【微积分】 10 - 广义积分

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-023.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-024.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-025.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-036.【微积分】 06 - 重积分2016-03-037.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-03

10.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 反常积分

1.1 反常积分的定义

　　定积分是定义在闭区间$[a,b]$上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分${\int }_1^A{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\text{d}x=1-{\displaystyle \frac{1}{A}}$，当$A\to +\mathrm{\infty }$时，积分有极限$1$。同样地，看积分${\int }_{\epsilon }^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}\text{d}x=2-2\sqrt{\epsilon }$，当$\epsilon \to 0$时，积分有极限$2$。

　　当$a$（或$b$）无界，或$f(a^{-})$（或$f(b^{+})$）无界时，我们把式（1）定义为反常积分。极限存在时，称反常积分收敛，否则称为发散的。反常的点（变量或函数无界）被称为奇点，含有有限个极点的积分仍然被称为反常积分，它可以被分割为若干独立的反常积分。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\text{d}x=\underset{A\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{A}f(x)\text{d}x;{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=\underset{\delta \to 0}{lim}{\int }_a^{b-\delta }f(x)\text{d}x\end{array}$$

　　• 求反常积分：${\int }_0^1\ln x\text{d}x$、${\int }_0^1{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\text{d}x$。

1.2 敛散性的判定

　　反常积分敛散性的判断，本质上就是判断极限是否存在，可以将极限的判定定理应用到反常积分。比如柯西法则在反常积分中就是说，对式（1）左的反常积分，如果对任意$\epsilon >0$，存在足够大的$A$，当$A^{\prime }>A$时式（2）左成立，则反常积分收敛。同样对于式（1）右，如果对任意$\epsilon >0$，存在足够小的$\delta$，使得当$0<{\delta }^{\prime }<\delta$时式（2）右成立，则反常积分收敛。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& |{\int }_A^{A^{\prime }}f(x)\text{d}x|<\epsilon ;|{\int }_{b-\delta }^{b-{\delta }^{\prime }}f(x)\text{d}x|<\epsilon \end{array}$$

　　另外一方面，级数也是极限的一种表现形式，设有单调数列$b_n\to b$（$b$为奇点，$a=b_0$），则反常积分收敛的充要条件是，式（3）中的级数收敛。这就把反常积分转化成了级数问题，级数中的一些判别法也可以应用到这里。比如对于$f(x)⩾g(x)⩾0$，根据正项级数的比较判别法，可以得到$f(x),g(x)$反常积分的敛散性关系。比较判定法也有极限形式，当${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$的极限存在时，容易有类似的敛散性关系。另外也可以定义绝对收敛和条件收敛，这里不作赘述。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{b_n}^{b_{n+1}}f(x)\text{d}x\end{array}$$

　　级数中对乘法的级数有非常重要的结论（阿贝尔判别法和狄利克雷判别法），那么$f(x)g(x)$反常积分是否有类似的结论呢？注意到这两种判别法都有一个级数局部和的条件，和另一个级数单调的条件，对应到这里应该是一个函数积分的条件，和另一个函数单调性的条件。这两个条件容易让我们想到积分第二中值定理（请回顾定理），利用柯西法则和中值定理容易得到相应的结论。

　　阿贝尔判别法就是说：如果反常积分${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$收敛，$g(x)$在$(a,b)$上单调有界，则反常积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x$收敛。狄利克雷判别法就是说：如果反常积分${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$有界，$g(x)$在$(a,b)$上单调趋于$0$，则反常积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x$收敛。

　　• 判断敛散性：${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x\sin x\text{d}x$、${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin x}{x\sqrt{1+x^2}}}\text{d}x$、${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\text{d}x$。

1.3 反常积分的计算

　　根据定义，反常积分的求解可以转化为正常的定积分和一个求极限运算，定积分的一些结论同样可以扩展到反常积分中。比如反常积分积分的四则运算（略），再比如反常积分的分部积分公式（4）（要求$u(x),v(x)$都有连续导数）。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\int }_a^{b}u(x)\text{d}v(x)=[u(x)v(x)]{|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)\text{d}x\end{array}$$

　　还有就是积分的换元法，但先要弄清换元法成立的条件。对一般定积分，设$f(x)$是$[a,b]$上的连续函数，$x=\phi (t)$定义在$[\alpha ,\beta ]$上，且有${\phi }^{\prime }(t)$连续和$a=\phi (\alpha ),b=\phi (\beta )$，则有换元公式（5）成立。对于反常积分（比如$b,\beta$是奇点），对定义域上的$b_0=\phi ({\beta }_0)$也有换元法成立。要使式（5）两边都成立，还要$b_0\to b$和${\beta }_0\to \beta$同时成立，这就另外要求$\phi (t)$是单调的，它是（5）对反常积分成立的额外条件。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\text{d}t\end{array}$$

　　• 计算反常积分：${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(\ln x{)}^n\text{d}x$、${\int }_a^b{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}}$、${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\text{d}x}{1+x^4}}$。

2. 含参积分

　　在函数项级数里，我们讨论了极限（或级数）与其它运算交换的条件，从而极限问题转化为了其它问题。类似的，这里开始讨论积分与其它运算的关系，并希望能得到各类运算间的自由转换。在函数序列（或级数）中，$n$是变量，$x$其实是一个参数，研究的方法就是讨论$f(x)$（或$S(x)$）的分析性质。同样的，这里我讨论的对象是式（1）的含参积分，通过分析$I(y)$的分析性质研究积分与其它运算的交换。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& I(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x\end{array}$$

2.1 含参正常积分

　　为简单起见，我们考察$D=[a,b]\times [c,d]$上的二元函数$f(x,y)$，它对对任何$y$在$[a,b]$上都正常可积。先看$I(y)$的连续性，就是要证$\underset{y\to y_0}{lim}{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x={\int }_a^{b}f(x,y_0)\text{d}x$。为了体现运算的交换性，我们再假定$f(x,y)$在$D$上是连续的，连续性就是式（7）。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \underset{y\to y_0}{lim}{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x={\int }_a^b\underset{y\to y_0}{lim}f(x,y)\text{d}x\end{array}$$

　　这个式子和函数项级数中的极限函数的积分公式有几份相像，只不过把数列极限换成了实数极限。这就启发我们把函数项极限扩展到一般的函数极限，先是函数极限的一致收敛定义和各种判别法，再有极限函数的连续性、可微性和可导性。论证和结论都是类似的，这里就不再赘述了。另外容易证明，$D$上的连续函数$f(x,y)$对$y\to y_0$是一致收敛的，由可微性知式（7）成立。

　　再来看$I(y)$的可微性，首先有式（8）左成立，为了得到导数的表达式，我们再假定$f_y(x,y)$在$D$上是连续的。由微分中值定理可得到式（8）右，两边取极限便得到式（9），这就证明了$I(y)$的可微性。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle \frac{I(y+\Delta y)-I(y)}{\Delta y}}={\int }_a^b{\displaystyle \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}\text{d}x={\int }_a^b{f}_y(x,y+\theta \Delta y)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& [{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x{]}^{\prime }={\int }_a^b{f}_y(x,y)\text{d}x\end{array}$$

　　最后来看$I(y)$的可积性，由于$I(y)$是连续的，故积分${\int }_c^d(y)\text{d}y$是存在的。接下来讨论两个积分的可交换性，先记$S_1(u),S_2(u)$为式（10），由于$S_1(c)=S_2(c)$，于是只要证$S_1^{\prime }(u)=S_2^{\prime }(u)$。首先容易有$S_1^{\prime }(u)=I(u)$，另外记$F(x,u)={\int }_c^{u}f(x,y)\text{d}y$，易知$F,F_u^{\prime }$在$D$上连续。将$F(x,u)$带入式（9）便有$S_2^{\prime }(u)=I(u)$，从而$S_1^{\prime }(u)=S_2^{\prime }(u)$，式（11）得证。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& S_1(u)={\int }_c^u\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x;S_2(u)={\int }_a^b\text{d}x{\int }_c^{u}f(x,y)\text{d}y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_c^d\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x={\int }_a^b\text{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\text{d}y\end{array}$$

　　最后顺便提一下式（12）中的含参积分，设$f(x,y),\alpha (y),\beta (y)$都是连续的。首先通过换元$x=t\alpha (y)+(1-t)\beta (y)$，可以证明$J(y)$的连续性。如果再假设$f_y(x,y)$是连续的，且$\alpha (y),\beta (y)$可导，视$u=\alpha (y),v=\beta (y)$为中间变量，根据复合函数的求导法则知式（13）成立，$J(y)$的可微性得证。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& J(y)={\int }_{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(13)}& J^{\prime }(y)={\int }_{\alpha (y)}^{\beta (y)}{f}_y(x,y)\text{d}x+f(\beta (y),y)\cdot {\beta }^{\prime }(y)-f(\alpha (y),y)\cdot {\alpha }^{\prime }(y)\end{array}$$

　　• 求积分${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x^b-x^a}{\ln x}}\text{d}x$、${\int }_0^a{\displaystyle \frac{\ln 1+ax}{1+x^2}}\text{d}x$。

2.2 含参反常积分

2.2.1 一致收敛

　　当式（6）中的积分为反常积分时，由于反常积分本身就有极限的含义，一致收敛函数的分析性质不再适用。即使是$D$上的连续函数，运算交换的结论也不一定成立，比如考察函数$f(x,y)=y{e}^{-xy}$，当$y\to 0$时函数在$[0,+\mathrm{\infty })$上一致收敛于$0$，故极限函数在$[0,+\mathrm{\infty })$上的积分为$0$。但$y\ne 0$时，积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y{e}^{-xy}\text{d}x=1$，极限和积分运算不能交换。

　　假设$b$为奇点，积分$I(y)$本身就是关于$y$的函数极限（式（14））。我们要讨论$I(y)$的分析性质，其实只需要求函数$F(b^{\prime },y)$关于$y$一致收敛，为此把这个一致收敛定义为${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$的一致收敛。由定义知，一致收敛的等价条件是式（15）成立，利用该式可以证明${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}y{e}^{-xy}\text{d}x$在$[c,+\mathrm{\infty })$上一致收敛（$c>0$），但在$[0,+\mathrm{\infty })$上不一致收敛。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& I(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x=\underset{b^{\prime }\to b}{lim}{\int }_a^{b^{\prime }}f(x,y)\text{d}x=\underset{b^{\prime }\to b}{lim}F(b^{\prime },y)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& sup|{\int }_{b^{\prime }}^{b}f(x,y)\text{d}x|\to 0,(b^{\prime }\to b)\end{array}$$

　　你可以自己给出${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛的柯西准则，并由此得到$M$-判别法：如果在$[a,b]$上有$|f(x,y)|⩽\phi (x)$，且${\int }_a^b\phi (x)\text{d}x$收敛，则${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛。

　　对于式（16）中的反常积分，利用柯西准则和积分第二中值定理，同样可以证明以下两个判别法。阿贝尔判别法是说：如果${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛，$g(x,y)$关于每个$x$单调（方向可不同）且关于$y$一致有界，则式（16）一致收敛。而狄利克雷判别法是说：如果${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$关于$y$一致有界，$g(x,y)$关于每个$x$单调（方向可不同）且在$x\to b$时一致收敛于$0$，则式（16）一致收敛。

　　• 判断一致收敛性：${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{y}{1+y^2{x}^2}}\text{d}x$、${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{e}^{-x^2}\cos yx\text{d}x$、${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-ax}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\text{d}x$、${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin ax}{a+x}}\text{d}x$。

2.2.2 分析性质

　　有了一致收敛的概念，$I(y)$的连续性、可微性和可导性都可以照搬过来。为保证$F(b^{\prime },y)$对$y$的连续性，先假设$f(x,y)$是连续的，当反常积分${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛时，自然就连续性成立（式（7））。例外，如果$f(x,y)$还是同号连续的，且收敛函数$I(y)$在$[c,d]$上连续，则由迪尼定理知${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛。

　　回顾函数序列连续性的结论，还有一个条件很弱的结论，对应到这里就是：（1）$F(b^{\prime },y)$在$b^{\prime }\to b$时关于$y$一致收敛于$I(y)$；（2）对每个$b^{\prime }$，当$y\to y_0$时$F(b^{\prime },y)$存在极限$S(b^{\prime })$。如果（1）（2）成立，那么有$\underset{y\to y_0}{lim}I(y)=\underset{b^{\prime }\to b}{lim}S(b^{\prime })$，详细地就是式（16）。为了得到式（7），只需将式（16）中的$y\to y_0$与积分互换，这就额外要求$f(x,y)$在$x\in [a,b^{\prime }]$上连续且当$y\to y_0$时一致收敛。为此式（7）的一个弱化条件总结为：（1）$f(x,y)$关于$x$连续；（2）$\underset{y\to y_0}{lim}f(x,y)$在任何$[a,b^{\prime }]$上一致收敛；（3）${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$关于$y$一致收敛。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \underset{y\to y_0}{lim}{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x=\underset{b^{\prime }\to b}{lim}\underset{y\to y_0}{lim}{\int }_a^{b^{\prime }}f(x,y)\text{d}x\end{array}$$

　　$I(y)$的可微性是说：如果$F(b^{\prime },y)$有对$y$的连续导数，且导函数$F_y(b^{\prime },y)$关于$b^{\prime }$一致收敛，则有$I^{\prime }(y)=\underset{b^{\prime }\to b}{lim}{F}_y(b^{\prime },y)$。现在把条件和结论转化为对$f(x,y)$的直接描述，有连续导数的条件可以用$f(x,y),f_y(x,y)$连续来满足，一致收敛性可以用${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛来满足，而由$f_y(x,y)$的连续性可将结论改为式（7）。

　　$I(y)$的可积性是说：如果$F(b^{\prime },y)$关于$b^{\prime }$一致收敛，且对任何$b^{\prime }$都可积，则有式（11）成立。条件首先是说${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$一致收敛，可积性可以用$f(x,y)$连续来满足。但这个可积性条件是针对闭集$[c,d]$的，如果$d$（或$c$）也是奇点，现在来讨论式（11）成立的条件。首先默认$f(x,y)$是连续的，然后假设对任何$d^{\prime }\in [c,d]$都有${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$在$y\in [c.d^{\prime }]$上一致收敛，则有式（17）成立。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \underset{d^{\prime }\to d}{lim}{\int }_c^{d^{\prime }}\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x=\underset{d^{\prime }\to d}{lim}{\int }_a^b\text{d}x{\int }_c^{d^{\prime }}f(x,y)\text{d}y=\underset{d^{\prime }\to d}{lim}{\int }_a^{b}G(x,d^{\prime })\text{d}x\end{array}$$

　　要得到式（11），就是说式（17）最后一个表达式中极限和积分可交换，所以只需$G(x,d^{\prime })$满足刚才讨论连续性的$3$个弱化条件。$G(x,d^{\prime })$关于$x$连续是当然满足的，$\underset{d^{\prime }\to d}{lim}G(x,d^{\prime })$在任何$x\in [a,b^{\prime }]$上一致收敛就是说：对任何$b^{\prime }\in [a,b]$都有${\int }_c^{d}f(x,y)\text{d}y$在$x\in [a,b^{\prime }]$上一致收敛。最后一个条件是说${\int }_a^{b}G(x,d^{\prime })\text{d}x$一致收敛，也就是$\underset{b^{\prime }\to b}{lim}{\int }_{b^{\prime }}^{b}G(x,d^{\prime })\text{d}x$一致趋于零，这一点可以用式（18）左的收敛性来满足。

　　$b,d$都是奇点时，条件可以是对称的，整理以上讨论便知式（11）成立的充分条件是：（1）$f(x,y)$连续；（2）${\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$关于$y$在任何$[c,d^{\prime }]$上一致收敛，${\int }_c^{d}f(x,y)\text{d}y$关于$x$在任何$[a,b^{\prime }]$上一致收敛；（3）式（18）中有一个累次积分收敛。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_a^b\text{d}x{\int }_c^d|f(x,y)|\text{d}y;{\int }_c^d\text{d}y{\int }_a^b|f(x,y)|\text{d}x\end{array}$$

2.2.3 求反常积分

　　灵活运用一致收敛的含参反常积分的分析性质，可以求得一些反常积分的值，该部分技巧性较强，这里仅举几个有代表性的例子。很多经典的解法让人觉得很神奇，需要分析求积函数的特点，适当地引入变量，利用运算的交换性得到一些等式关系，从而间接地求得积分。

　　累次积分的交换是比较简单的一种场景，比如积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}\sin x\text{d}x$，其中$b>a>0$。由于${\displaystyle \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}={\int }_a^b{e}^{-xy}\text{d}y$，再由于${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-xy}\sin x\text{d}x$一致收敛，交换积分顺序即可得到结果。最后的计算需要用到式（19），它可以通过分部积分法求得。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x}\sin x\text{d}x={\displaystyle \frac{1}{1+{\alpha }^2}};{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-\alpha x}\cos x\text{d}x={\displaystyle \frac{\alpha }{1+{\alpha }^2}}\end{array}$$

　　现在来看积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\text{d}x$，我们要试图消除分母中$x$的影响（$\sin x$很难消除），再联系到式（19），先尝试解式（20）左的积分（用导数消除$x$）。易证$I(y)$在$[0,+\mathrm{\infty })$上一致收敛，利用式（9）可算得$I^{\prime }(y)=-{\displaystyle \frac{1}{1+y^2}}$，另外容易有$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{lim}I(y)=0$。故得到$I(y)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\arctan y$，原积分其实就是$I(0)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$（式（20）右）。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& I(y)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-xy}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\text{d}x;{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}}\text{d}x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\end{array}$$

　　再比如积分$K={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\text{d}x$，指数中的平方让人束手无策。一种思路是构造出$x{e}^{-x^2}$的形式，为此先将$K$改写为${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}u{e}^{-u^2{t}^2}\text{d}t$。然后有式（21）的变形，证明好一致性性的条件后就可以交换积分，并得到积分的值（式（23））。另一个思路其实是运用了$\sqrt{x}$导数的形式特点，考察式（22）的变形，最后的系数也隐藏了未积分的$K$。为此考虑对$y$求积分，也就是说考察积分$I(y)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{e^{-y(1+x^2)}}{1+x^2}}\text{d}x$，请自行论证。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& K^2={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}K{e}^{-u^2}\text{d}u={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\text{d}u{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}u{e}^{-(1+t^2)u^2}\text{d}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-y(1+x^2)}\text{d}x={\displaystyle \frac{e^{-y}}{\sqrt{y}}}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-y{x}^2}\sqrt{y}\text{d}x={\displaystyle \frac{e^{-y}}{\sqrt{y}}}K\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\text{d}x={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}\end{array}$$

　　最后来看积分${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\cos 2x\text{d}x$，关键仍然是处理$x^2$，为此令$f(x,y)=e^{-x^2}\cos 2xy$，证明完$I(y)={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)\text{d}x$的一致性后，便可计算得$I^{\prime }(y)=-2yI(y)$。解微分方程并由式（23）得到$I(y)={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2}}{e}^{-y^2}$，最终得到所求积分（式（24））。

$$\begin{array}{}\text{(24)}& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}\cos 2x\text{d}x={\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{2e}}\end{array}$$

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【全篇完】