为\(m\)元环状字，同构环状字的个数记作\(C_n(m)\)。先将环形固定并对其染色，将环状字进行旋转，得到的不同染色方案便是该染色同构的个数。如果颜色出现的最小周期为\(d\)，易知共可以得到\(d\)个不同的染色，则有\(n^m=\sum\limits_{d|m}dM(d)\)，其中\(M(d)\)是最小周期为\(d\)染色数（同构意义下）。利用反演公式可以得到\(mM(m)=\sum\limits_{d|m}\mu(\dfrac{m}{d})n^d\)，从而有环状字的计数公式（12）。

\[C_n(m)=\sum_{d|m}\sum_{d'|d}\mu(\dfrac{d}{d'})\dfrac{n^{d'}}{d}\tag{12}\]

2.2 Pólya计数定理

　　现在对问题做一般性的讨论，先假设原像是可区分的，在其上进行染色，得到了染色方案集\(X\)。还有对原像拓扑（不含颜色）进行同构置换的变换集\(G\)，对任意\(g\in G\)，它都是一个变换\(g:X\to X\)。当对\(x_1,x_2\in X\)，当存在\(g\in G\)使得\(g(x_1)=x_2\)时，称\(x_1,x_2\)是等价的，而我们的问题就是求等价类的个数。

　　容易证明对每个拓扑结构，其所有的同构置换在复合运算下是封闭的，从而构成一个群。又由于它是置换群的子集，故也称对称群。\(G\)对\(X\)的变换满足条件（13），该变换是\(G\)在\(X\)上的“作用”，你需要先回顾一下“群的作用”相关知识。从两个维度分别讨论\(g(x)=x\)，可以得到等价类的个数\(N(G)\)满足式（14）的Burnside定理，其中\(F_g\)表示满足\(g(x)=x\)的\(x\)的个数。如果对每个\(x\in X\)加权\(w(x)\)，并使得同一等价类中的元素权值相同，则有Burnside定理的加权版（式（15）），其中\(x_k\)是第\(k\)的等价类的代表元。

\[(g_1g_2)(x)=g_1(g_2(x));\;\;e(x)=x\tag{13}\]

\[N(G)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|F_g|\tag{14}\]

\[\sum_{k=1}^{N(G)}w(x_k)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}(\sum_{x\in F_g}w(x))\tag{15}\]

　　在染色问题中，我们比较关心一个染色方案使用的颜色组合，为了体现这个信息，给每个颜色赋上权值\(y_i\)。而一个染色方案的权值则是\(y_1^{k_1}y_2^{k_2}\cdots y_n^{k_n}\)，其中\(k_i\)是颜色\(i\)出现的次数，且有\(k_1+k_2+\cdots+k_n=m\)。式（15）包含了所有染色方案（同构意义下）的权值，其中我们可以得到每种颜色组合\(k_1,k_2,\cdots,k_n\)下染色方案的个数。当然式（15）的计算是通过右边的式子得到的，右边聚焦于每一个置换\(g\)本身的性质，使得问题只与拓扑结构有关。

　　我们知道每个置换\(g\)其实是一些轮换的组合，比较显然（也很关键），\(g(x)=x\)的充要条件是同一轮换中的颜色相同。这里借用母函数的思想来计算\(F_g\)的权重，对长度为\(k\)的轮换，所有可能的权重之和是\(y_1^k+y_2^k+\cdots+y_n^k\)。从而对\(1^{\lambda_1}2^{\lambda_2}\cdots m^{\lambda_m}\)型置换\(g\)的，\(F_g\)的权重如式（16）。为了表述方便，把式（17）称为\(G\)的轮换指标（cycle index），显然当\(\delta_k=y_1^k+y_2^k+\cdots+y_n^k\)时便得到权重的完整表达式，它也被称为式样清单。特别地，取\(y_1=y_2=\cdots=y_n=1\)（即\(\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_m=n\)），便得到所有式样的个数（染色数）\(P_G(n,\cdots,n)\)，这些结论就是波利亚（Pálya）计数定理。

\[w(F_g)=\prod_{k=1}^n(y_1^k+y_2^k+\cdots+y_n^k)^{\lambda_k}\tag{16}\]

\[P_G(\sigma_1,\cdots,\sigma_m)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\sigma_1^{\lambda_1(g)}\cdots\sigma_m^{\lambda_m(g)}\tag{17}\]

2.3 典型例子

　　波利亚定理采用了类似母函数的思想，能够准确地完成自动计数，但结论并没有给出最终计数值，所以它更多的在于其理论价值。下面以图中三种拓扑结构为例，阐述波利亚定理的应用，而问题的关键其实就是式（17）的计算。

　　首先是有向环，显然它的对称子群是一个\(m\)阶循环群\(C_m=\{g,g^2,\cdots,g^m=e\}\)，其中\(g\)是单步旋转。容易知道，\(g^k\)是\((k,m)\)个\(\dfrac{m}{(k,m)}\)阶轮换之积，其中\((k,m)\)是最大公约数的记号。反过来考虑，对任意\(d|m\)，有\(\varphi(\dfrac{m}{d})\)个\(g^k\)的轮换指标是\(\sigma_{m/d}^d\)。所以其轮换指标是式（18），进而得到环状字的个数式（19），它和式（12）其实是等价的（\(\varphi(m)=\sum\limits_{d|m}\mu(d)\frac{m}{d}\)）。

\[P_{C_m}=\dfrac{1}{m}\sum_{d|m}\varphi(\dfrac{m}{d})\sigma_{m/d}^d=\dfrac{1}{m}\sum_{d|m}\varphi(d)\sigma_d^{m/d}\tag{18}\]

\[C_n(m)=\dfrac{1}{m}\sum_{d|m}\varphi(d)n^{\frac{m}{d}}\tag{19}\]

　　再来看无向环，一个典型问题就是用不同颜色的珍珠能串成多少个不同的项链。它和有向环不同的是还可以进行翻转，它的对称子群\(D_m=\{g,g^2,\cdots,g^m=e,ag,ag^2,\cdots,ag^m=a\}\)被称为二面体群。其中后\(m\)个是翻转变换，当\(m\)是奇数时是\(\dfrac{n-1}{2}\)个对换，当\(n\)为偶数时，一半是\(\dfrac{n}{2}\)个对换，一半是\(\dfrac{n-2}{2}\)个对换，翻转的轮换指标如式（20）。

\[\sum_{k=1}^mw(ag^k)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{2}x_1x_2^{\frac{m-1}{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\text{if m is odd}\\\\\dfrac{1}{4}(x_2^{\frac{m}{2}}+x_1^2x_2^{\frac{m-2}{2}}),&\text{if m is even}\end{matrix}\right.\tag{20}\]

　　最后来看立方体，立方体的对称群被称为立方体的旋转群，除了单位元外，还有以下三类旋转：（1）3*3=9个以对面中心为轴的旋转；（2）2*4=8个以过对顶点直线为轴的旋转；（4）1*6个以过对边中点直线为轴的旋转。这些变换可以分别作用在顶点、边和面上，其对应的轮换指标分别为如下三式所示。

\[P_0=\frac{1}{24}(x_1^8+9x_2^4+6x_4^2+8x_1^2x_3^2)\;\;\;\;\;\;\tag{21}\]

\[P_1=\frac{1}{24}(x_1^{12}+3x_2^6+6x_4^2+8x_3^4+6x_1^2x_2^5)\;\tag{22}\]

\[P_2=\frac{1}{24}(x_1^6+3x_1^2x_2^2+6x_1^4x_4+6x_2^3+8x_3^2)\tag{23}\]

　　• 讨论\(n\)种颜色串成的项链种数，包括规定颜色数量的情况；

　　• 讨论\(n\)种颜色涂色立方体点、边、面的种数，包括规定颜色数量的情况。