【微积分】 10 - 广义积分
1. 反常积分
1.1 反常积分的定义
定积分是定义在闭区间\([a,b]\)上的有界函数上，这里对积分的概念作一点推广。考察积分\(\int_{1}^{A}\dfrac{1}{x^2}\,\text{d}x=1-\dfrac{1}{A}\)，当\(A\to+\infty\)时，积分有极限\(1\)。同样地，看积分\(\int_{\varepsilon}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{x}}\,\text{d}x=2-2\sqrt{\varepsilon}\)，当\(\varepsilon\to 0\)时，积分有极限\(2\)。
当\(a\)（或\(b\)）无界，或\(f(a^-)\)（或\(f(b^+)\)）无界时，我们把式（1）定义为反常积分。极限存在时，称反常积分收敛，否则称为发散的。反常的点（变量或函数无界）被称为奇点，含有有限个极点的积分仍然被称为反常积分，它可以被分割为若干独立的反常积分。
\[\int_{a}^{+\infty}f(x)\,\text{d}x=\lim\limits_{A\to+\infty}\int_{a}^{A}f(x)\,\text{d}x;\quad\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\lim\limits_{\delta\to 0}\int_{a}^{b-\delta}f(x)\,\text{d}x\tag{1}\]
• 求反常积分：\(\int_{0}^{1}\ln{x}\,\text{d}x\)、\(\int_{0}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\text{d}x\)。
1.2 敛散性的判定
反常积分敛散性的判断，本质上就是判断极限是否存在，可以将极限的判定定理应用到反常积分。比如柯西法则在反常积分中就是说，对式（1）左的反常积分，如果对任意\(\varepsilon>0\)，存在足够大的\(A\)，当\(A'>A\)时式（2）左成立，则反常积分收敛。同样对于式（1）右，如果对任意\(\varepsilon>0\)，存在足够小的\(\delta\)，使得当\(0<\delta'<\delta\)时式（2）右成立，则反常积分收敛。
\[\left|\int_{A}^{A'}f(x)\,\text{d}x\right|<\varepsilon;\quad\left|\int_{b-\delta}^{b-\delta'}f(x)\,\text{d}x\right|<\varepsilon\tag{2}\]
另外一方面，级数也是极限的一种表现形式，设有单调数列\(b_n\to b\)（\(b\)为奇点，\(a=b_0\)），则反常积分收敛的充要条件是，式（3）中的级数收敛。这就把反常积分转化成了级数问题，级数中的一些判别法也可以应用到这里。比如对于\(f(x)\geqslant g(x)\geqslant 0\)，根据正项级数的比较判别法，可以得到\(f(x),g(x)\)反常积分的敛散性关系。比较判定法也有极限形式，当\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\)的极限存在时，容易有类似的敛散性关系。另外也可以定义绝对收敛和条件收敛，这里不作赘述。
\[\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(x)\,\text{d}x\tag{3}\]
级数中对乘法的级数有非常重要的结论（阿贝尔判别法和狄利克雷判别法），那么\(f(x)g(x)\)反常积分是否有类似的结论呢？注意到这两种判别法都有一个级数局部和的条件，和另一个级数单调的条件，对应到这里应该是一个函数积分的条件，和另一个函数单调性的条件。这两个条件容易让我们想到积分第二中值定理（请回顾定理），利用柯西法则和中值定理容易得到相应的结论。
阿贝尔判别法就是说：如果反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\)收敛，\(g(x)\)在\((a,b)\)上单调有界，则反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\text{d}x\)收敛。狄利克雷判别法就是说：如果反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\)有界，\(g(x)\)在\((a,b)\)上单调趋于\(0\)，则反常积分\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,\text{d}x\)收敛。
• 判断敛散性：\(\int_{0}^{+\infty}x\sin{x}\,\text{d}x\)、\(\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin{x}}{x\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\)、\(\int_{1}^{+\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}\,\text{d}x\)。
1.3 反常积分的计算
根据定义，反常积分的求解可以转化为正常的定积分和一个求极限运算，定积分的一些结论同样可以扩展到反常积分中。比如反常积分积分的四则运算（略），再比如反常积分的分部积分公式（4）（要求\(u(x),v(x)\)都有连续导数）。
\[\int_a^bu(x)\,\text{d}v(x)=[\,u(x)v(x)\,]\left.\right|_a^b-\int_a^bv(x)\,\text{d}x\tag{4}\]
还有就是积分的换元法，但先要弄清换元法成立的条件。对一般定积分，设\(f(x)\)是\([a,b]\)上的连续函数，\(x=\varphi(t)\)定义在\([\alpha,\beta]\)上，且有\(\varphi'(t)\)连续和\(a=\varphi(\alpha),b=\varphi(\beta)\)，则有换元公式（5）成立。对于反常积分（比如\(b,\beta\)是奇点），对定义域上的\(b_0=\varphi(\beta_0)\)也有换元法成立。要使式（5）两边都成立，还要\(b_0\to b\)和\(\beta_0\to \beta\)同时成立，这就另外要求\(\varphi(t)\)是单调的，它是（5）对反常积分成立的额外条件。
\[\int_a^bf(x)\,\text{d}x=\int_{\alpha}^{\beta}f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\text{d}t\tag{5}\]
• 计算反常积分：\(\int_{0}^{+\infty}(\ln{x})^n\,\text{d}x\)、\(\int_{a}^{b}\dfrac{\text{d}x}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\)、\(\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\text{d}x}{1+x^4}\)。
2. 含参积分
在函数项级数里，我们讨论了极限（或级数）与其它运算交换的条件，从而极限问题转化为了其它问题。类似的，这里开始讨论积分与其它运算的关系，并希望能得到各类运算间的自由转换。在函数序列（或级数）中，\(n\)是变量，\(x\)其实是一个参数，研究的方法就是讨论\(f(x)\)（或\(S(x)\)）的分析性质。同样的，这里我讨论的对象是式（1）的含参积分，通过分析\(I(y)\)的分析性质研究积分与其它运算的交换。
\[I(y)=\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\tag{6}\]
2.1 含参正常积分
为简单起见，我们考察\(D=[a,b]\times[c,d]\)上的二元函数\(f(x,y)\)，它对对任何\(y\)在\([a,b]\)上都正常可积。先看\(I(y)\)的连续性，就是要证\(\lim\limits_{y\to y_0}\int_{a}^bf(x,y)\,\text{d}x=\int_{a}^bf(x,y_0)\,\text{d}x\)。为了体现运算的交换性，我们再假定\(f(x,y)\)在\(D\)上是连续的，连续性就是式（7）。
\[\lim\limits_{y\to y_0}\int_{a}^bf(x,y)\,\text{d}x=\int_{a}^b\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\,\text{d}x\tag{7}\]
这个式子和函数项级数中的极限函数的积分公式有几份相像，只不过把数列极限换成了实数极限。这就启发我们把函数项极限扩展到一般的函数极限，先是函数极限的一致收敛定义和各种判别法，再有极限函数的连续性、可微性和可导性。论证和结论都是类似的，这里就不再赘述了。另外容易证明，\(D\)上的连续函数\(f(x,y)\)对\(y\to y_0\)是一致收敛的，由可微性知式（7）成立。
再来看\(I(y)\)的可微性，首先有式（8）左成立，为了得到导数的表达式，我们再假定\(f_y(x,y)\)在\(D\)上是连续的。由微分中值定理可得到式（8）右，两边取极限便得到式（9），这就证明了\(I(y)\)的可微性。
\[\dfrac{I(y+\varDelta y)-I(y)}{\varDelta y}=\int_{a}^{b}\dfrac{f(x,y+\varDelta y)-f(x,y)}{\varDelta y}\,\text{d}x=\int_{a}^{b}f_y(x,y+\theta\varDelta y)\,\text{d}x\tag{8}\]
\[[\,\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\,]'=\int_{a}^{b}f_y(x,y)\,\text{d}x\tag{9}\]
最后来看\(I(y)\)的可积性，由于\(I(y)\)是连续的，故积分\(\int_c^d(y)\,\text{d}y\)是存在的。接下来讨论两个积分的可交换性，先记\(S_1(u),S_2(u)\)为式（10），由于\(S_1(c)=S_2(c)\)，于是只要证\(S'_1(u)=S'_2(u)\)。首先容易有\(S'_1(u)=I(u)\)，另外记\(F(x,u)=\int_{c}^{u}f(x,y)\,\text{d}y\)，易知\(F,F'_u\)在\(D\)上连续。将\(F(x,u)\)带入式（9）便有\(S'_2(u)=I(u)\)，从而\(S'_1(u)=S'_2(u)\)，式（11）得证。
\[S_1(u)=\int_{c}^{u}\text{d}y\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x;\quad S_2(u)=\int_{a}^{b}\text{d}x\int_{c}^{u}f(x,y)\,\text{d}y\tag{10}\]
\[\int_{c}^{d}\text{d}y\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x=\int_{a}^{b}\text{d}x\int_{c}^{d}f(x,y)\,\text{d}y\tag{11}\]
最后顺便提一下式（12）中的含参积分，设\(f(x,y),\alpha(y),\beta(y)\)都是连续的。首先通过换元\(x=t\alpha(y)+(1-t)\beta(y)\)，可以证明\(J(y)\)的连续性。如果再假设\(f_y(x,y)\)是连续的，且\(\alpha(y),\beta(y)\)可导，视\(u=\alpha(y),v=\beta(y)\)为中间变量，根据复合函数的求导法则知式（13）成立，\(J(y)\)的可微性得证。
\[J(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)\,\text{d}x\tag{12}\]
\[J'(y)=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f_y(x,y)\,\text{d}x+f(\beta(y),\,y)\cdot\beta'(y)-f(\alpha(y),\,y)\cdot\alpha'(y)\tag{13}\]
• 求积分\(\int_0^1\dfrac{x^b-x^a}{\ln{x}}\,\text{d}x\)、\(\int_0^a\dfrac{\ln{1+ax}}{1+x^2}\,\text{d}x\)。
2.2 含参反常积分
2.2.1 一致收敛
当式（6）中的积分为反常积分时，由于反常积分本身就有极限的含义，一致收敛函数的分析性质不再适用。即使是\(D\)上的连续函数，运算交换的结论也不一定成立，比如考察函数\(f(x,y)=ye^{-xy}\)，当\(y\to 0\)时函数在\([0,+\infty)\)上一致收敛于\(0\)，故极限函数在\([0,+\infty)\)上的积分为\(0\)。但\(y\ne 0\)时，积分\(\int_0^{+\infty}ye^{-xy}\,\text{d}x=1\)，极限和积分运算不能交换。
假设\(b\)为奇点，积分\(I(y)\)本身就是关于\(y\)的函数极限（式（14））。我们要讨论\(I(y)\)的分析性质，其实只需要求函数\(F(b',y)\)关于\(y\)一致收敛，为此把这个一致收敛定义为\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)的一致收敛。由定义知，一致收敛的等价条件是式（15）成立，利用该式可以证明\(\int_0^{+\infty}ye^{-xy}\,\text{d}x\)在\([c,+\infty)\)上一致收敛（\(c>0\)），但在\([0,+\infty)\)上不一致收敛。
\[I(y)=\int_a^bf(x,y)\,\text{d}x=\lim\limits_{b'\to b}\int_a^{b'}f(x,y)\,\text{d}x=\lim\limits_{b'\to b}F(b',y)\tag{14}\]
\[\sup\left|\int_{b'}^bf(x,y)\,\text{d}x\right|\to 0,\quad(b'\to b)\tag{15}\]
你可以自己给出\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛的柯西准则，并由此得到\(M\)-判别法：如果在\([a,b]\)上有\(|f(x,y)|\leqslant\varphi(x)\)，且\(\int_{a}^{b}\varphi(x)\,\text{d}x\)收敛，则\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛。
对于式（16）中的反常积分，利用柯西准则和积分第二中值定理，同样可以证明以下两个判别法。阿贝尔判别法是说：如果\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛，\(g(x,y)\)关于每个\(x\)单调（方向可不同）且关于\(y\)一致有界，则式（16）一致收敛。而狄利克雷判别法是说：如果\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)关于\(y\)一致有界，\(g(x,y)\)关于每个\(x\)单调（方向可不同）且在\(x\to b\)时一致收敛于\(0\)，则式（16）一致收敛。
• 判断一致收敛性：\(\int_0^{+\infty}\dfrac{y}{1+y^2x^2}\,\text{d}x\)、\(\int_0^{+\infty}xe^{-x^2}\cos{yx}\,\text{d}x\)、\(\int_0^{+\infty}e^{-ax}\dfrac{\sin{x}}{x}\,\text{d}x\)、\(\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin{ax}}{a+x}\,\text{d}x\)。
2.2.2 分析性质
有了一致收敛的概念，\(I(y)\)的连续性、可微性和可导性都可以照搬过来。为保证\(F(b',y)\)对\(y\)的连续性，先假设\(f(x,y)\)是连续的，当反常积分\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛时，自然就连续性成立（式（7））。例外，如果\(f(x,y)\)还是同号连续的，且收敛函数\(I(y)\)在\([c,d]\)上连续，则由迪尼定理知\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛。
回顾函数序列连续性的结论，还有一个条件很弱的结论，对应到这里就是：（1）\(F(b',y)\)在\(b'\to b\)时关于\(y\)一致收敛于\(I(y)\)；（2）对每个\(b'\)，当\(y\to y_0\)时\(F(b',y)\)存在极限\(S(b')\)。如果（1）（2）成立，那么有\(\lim\limits_{y\to y_0}I(y)=\lim\limits_{b'\to b}S(b')\)，详细地就是式（16）。为了得到式（7），只需将式（16）中的\(y\to y_0\)与积分互换，这就额外要求\(f(x,y)\)在\(x\in[a,b']\)上连续且当\(y\to y_0\)时一致收敛。为此式（7）的一个弱化条件总结为：（1）\(f(x,y)\)关于\(x\)连续；（2）\(\lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\)在任何\([a,b']\)上一致收敛；（3）\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)关于\(y\)一致收敛。
\[\lim\limits_{y\to y_0}\int_{a}^bf(x,y)\,\text{d}x=\lim\limits_{b'\to b}\lim\limits_{y\to y_0}\int_{a}^{b'}f(x,y)\,\text{d}x\tag{16}\]
\(I(y)\)的可微性是说：如果\(F(b',y)\)有对\(y\)的连续导数，且导函数\(F_y(b',y)\)关于\(b'\)一致收敛，则有\(I'(y)=\lim\limits_{b'\to b}F_y(b',y)\)。现在把条件和结论转化为对\(f(x,y)\)的直接描述，有连续导数的条件可以用\(f(x,y),f_y(x,y)\)连续来满足，一致收敛性可以用\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛来满足，而由\(f_y(x,y)\)的连续性可将结论改为式（7）。
\(I(y)\)的可积性是说：如果\(F(b',y)\)关于\(b'\)一致收敛，且对任何\(b'\)都可积，则有式（11）成立。条件首先是说\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)一致收敛，可积性可以用\(f(x,y)\)连续来满足。但这个可积性条件是针对闭集\([c,d]\)的，如果\(d\)（或\(c\)）也是奇点，现在来讨论式（11）成立的条件。首先默认\(f(x,y)\)是连续的，然后假设对任何\(d’\in [c,d]\)都有\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)在\(y\in [c.d']\)上一致收敛，则有式（17）成立。
\[\lim\limits_{d'\to d}\int_{c}^{d'}\,\text{d}y\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x=\lim\limits_{d'\to d}\int_{a}^{b}\,\text{d}x\int_{c}^{d'}f(x,y)\,\text{d}y=\lim\limits_{d'\to d}\int_{a}^{b}G(x,d')\,\text{d}x\tag{17}\]
要得到式（11），就是说式（17）最后一个表达式中极限和积分可交换，所以只需\(G(x,d')\)满足刚才讨论连续性的\(3\)个弱化条件。\(G(x,d')\)关于\(x\)连续是当然满足的，\(\lim\limits_{d'\to d}G(x,d')\)在任何\(x\in[a,b']\)上一致收敛就是说：对任何\(b'\in [a,b]\)都有\(\int_{c}^{d}f(x,y)\,\text{d}y\)在\(x\in [a,b']\)上一致收敛。最后一个条件是说\(\int_{a}^{b}G(x,d')\,\text{d}x\)一致收敛，也就是\(\lim\limits_{b'\to b}\int_{b'}^bG(x,d')\,\text{d}x\)一致趋于零，这一点可以用式（18）左的收敛性来满足。
\(b,d\)都是奇点时，条件可以是对称的，整理以上讨论便知式（11）成立的充分条件是：（1）\(f(x,y)\)连续；（2）\(\int_{a}^{b}f(x,y)\,\text{d}x\)关于\(y\)在任何\([c,d']\)上一致收敛，\(\int_{c}^{d}f(x,y)\,\text{d}y\)关于\(x\)在任何\([a,b']\)上一致收敛；（3）式（18）中有一个累次积分收敛。
\[\int_a^b\,\text{d}x\int_c^d|f(x,y)|\,\text{d}y;\quad\int_c^d\,\text{d}y\int_a^b|f(x,y)|\,\text{d}x\tag{18}\]
2.2.3 求反常积分
灵活运用一致收敛的含参反常积分的分析性质，可以求得一些反常积分的值，该部分技巧性较强，这里仅举几个有代表性的例子。很多经典的解法让人觉得很神奇，需要分析求积函数的特点，适当地引入变量，利用运算的交换性得到一些等式关系，从而间接地求得积分。
累次积分的交换是比较简单的一种场景，比如积分\(\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}\sin{x}\,\text{d}x\)，其中\(b>a>0\)。由于\(\dfrac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=\int_a^be^{-xy}\,\text{d}y\)，再由于\(\int_0^{+\infty}e^{-xy}\sin{x}\,\text{d}x\)一致收敛，交换积分顺序即可得到结果。最后的计算需要用到式（19），它可以通过分部积分法求得。
\[\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}\sin{x}\,\text{d}x=\dfrac{1}{1+\alpha^2};\quad\int_0^{+\infty}e^{-\alpha x}\cos{x}\,\text{d}x=\dfrac{\alpha}{1+\alpha^2}\quad\tag{19}\]
现在来看积分\(\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}\,\text{d}x\)，我们要试图消除分母中\(x\)的影响（\(\sin{x}\)很难消除），再联系到式（19），先尝试解式（20）左的积分（用导数消除\(x\)）。易证\(I(y)\)在\([0,+\infty)\)上一致收敛，利用式（9）可算得\(I'(y)=-\dfrac{1}{1+y^2}\)，另外容易有\(\lim\limits_{y\to +\infty}I(y)=0\)。故得到\(I(y)=\dfrac{\pi}{2}-\arctan{y}\)，原积分其实就是\(I(0)=\dfrac{\pi}{2}\)（式（20）右）。
\[I(y)=\int_0^{+\infty}e^{-xy}\dfrac{\sin{x}}{x}\,\text{d}x;\quad\int_0^{+\infty}\dfrac{\sin{x}}{x}\,\text{d}x=\dfrac{\pi}{2}\tag{20}\]
再比如积分\(K=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\text{d}x\)，指数中的平方让人束手无策。一种思路是构造出\(xe^{-x^2}\)的形式，为此先将\(K\)改写为\(\int_0^{+\infty}ue^{-u^2t^2}\,\text{d}t\)。然后有式（21）的变形，证明好一致性性的条件后就可以交换积分，并得到积分的值（式（23））。另一个思路其实是运用了\(\sqrt{x}\)导数的形式特点，考察式（22）的变形，最后的系数也隐藏了未积分的\(K\)。为此考虑对\(y\)求积分，也就是说考察积分\(I(y)=\int_0^{+\infty}\dfrac{e^{-y(1+x^2)}}{1+x^2}\,\text{d}x\)，请自行论证。
\[K^2=\int_0^{+\infty}Ke^{-u^2}\,\text{d}u=\int_0^{+\infty}\,\text{d}u\int_0^{+\infty}ue^{-(1+t^2)u^2}\,\text{d}t\tag{21}\]
\[\int_0^{+\infty}e^{-y(1+x^2)}\,\text{d}x=\dfrac{e^{-y}}{\sqrt{y}}\int_0^{+\infty}e^{-yx^2}\sqrt{y}\,\text{d}x=\dfrac{e^{-y}}{\sqrt{y}}K\tag{22}\]
\[\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\text{d}x=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\tag{23}\]
最后来看积分\(\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos{2x}\,\text{d}x\)，关键仍然是处理\(x^2\)，为此令\(f(x,y)=e^{-x^2}\cos{2xy}\)，证明完\(I(y)=\int_0^{+\infty}f(x,y)\,\text{d}x\)的一致性后，便可计算得\(I'(y)=-2yI(y)\)。解微分方程并由式（23）得到\(I(y)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-y^2}\)，最终得到所求积分（式（24））。
\[\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos{2x}\,\text{d}x=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2e}\tag{24}\]
【全篇完】
