【微积分】 07 - 微积分的应用

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-023.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-024.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-025.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-036.【微积分】 06 - 重积分2016-03-03

7.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-03

8.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

收起

1. 微分的应用

1.1 一元函数的微分

1.1.1 单调性、极值、渐近线

　　导数给出了函数的走向，它对我们分析函数的图形性质很有作用，这里就用微分学的知识来了解函数的性质。一阶导数对函数的影响是最直接的，这里先看一阶导数。对于区间上的常值函数$f(x)=C$，它的导数处处为零，反之由中值定理知，导数恒为零的函数为常值，故函数在区间上$f(x)=0$的充要条件是$f^{\prime }(x)=0$。这个结论还说明了导数相同的函数的差函数为常数，这对在证明函数相等很有用，比如可以证明$3\arccos x-\arccos 3x-4x^2=\pi$。

　　利用中值定理容易证明，区间上函数必定单调上升（下降）的充要条件是$f^{\prime }(x)⩾0$（$f^{\prime }(x)⩽0$）。当等号不成立时，函数还是严格单调上升（下降）的。在部分点等号成立时，利用反证法可知，只要等号不在一个区间恒成立，函数也是严格单调上升（下降）的。

　　我们已经知道，对任意函数$f(x)$，如果$x_0$是极值点，则有$f^{\prime }(x_0)=0$。反之则不一定（比如$x^3$的零点），使得$f^{\prime }(x_0)=0$的点$x_0$一般称为静止点。如果在$x_0$的领域内可导，则两侧的导数同号时为一般静止点，异号时为极值点（且根据具体情况可判定极大还是极小）。一般地，如果$f^{\prime }(x_0)=f^{″}(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但$f^{(n)}\ne 0$，则由泰勒公式知式（1）成立。进而可以证明，$n$为奇数时$x_0$是一般静止点，$n$为偶数时，若$f^{(n)}>0$则$x_0$是极小点，若$f^{(n)}<0$则$x_0$是极大点。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=f(x_0)+{\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)\end{array}$$

　　有了以上结论，我们就能画出函数的大致曲线，只要弄清楚零点、单调性即可。另外有时还会有渐近线，它其实就是以下三种情况之一：（1）$x\to x_0$时$f(x)\to \mathrm{\infty }$；（2）$x\to \mathrm{\infty }$时$f(x)\to y_0$；（3）式（2）分别存在有限极限。前两个分别以$x=x_0$和$y=y_0$为渐近线，第三个以$y=ax+b$为渐近线。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=a;\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]=b\end{array}$$

1.1.2 凸函数

　　最后来看二阶导数在函数图形上的体现，导数可以看做是曲线的切线斜率，那么二阶导数则可刻画了斜率的变化。可以想象，当$f^{″}(x)>0$时函数曲线上凸，而当$f^{″}(x)<0$时函数曲线下凸。如何严格地表述这样的曲线？可以这样说，连接曲线上任意两点形成直线，这两点间的函数值都在直线一侧。受此启发，定义在任意点式（3）都成立的函数为下凸（上凸）函数，等号不成立时也叫严格下凸（上凸）函数。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(t{x}_1+(1-t)x_2)⩽(⩾)tf(x_1)+(1-t)f(x_2),(0<t<1)\end{array}$$

　　以上凸函数的定义中并未假定函数可导，所以不好描述导数的性质，为此换做观察曲线上变化割线的性质。具体来讲，比如对下凸函数，设$x_1<x_2<x_3$，利用定义容易证明式（4）成立它们还可以作为凸函数的等价定义。右边的不等式说明任意点$x_0$右侧，${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$随着$x\to x_0$单调减小，但左边的不等式又说明它是有下界的，从而$x_0$存在右极限（或极限为无穷）。同样可证$x_0$存在左极限（或极限为无穷），当然，如果$x_0$是端点，其中只有一个成立。当$x_0$是区间内点时，显然$f(x)$在$x_0$处连续。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}⩽{\displaystyle \frac{f(x_3)-f(x_2)}{x_3-x_2}};{\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}}⩽{\displaystyle \frac{f(x_3)-f(x_1)}{x_3-x_1}}\end{array}$$

　　其实凸函数不一定可导，比如$V$字形的$f(x)=|x|$是下凸函数，但在$x_0$不可导。当$f(x)$可导时，容易证明$f(x)$下凸（上凸）的充要条件是，$f^{\prime }(x)$单调上升（下降）。这个充要条件还等价于：曲线在它任何一条切线的上方。若$f(x)$二阶可导，还可以证明，$f(x)$下凸（上凸）的充要条件是$f^{″}(x)⩾0$（$f^{″}(x)⩽0$）。这些比较直观，证明也很简单，请自行论证。

　　上面的结论说明，如果$f^{″}(x)$连续且$f^{″}(x_0)=0$，而在领域内$f^{″}(x)\ne 0$，可见$f(x)$在$x_0$左右两侧分别为上、下凸函数，所以曲线在$x_0$左右领域内分别在$x_0$切线的两侧。更一般的，如果$f(x)$在$x_0$处可导，且左右领域的点分别落在切线的两侧，则称$x_0$为$f(x)$的拐点。

　　式（3）对二阶可导的凸函数还有进一步推广，设$\sum _{k=1}^n{p}_k=1,(p_k>0)$，且记$X=\sum _{k=1}^n{x}_k$。对下凸函数$f(x)$可有式（5）成立，$n$个式子乘上$p_k$相加便有式（6）成立。凸函数的这个结论，可以用来很容易地证明一些不等式，比如令$f(x)=\ln x,p_k={\displaystyle \frac{1}{n}}$，可以证明$\prod x_k⩽{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum x_k$。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f(x_k)=f(X)+f^{\prime }(X)(x_k-X)+\frac{1}{2}f"(\xi )(x-X{)}^2⩾f(X)+f^{\prime }(X)(x_k-X)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sum _{k=1}^n{p}_{k}f(x_k)⩾f\left(\sum _{k=1}^n{p}_k{x}_k\right)\end{array}$$

1.2 多元函数的微分

1.2.1 切线、法平面

　　现在利用微分的方法复习空间的点线面，请先复习空间解析几何的基本内容。空间曲线的表达式，最简单的就是参数方程$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$，一阶连续导数$(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$确定了曲线在$(x(t),y(t),z(t))$处的切矢量$\overrightarrow{T}$，切线连续变化的曲线称为光滑曲线。曲线还有可能表示为两个曲面的交集（式（7）左），利用向量值函数隐函数的结论可得到切矢量$(1,y_x^{\prime }(x),z_x^{\prime }(x))$，约去分母便得式（7）右。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{c}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{T}=({\displaystyle \frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}},{\displaystyle \frac{\partial (F,G)}{\partial (z,x)}},{\displaystyle \frac{\partial (F,G)}{\partial (z,y)}})\end{array}$$

　　现在来看空间的曲面$F(x,y,z)=0$，如果$F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z$都连续，它被称为光滑曲面。考察曲面上经过$(x_0,y_0,z_0)$的任意曲线，带入曲面方程有$F(x(t),y(t),z(t))=0$，由曲面的可微性易知曲线光滑，对$t$求导得式（8）。该式表明所有曲线在$(x_0,y_0,z_0)$处的切线在同一平面上，这个平面被称为曲面在点$(x_0,y_0,z_0)$的法平面，它的法向量为$(F_x^{\prime },F_y^{\prime },F_z^{\prime })$所示。曲面还可能是用式（9）左边的参数方程表示的，用前两者可以确定隐函数$u(x,y),v(x,y)$。带入第三个式子就得到曲面表达式，算出法向量后约去分母便可导法向量（式（9）右）。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& F_x^{\prime }(x_0,y_0,z_0)x_t^{\prime }(t_0)+F_y^{\prime }(x_0,y_0,z_0)y_t^{\prime }(t_0)+F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)z_t^{\prime }(t_0)=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \{\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{T}=({\displaystyle \frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}})\end{array}$$

1.2.2 曲率

　　不知你有没有注意，平面曲线的二阶导数虽然表示斜率的变化速度，但由于斜率不与角度成正比，二阶导数其实并不能反映曲线的弯曲程度。要准确的度量曲线的弯曲程度，我们必须考察角度本身的变化率，具体讲就是在某点$M_0$切线角度$\alpha$相比长度$s$的变化率。如果式（10）的极限存在，则称$k$为点$M_0$的曲率，而${\displaystyle \frac{1}{k}}$称为曲率半径。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& k=\left|{\displaystyle \frac{\text{d}\alpha }{\text{d}s}}\right|=\left|\underset{\Delta s\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\Delta \alpha }{\Delta s}}\right|\end{array}$$

　　如果曲线以参数方程$x(t),y(t)$表示，首先有$\text{d}s=\sqrt{{x_t^{\prime }}^2+{y_t^{\prime }}^2}\text{d}t$，再由$\alpha =\arctan {\displaystyle \frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}}$也容易得到$\text{d}\alpha$，从而容易有曲率的表达式（11），后者是坐标方程$y=y(x)$下的结果。对于极坐标方程$r=r(\theta )$，可以写成参数方程$x=r(\theta )\cos \theta ,y=r(\theta )\sin \theta$，带入式（11）可得式（12）。特别地，对于圆$r=r_0$，易知其曲率半径就是$r_0$。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& k={\displaystyle \frac{|x_t^{\prime }{y}_{t^2}^{″}-x_{t^2}^{″}{y}_t^{\prime }|}{({x_t^{\prime }}^2+{y_t^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}={\displaystyle \frac{|y_{x^2}^{″}|}{(1+{y_x^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& r=r(\theta )\Rightarrow k={\displaystyle \frac{|r^2+2{r_{\theta }^{\prime }}^2-r{r}_{{\theta }^2}^{″}|}{(r^2+{r_{\theta }^{\prime }}^2{)}^{\frac{3}{2}}}}\end{array}$$

1.2.3 极值

　　类似一元函数的结论，对于偏导数处处存在的函数$f(x_1,\cdots ,x_n)$，如果$f_{x_i}^{\prime }(x_{01},\cdots ,x_{0n})=0$皆成立，那么${\overrightarrow{x}}_0=(x_{01},\cdots ,x_{0n})$称为$f$的静止点。静止点什么时候是极值点？再假设$f$有连续的二阶偏微分，使用泰勒公式即得式（13）。如果记对称矩阵$Q=\{a_{ij}=f_{x_i{x}_j}^{″}({\overrightarrow{x}}_0)\}$，则式（13）的值取决于$Q$关于$\Delta \overrightarrow{x}$的二次型。二次型正定（负定），则静止点是极大点（极小点），否则就不确定。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \Delta f({\overrightarrow{x}}_0)=f(\overrightarrow{x})-f({\overrightarrow{x}}_0)={\displaystyle \frac{1}{2}}(\Delta x_1{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_1}}+\cdots +\Delta x_n{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x_n}}{)}^{2}f({\overrightarrow{x}}_0+\theta \Delta \overrightarrow{x})\end{array}$$

　　上面的极值假定变量可以在一个领域内变化，但实际问题中往往还有限制条件。比如已知$G_i(\overrightarrow{x})=0,(i=1,\cdots ,m)$，求$F(\overrightarrow{x})$的极值，这样的问题被称为条件极值。其实如果在局部${\displaystyle \frac{\partial (G_1,\cdots ,G_m)}{\partial (x_1,\cdots ,x_m)}}\ne 0$，则根据$G_i=0$可以得到$x_1,\cdots ,x_m$关于$x_{m+1},\cdots ,x_n$的隐函数，将它们带入$F(\overrightarrow{x})$即将问题转化为无条件极值问题。

　　但很多时候，这样的隐函数无法直接写出，或者结果会破坏原本的对称性，从而使计算变得复杂。我们已经有了$m$个方程$G_i=0$，现在需要再找$(n-m)$个“好”的方程。我们仍然以$x_{m+1},\cdots ,x_n$为自变量考虑问题，由$F$的极值首先有$\text{d}F=\sum _{i=1}^n{F}_{x_i}^{\prime }\text{d}{x}_i=0$，注意其中$\text{d}{x}_i,(i=1,\cdots ,m)$为函数。如果能使等式中只有自变量$x_{m+1},\cdots ,x_n$的微分，则微分系数都为$0$，这就得到了另外的$n-m$个方程。

　　可以同样对$G_i$求微分$\text{d}{G}_i=\sum _{i=1}^n{(G_i)}_{x_i}^{\prime }\text{d}{x}_i=0$，由于${\displaystyle \frac{\partial (G_1,\cdots ,G_m)}{\partial (x_1,\cdots ,x_m)}}\ne 0$，则可以选择参数${\lambda }_i,(i=1,\cdots ,m)$，使得$\text{d}F+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i\text{d}{G}_i$中$\text{d}{x}_i,(i=1,\cdots ,m)$的系数为$0$。这时$\text{d}{x}_i,(i=m+1,\cdots ,n)$的系数必定是零，它们就是要找的$n-m$个方程。

　　现在来总结一下需要解的方程，为方便讨论，把${\lambda }_i$也看作是未知数，并记$\Phi$为式（14）左。原先的$m$个方程$G_i=0$其实就是${\Phi }_{{\lambda }_j}^{\prime }=0$，求${\lambda }_i$的$m$方程其实是${\Phi }_{x_i}^{\prime }=0,(i=1,\cdots ,m)$，而最后的$n-m$个方程便是${\Phi }_{x_i}^{\prime }=0,(i=m+1,\cdots ,n)$。这个方法称为拉格朗日乘数法，式（14）更便于记忆。但还要注意，我们求得的只是“静止点”，还需根据实际情况确定是否是极值。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \Phi (\overrightarrow{x},\overrightarrow{\lambda })=F(\overrightarrow{x})+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{G}_i(\overrightarrow{x})\Rightarrow {\Phi }_{x_i}^{\prime }=0\wedge {\Phi }_{{\lambda }_j}^{\prime }=0\end{array}$$

2. 积分的应用

2.1 一元函数的积分

2.1.1 平面面积，体积

　　之前我们把定积分作为面积的一种定义，现在来看看这个定义的合理性，以及定积分更广泛的应用。首先我们来给出平面图形面积的一个直观定义，对于多边形，它们总可以分割为若干个三角形。对于一般平面图形$P$，我们总可以构造两个多边形$B,A$，$B$把$P$围住而$A$被$P$围住，显然$B$的面积不小于$A$的面积。所有满足条件的$A$的面积有上确界$S_{\ast }$，所有满足条件的$B$的面积有下确界$S^{\ast }$，当$S_{\ast }=S^{\ast }$时称$P$可求积，且$S=S_{\ast }=S^{\ast }$称为$P$的面积。

　　对于任意图形$P$，容易证明它可求积的充要条件是，存在多边形序列$\{A_i\},\{B_i\}$，它们的面积极限相同。这个条件真好适合定积分的定义，所以对于可积函数，用定积分定义面积是合理的。对于复杂的图形（定义域为$[a,b]$），记$x=x_0$截得的线段长为$g(x)$（连续），则图形面积为式（15）左。若$x$是$t$的参数方程，且$x^{\prime }(t)$连续，则还可用式（15）右边计算。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& S_P={\int }_a^{b}g(x)\text{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }g(x(t))x^{\prime }(t)\text{d}t,(x(\alpha )=a,a(\beta )=b)\end{array}$$

　　以上定义面积方法其实可以推广开来，如果要求的量$Q$在$[a,b]$上连续，将它分成若干部分，每一部分使用某个可积分的近似值$f(x_i)\Delta x_i$代替。然后证明误差部分趋于$0$，这样所求量就等于定积分${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$。对于每个具体的问题，证明误差部分趋于零是必须的，有时候也是困难的，对$f(x)$的论证非常必要。但下面的结论，我只打算给出粗略的描述，具体证明请参考教材。

　　有些图形用极坐标描述更方便，对定义在$[\alpha ,\beta ]$上的扇形$r=r(\theta )$，可以证明其面积为式（16）。类似地，可以用多面体来的近似来定义体积，使用多个棱柱计算更方便。若立体$V$定义在$[a,b]$上，且$x$处的截面面积为$S(x)$，则可以证明其体积为${\int }_a^{b}S(x)\text{d}x$。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& r=r(\theta )\Rightarrow S_P={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )\text{d}\theta \end{array}$$

2.1.2 长度、旋转面、曲线质量

　　现在讨论平面里的一条曲线段$l$，它由参数方程$x(t),y(t),t\in [p,q]$给出。在线上取若干个点，用线段按顺序连接它们，然后用这些线段的长度之和的极限定义$l$的长度。若曲线段自身不相交且不封闭，可以证明它的长度为式（17）。当曲线首尾相连时，可以拆成两段计算，容易证明这种情况公式仍然成立。如果把$s$看成$t$的函数，$s^{\prime }(t)=x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)⩾0$且连续，从而$t^{-1}(s)$存在。$x,y$就可以看做$s$的函数，由$\text{d}{s}^2=\text{d}{x}^2+\text{d}{y}^2$知公式（18）成立。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& s_l={\int }_p^q\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\text{d}t={\int }_a^b\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\text{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^{\prime 2}(\theta )+r^2(\theta )}\text{d}\theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& ({\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}s}}{)}^2+({\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}s}}{)}^2=1\end{array}$$

　　对于一般曲面的面积，在后面会给出一般方法，这里只讨论一类特殊曲面的面积。对于定义在$[a,b]$上的曲线$y(x)$，将它绕$x$轴旋转一周，曲线的路径形成旋转面$\mathrm{\Sigma }$。可以用曲线上的分段线段的旋转面（圆台侧面）作为旋转面面积，已经知道每个线段旋转面的面积是$\pi (y_i+y_{i+1})d_i$（$d_i$为线段长），从而可以证明旋转面面积为$2\pi {\int }_0^{l}y\text{d}s$（$l$为曲线长度），整理即得式（19）成立。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& S_{\mathrm{\Sigma }}=2\pi {\int }_p^{q}y(t)\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\text{d}t=2\pi {\int }_a^{b}y(x)\sqrt{1+y^{\prime 2}(x)}\text{d}x\end{array}$$

　　更一般地，曲线$l$每一点的密度为$f(x,y)$（也可能是其它意义），那么曲线的质量是多少呢？同样的方法，将曲线分割为若干小段$\Delta s$，用所有段的质量和的极限作为$l$重量的定义。这样极限也被称为第一型曲线积分，记作${\int }_{l}f(x,y)\text{d}s$。类似长度的分析，可以用关于$t$参数方程表示$x,y,s$，并将第一型曲线积分转化为一元积分（式（20））。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\int }_{l}f(x,y)\text{d}s={\int }_p^{q}f(x(t),y(t))\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}\text{d}t\end{array}$$

2.2 多元函数的积分

2.2.1 平面面积、体积

　　重积分本身就是对面积（体积）的积分，因此将积分函数设为$1$便可求平面面积和体积（式（21）），然后可以通过累次积分或换元法求得重积分。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& S={\iint }_D\text{d}x\text{d}y;V={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}\text{d}x\text{d}y\text{d}z\end{array}$$

2.2.2 曲面面积、曲面质量

　　现在来看一般空间曲面$\mathrm{\Gamma }$的面积，先介绍一个基本结论：设平面${\pi }_1,{\pi }_2$之间的夹角为$\theta$，则容易证明${\pi }_1$上任何图形在${\pi }_2$上的垂直投影的面积是原图形的$\cos \theta$。为了定义曲面面积，我们将曲面$f(x,y)$分割为多个小区域${\mathrm{\Gamma }}_1,\cdots ,{\mathrm{\Gamma }}_n$，每个区域在$xy$平面上的垂直投影是$D_i$。对于每个区域${\mathrm{\Gamma }}_i$，可以用它上面的任一点${\xi }_i,{\eta }_i$的法平面被投影分割的部分$T_i$来近似，为此还要假设$f(x,y)$有连续偏导数。

　　设$T_i,D_i$的面积分别为$\Delta {\tau }_i,\Delta {\sigma }_i$，由于$T_i$的法向量为$(f_x({\xi }_i,{\eta }_i),f_y({\xi }_i,{\eta }_i),-1)$，故$T_i,D_i$的夹角满足式（22）左。所以曲面的近似面积如式（22）右所示，它其实就是$D$上的一个积分和，因此曲面面积为式（23）的重积分。如果$x,y,z$由参数$u,v$给出，重新计算便得式（24）的重积分。

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+f_x^2(\xi ,\eta )+f_y^2(\xi ,\eta )}}};\sum _{i=1}^n\Delta {\tau }_i=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{\Delta {\sigma }_i}{\cos {\theta }_i}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(23)}& S={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2(x,y)+f_y^2(x,y)}\text{d}x\text{d}y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(24)}& S={\iint }_{D^{\prime }}\sqrt{A^2+B^2+C^2}\text{d}u\text{d}v,(A=\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)},B=\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)},C=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)})\end{array}$$

　　类似于第一型曲线积分，如果曲面$\mathrm{\Gamma }$上的密度为$f(x,y,z)$（或其它意义），则曲面质量被称作第一型曲面积分。该积分记作${\iint }_{\mathrm{\Gamma }}f(x,y,z)\text{d}\tau$，上面的曲面面积其实就是${\iint }_{\mathrm{\Gamma }}\text{d}\tau$。可以将微分$\text{d}\tau$展开，从而将第一型曲面积分转化为二重积分（比如式（25），也可以写成关于参变量$u,v$的重积分）。

$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\iint }_{\mathrm{\Gamma }}f(x,y,z)\text{d}\tau ={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\text{d}x\text{d}y\end{array}$$