【微积分】 08 - 数项级数

合集 - 数学分析(10)

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8.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-03

9.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 级数

1.1 级数的定义

　　现在从增量的角度重新讨论数列的极限，而这也是极限在许多实际问题中的呈现形式。对于数列$S_n$，设$a_n=S_n-S_{n-1}$，则有$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$。为讨论$S_n$的敛散性，定义式（1）的加式为级数，$a_n$称为级数的通项，$S_n$称为级数的部分和。如果$S_n$收敛于有限值$S$，则称级数收敛于$S$（其实就是定义了级数的值），否则称级数发散（也就没有值）。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\cdots \end{array}$$

　　以级数形式表示极限其实很常见，比如我们熟悉的等比数列之和，它的部分和在$q\ne 1$时满足式（2）。故级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{q}^{n-1}$在$q<1$时收敛，而在$a\ne 0,q⩾1$时发散。这个级数也被称为几何级数，它的结论对后面讨论级数的收敛问题很有作用。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& S_n=a+aq+a{q}^2+\cdots +a{q}^{n-1}=a{\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}\end{array}$$

　　直觉上的级数是一个小数集合的总和，但其实级数的值与通项的顺序也是有关的，后面我们将会给出反例。对任何级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$，将其每一项的顺序打乱得到它的更序级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^{\prime }$，但要注意，这里的打乱还要求$a_n$必须对应到有限项$a_m^{\prime }$，而不能出现在无穷之后。有个基本问题是，级数的更序级数之间的敛散性关系如何？如果都收敛，它们的值相等吗？

1.2 级数的性质

　　一些特殊形式的级数，可以通过变形判定其敛散性，甚至得到级数的值。但很多时候，我们只需要、也只能判定级数的敛散性，为此需要寻找有效的判定条件。一种方法就是利用极限的判定条件，比如说利用判定极限的柯西准则，可知级数收敛的充要条件是：对任意的$\epsilon >0$，只要$n$足够大，总有式（3）成立。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\epsilon \end{array}$$

　　利用柯西准则还可以知道，去除、增加或修改级数的有限项不改变级数的敛散性。利用极限的基本性质还可知，如果以$a_n,b_n$为通项的级数收敛，则有式（4）成立。如果对级数任意加括号分组，得到的新级数的的部分和其实是原级数部分和的子列，从而它们有相同的敛散性和和相同的值。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}c{a}_n=c\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n;\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\end{array}$$

　　以上结论都是极限性质的变形，但既然级数以通项形式展现，我们有必要讨论敛散性与通项本身的关系。在式（3）中取$p=1$，便得到级数收敛一个必要条件：$a_n\to 0$。但它却不是充分条件，比如考察调和级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n}}$，式（5）的推导说明了它是发散的。下面的篇幅主要就是，利用通项的性质讨论级数收敛的充分条件。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& S_{2n}-S_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}>{\displaystyle \frac{1}{2n}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

2. 正项级数

2.1 比较判别法

　　先来看最常见的级数形式，如果级数的每一项满足$a_n⩾0$，那么称它为正项级数。正项级数的部分和是一个单调递增数列，因此它收敛的充要条件是：部分和有上界。对于更序级数的部分和$S_m^{\prime }$，总可以选择足够大的$n$，使得$S_n$包含$S_m^{\prime }$的所有项。所以如果正项级数收敛于$S$，它的所有更序级数的部分和以$S$为上界，故收敛于$S^{\prime }$，且$S^{\prime }⩽S$。同样可以有$S⩽S^{\prime }$，从而$S^{\prime }=S$，也就是说，正项级数的所有更序级数的敛散性相同，如果收敛那么值也相同。

　　调和级数就是正项级数，它是发散的，任意$a>0,0<q<1$的几何级数也是正项级数，它却是收敛的。由直觉可知，正项级数是否收敛，其实由通项是否“足够小”决定，下面就用不同方法来描述这个“足够小”。本段的讨论都仅限正项级数，不作重复说明。在讨论之前，我们先给出一个非常简单直观却很有用的结论。如果两个级数的通项满足$a_n⩽b_n$，则易知当$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$发散时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$也发散，而当$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$收敛时，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$也收敛,这个方法称为比较判别法。

　　比较判别法的使用关键在于比较对象的选择，比较常用的对象就是几何级数和调和级数，比较的过程有时需要较强的技巧性。调和级数的结论还可以扩展到$p$-级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^p}},(p>0)$，证明中也用到了比较判别法。首先当$p⩽1$时，和调和级数比较即知级数发散，而当$p>1$时，类似式（5）的方法得到式（6）的推导，可知级数收敛。从证明中看到，$p$-级数并不比几何级数“更小”，它们都是很好的参照对象。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n^p}}<1+{\displaystyle \frac{2}{2^p}}+{\displaystyle \frac{4}{4^p}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}}}\right)}^k=C\end{array}$$

　　比较判别法在使用时需要较强的技巧，考虑到比较的目地只是想知道通项的有多小，一种简单的方法是比较通项无穷小的等级。当式（7）左的极限存在时，如果$\lambda$是非零常数，则已知$a_n,b_n$是同阶无穷小，它们有相同的敛散性。而当$\lambda$为$0$或$\mathrm{\infty }$时，也比较容易有对应结论，这里不再赘述。很多时候式虽然$a_n$有较好的形式特点，但（7）左极限不存在或比较难求，我们不得不转向研究通项本身的性质。比较判别法有一个比较显然的推论，就是当式（7）右成立时，可以简单推导出它们敛散性的关系。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}=\lambda ;{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}⩽{\displaystyle \frac{b_{n+1}}{b_n}}\end{array}$$

　　• 判断级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sin {\displaystyle \frac{x}{n}}$、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(n!{)}^2}{(2n)!}}$的敛散性。

2.3 比值判别法、根式判别法、积分判别法

　　现在继续基于通项$a_n$本身来讨论正项级数的敛散性，为简单起见，这里先用几何级数作为比较对象。首先根据式（7）右可知，如果$n$足够大时有${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}⩽q<1$，则级数必定收敛。把它表现为极限形式就是，如果式（8）左的极限满足$\lambda <1$，则级数收敛，反之若$\lambda >1$则级数发散。这个结论的条件还可以弱化成上下极限的条件，请自行论证，该方法被称为比值判别法。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=\lambda ;\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}=\lambda \end{array}$$

　　利用几何级数的特点，我们还可以有另一种比较方法，它被称为根式判别法。简单说就是，如果$n$足够大时有$\sqrt[n]{a_n}⩽q<1$，则级数必定收敛。该结论同样有式（8）右的极限形式，也可以弱化成上下极限的条件，请自行论证。根式判别法是一种估值法，它的应用场景可以覆盖比值判别法，但比值判别法用起来更加方便。

　　回顾定积分的定义，若$f(x)$在$[1,+\mathrm{\infty })$上非负且单调下降，以$a_n=f(n)$通项的级数，其实就是$f(x)$积分的一种分割。具体来讲，考察式（9）所定义的积分，显然有$a_{n+1}⩽F(n+1)-F(n)⩽a_n$。从而级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$与数列$\{F(n)\}$有相同的敛散性，这个结论对那些可积分的级数很有用。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& F(x)={\int }_1^{x}f(t)\text{d}t\end{array}$$

　　• 判断级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n!{\left({\displaystyle \frac{x}{n}}\right)}^n$、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1-{\displaystyle \frac{p}{n}})}^{n^2}$、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{n(\ln n{)}^p}}$的敛散性。

2.4 拉贝判别法、高斯判别法

　　比值判别法在$\lambda =1$无法判断收敛性，现在用收敛得更慢的$p$-级数作为比较对象，其通项${\displaystyle \frac{1}{n^p}}$相邻两项的比值为${\left({\displaystyle \frac{n-1}{n}}\right)}^p$。在$[0,1]$上考察函数$f(x)=x^p$，根据微分中值定理知$1-x^p=f(1)-f(x)=f^{\prime }(\overline{x})(1-x)=p{\overline{x}}^{p-1}(1-x)$，当$p>1$时就有$1-x^p<p(1-x)$，将$x=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$带入就得到式（10）。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^p>1-{\displaystyle \frac{p}{n}},(p>1)\end{array}$$

　　结合式（7）右便知，如果存在$p>1$使得式（11）左成立，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛。如果以调和级数为比较对象，还容易知道如果存在$p⩾1$使得式（11）左成立，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$发散，这个方法叫做拉贝（Raabe）判别法。但它直接使用起来并不方便，一般使用它的极限形式：如果式（12）的极限中$p>1$，则级数收敛，若$p<1$则级数发散。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}⩽1-{\displaystyle \frac{p}{n}};{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}⩾1-{\displaystyle \frac{p}{n}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n(1-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}})=p\end{array}$$

　　拉贝判别法可以看作是比值判别法在$\lambda =1$时的补充，但它的极限形式对$p=1$的场景还是无能为力。拉贝判别法其实是从$1-{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}$中提取出了等阶无穷小$O\left({\displaystyle \frac{p}{n}}\right)$，我们可以继续提取剩下的无穷小$o\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)={\epsilon }_n$。由式（13）的推导可知，如果以${\epsilon }_n$为通项的级数收敛，可以估算出$a_n={\displaystyle \frac{A\cdot e^{o(1)}}{n^p}}$。从而$p>1$时级数收敛，$p⩽1$时级数发散，这个方法称为高斯判别法。但要注意，该判别法成立的条件是以${\epsilon }_n$为通项的级数收敛，这个条件可以弱化为具体的无穷小，比如${\epsilon }_n={\displaystyle \frac{{\theta }_n}{n^{1+\mu }}},(\mu >0)$，或者更强的${\epsilon }_n=o\left({\displaystyle \frac{1}{n\ln n}}\right)$。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \ln {\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=\ln (1-{\displaystyle \frac{p}{n}}+{\epsilon }_n)=-{\displaystyle \frac{p}{n}}+{\epsilon }_n+O\left({\displaystyle \frac{1}{n^2}}\right)\end{array}$$

　　• 判断级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{n!}{(\alpha +1)\cdots (\alpha +n)}}$、$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)}^s$的敛散性。

3. 任意项级数

3.1 绝对收敛级数、交错级数

　　对于通项$a_n$正负不定的级数，如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$收敛，利用柯西准则可知原级数也必定收敛，这样的级数称为绝对收敛的，反之称为条件收敛的。由于收敛正项级数的更序级数也收敛，故绝对收敛级数的更序级数也绝对收敛。我们可以用式（14）左表达式把级数中的正负项分离到两个级数中，显然$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n$都是正项级数，如果级数绝对收敛，还容易有式（14）右。绝对收敛级数的更序级数的正负项值不变，故它们的收敛值也相同。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\alpha }_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(|a_n|+a_n),{\beta }_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(|a_n|-a_n)\Rightarrow \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n\end{array}$$

　　但对于条件收敛到级数，$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n$的值都是$+\mathrm{\infty }$，式（14）右的值会出现什么情况呢？答案是任何值$L$，思路其实也很简单，这里作概略说明。一方面从无穷中总可以取出超过定值的片段，另一方面由于收敛级数的通项趋于$0$，这个片段超出定值的大小也趋于$0$。

　　若$L$有穷非负，先从$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_n$中取出最短片段$A_1$，使得$S_1=A_1>L$，再从$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\beta }_n$中取出最短片段$B_1$，使得$S_2=A_1-B_1<L$。继续这个过程，显然每一项最终都会被取到，并且$S_n\to L$，当$L<0$时有同样的结论。如果$L=+\mathrm{\infty }$，只要每次取得的$A_i$足够大，且每次$B_i$只取一项，也可以达到目的，对$L=-\mathrm{\infty }$同样可证。结论总结为黎曼定理：条件收敛的更序级数可取到任意值（包括无穷）。

　　还有一种级数比较常见，它的通项$(-1{)}^n{a}_n,(a_n>0)$正负交替，它被称为交错级数。有一种交错级数，$a_n$单调递减且趋于$0$，考察式（15）可知$S_{2k}$单调递增且有界，从而它有极限$S$。进而容易知道$S_{2k+1}$也有极限且为$S$，所以级数收敛于$S$且$0⩽S⩽a_1$，同样可知余项也满足$|S-S_n|⩽a_{n+1}$。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& S_{2k}=(a_1-a_2)+\cdots +(a_{2k-1}-a_{2k})=a_1-(a_2-a_3)-\cdots -(a_{2k-2}-a_{2k-1})-a_{2k}\end{array}$$

3.2 通项为$a_n{b}_n$的级数

　　很多级数可以写成$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$的形式，而$a_n,b_n$分别有着自身的性质，这里讨论其中的一类。先记$B_m=b_1+\cdots +b_m$，容易证明分部求和公式（式（16），也叫阿贝尔变换）成立。利用该公式，如果再假设$a_n$单调且$|B_m|⩽M$，容易推导出不等式（17）。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})B_i+a_n{B}_n\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \left|\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right|⩽M(|a_1|+2|a_n|)\end{array}$$

　　把式（17）应用到柯西准则里，分别假设$M$和$a_i$趋于$0$，可以得到两种判别方法。一种是阿贝尔判别法：如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$收敛，且$\{a_n\}$单调有界，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。另一种是狄利克雷判别法：如果级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$的部分和有界，且$\{a_n\}$单调趋于$0$，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$收敛。

　　阿贝尔判别法实用起来比较容易，而狄利克雷判别法则比较隐晦，部分和有界的级数不好构造。一种最常见的就是通项为三角函数$\sin nx,\cos nx$的级数，利用三角恒等式可以证明其有界性，这个结论在后面的傅里叶级数中非常重要。

4. 其它级数

4.1 级数的乘法

　　刚才讨论了通项为$a_n{b}_n$的级数，但它并不适合作为级数的乘法定义。两个级数$A=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$相乘，应当定义为所有项$u_n=a_i{b}_j$之和，并且要求任何项$a_i{b}_j$都在有限处$n$出现。但随之会引出一些基本的问题，对两个收敛的级数，它们乘积的不同更序级数收敛吗？如果收敛值相同吗？设绝对收敛级数的绝对收敛值为$A^{\ast },B^{\ast }$，首先易知$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|u_n|$的部分和有上限$A^{\ast }{B}^{\ast }$，从而级数乘积也是绝对收敛的。

　　为了计算乘积的值，我们来选择合适的$a_i{b}_j$的排序及组合方法，因为级数绝对收敛，重新排序组合后的值应当是相同的。为了有限遍历所有项，下图中的两种组合方法是最常用的，左边的通项可写为式（18）左，右边的通项为式（18）右，它也被称为柯西乘积。左边一个乘积的部分和其实是$A_n{B}_n$，从而容易得知级数乘积的值为$AB$。总结就是：绝对收敛的级数的乘积也绝对收敛，且收敛值为$AB$。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& U_n=A_n{B}_n-A_{n-1}{B}_{n-1};C_n=a_1{b}_n+a_2{b}_{n-1}+\cdots +a_n{b}_1\end{array}$$

　　以上结论是针对绝对收敛级数的，且对所有更序级数成立，我们现在来看看条件可不可以弱化一点。柯西乘积有较好的形式特点，令${\beta }_n=B-B_n$，则有式（19）的变形。如果再令$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$绝对收敛，可以证明$r_n\to 0$，从而柯西乘积收敛，且值为$AB$（式（20））。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& S_n=a_1{B}_n+a_2{B}_{n-1}\cdots +a_n{B}_1=A_{n}B+r_n,r_n=a_1{\beta }_n+a_2{\beta }_{n-1}+\cdots +a_n{\beta }_1\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{C}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\end{array}$$

　　• 利用${\displaystyle \frac{1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^0$求$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}$；

　　• 验证$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}}$与自身的柯西乘积不收敛。

4.2 二重级数

　　级数的概念可以扩展到有两个维度的数集$\{a_{ij}\}$，它们的和称为二重级数，记作$\sum _{i,j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ij}$。式（21）左称为二重级数的部分和，如果式（21）右的重极限存在，则称二重级数收敛于$S$，否则称为发散。要注意，重极限是两个变量同时趋于$\mathrm{\infty }$，如果其中一个先趋于$\mathrm{\infty }$，则它称为累级数，如式（22）所示，内层的级数也称行级数和列级数。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& S_{mn}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij};\underset{m,n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_{mn}=S\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ij}\right);\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ij}\right)\end{array}$$

　　级数的有些讨论可以套用在二重级数中，这里不作赘述，而把重点放在讨论二重级数与累级数的关系上。如果一个累级数存在，容易证明二重级数也存在，且级数的值相等。但反之，如果二重级数存在，累积数不一定存在，甚至行（列）级数都不存在。但容易证明，如果行（或列）级数存在，则对应的累积数也存在，且累积数的值与二重级数相同。

　　由此可以看出，如果二重级数存在，讨论的重点便是行（或列）级数的存在性。对正项级数，根据有界性已知，它的行列级数都存在，故正项二重级数与正项累级数是完全等价的。还容易证明，二重级数的更序级数也有与之相同的值。对于一般的二重级数，同样可以定义绝对收敛的概念，且容易证明，绝对收敛的二重级数与它的累级数是完全等价的。

4.3 乘法级数

　　级数是无穷个小量直和，其实在乘法中，也可以考虑无穷个趋于$1$的量的积。为此定义式（23）左为无穷乘积，式（23）右为它的部分积。部分积如果收敛于非零常数$P$，则称无穷乘积是收敛的。如果部分积的极限是$0$或$\mathrm{\infty }$，这些情况比较平凡，不作讨论，故定义为发散。有讨论价值的无穷乘积，它的通项必定是趋于$1$的，为此我们把通项写成$1+a_n$，其中$a_n\to 0$。

$$\begin{array}{}\text{(23)}& \prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n=p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot \cdots ;P_n=\prod _{k=1}^n{p}_k\end{array}$$

　　对数可以将乘法变成加法，这就启发我们，$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n$收敛的充要条件是$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\ln p_n$收敛。另外，由于$\ln (1+a_n)\sim a_n$，故$a_n$同号时，根据正项级数的比较判别法，可知$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)$收敛的充要条件是$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$收敛。特别地，如果$a_n<0$且$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$发散，则有$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+a_n)=0$。

　　• 求证：$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos {\displaystyle \frac{\phi }{2^n}}={\displaystyle \frac{\sin \phi }{\phi }}$；

　　• 求证：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{a(a+1)\cdots (a+n)}{b(b+1)\cdots (b+n)}}$发散，其中$b>a>0$。