【微积分】 06 - 重积分

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-023.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-024.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-025.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-03

6.【微积分】 06 - 重积分2016-03-03

7.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 二重积分

1.1 定义和性质

　　一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线$y=f(x)$换成了曲面$z=f(x,y)$，曲面在$xy$平面上的投影$D$即为定义域。为求得曲面和$D$之间柱体$\mathrm{\Omega }$的体积，可以将$D$划分为若干区域$D_1,D_2,\cdots ,D_n$。设所有区域最大直径为$d$，且各区域的面积为$\Delta {\sigma }_i$，在某个区域任取$({\xi }_i,{\eta }_i)\in D_i$，则式（1）称为一个积分和。若$\underset{d\to 0}{lim}\omega$的极限存在，则称$f(x,y)$为$D$上的可积函数，并称极限为$f(x,y)$在$D$上的二重积分（式（2））。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \omega =\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}\sigma ={\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y=\underset{d\to 0}{lim}\omega \end{array}$$

　　若记分割$\pi$下积分和的上、下确界分别是$S(\pi ),s(\pi )$，它们和一元积分中的性质完全一样，并易知二重积分可积的充要条件是式（3）成立。利用该式可知连续函数是可积的，还容易证明，改变面积为$0$的点集的函数值，并不改变可积性。还有关于有界性、$kf(x,y),f(x,y)\pm g(x,y)$的二重积分公式、二重积分分片公式、绝对可积的判定、积分中值定理等，都与一元积分相同，故不作赘述。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{d\to 0}{lim}(S(\pi )-s(\pi ))=0\end{array}$$

1.2 积分的计算

1.2.1 累次积分

　　相比较重积分，形式${\int }_c^d\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$的积分被称为累次积分，我们自然想问，$f(x,y)$在$D=[a,b]\times [c,d]$上的重积分与累次积分是什么关系？先假设$f(x,y)$可积，且对任何$y$存在积分$I(y)={\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x$，现在来讨论$I(y)$的可积性。

　　对$D$作分割$a=x_0<\cdots <x_n=b,c=y_0<\cdots <y_m=d$，各小块及其上确界记作$D_{ij},M_{ij}$，在$[y_{j-1},y_j]$上任意取${\eta }_j$，则易知$I(y)$的积分和满足式（4）。同样可知积分和不小于$s$，根据二重积分的存在性知$s,S$趋于积分值，从而累次积分也有相同的积分值。总结就是。重积分和某个一元积分存在时，累次积分存在且等于重积分。特别地，对$D$上的连续函数有式（5）成立。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \sum _{j=1}^m\Delta y_j{\int }_a^{b}f(x,{\eta }_j)\text{d}x⩽\sum _{j=1}^m\Delta y_j\sum _{i=1}^n{M}_{ij}\Delta x_i=S\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y={\int }_c^d\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y)\text{d}x={\int }_a^b\text{d}x{\int }_c^{d}f(x,y)\text{d}y\end{array}$$

　　有时候，定义域本身是关于$y$（或$x$）的函数，比如$D=\{x\in (a(y),b(y)),y\in [a,d]\}$，其实可以用$0$将$D$补全为一个矩形。从而如果$f(x,y)$可积，且对任何$y$在$x\in [a(y),b(y)]$上可积，则有式（6）成立。对于一个无洞的凸区域的连续函数，两种累积分都成立，可以选择很方便的一个求积。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y={\int }_c^d\text{d}y{\int }_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\text{d}x\end{array}$$

1.2.2 换元法

　　在一元积分中，换元法有时可以化简积分运算，这里继续在重积分中讨论换元法。设$x,y$由式（7）的向量值函数给出，并且雅克比行列式非$0$，则$x,y$与$u,v$是一一对应的。在后面的《向量分析》课程中，对微分有结论$\text{d}x\text{d}y=|J|\text{d}u\text{d}v$，从而可以得到重积分的换元公式（8）。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{c}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array},J={\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\ne 0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|\text{d}u\text{d}v\end{array}$$

　　当某个封闭区域明显由两个变量独立确定时，换元公式可以简化积分运算。比如$D=\{1⩽xy⩽2,x⩽y⩽2x\}$时，令$xy=u,{\displaystyle \frac{y}{x}}=v$，便可得到$[1,2]\times [1,2]$上的向量值函数$x(u,v),y(u,v)$。$u,v$的选择有时是根据$D$的特点，有时还要考虑被积函数的特点。比如在$x=0,y=0,x+y=1$围成的区域内求$e^{\frac{x+y}{x-y}}$的重积分，利用变换$x+y=u,x-y=v$将更简单。

　　现在来着重考虑一下极坐标变换（9），可以有换元公式（10），定理论证中要注意对原点和$x$正轴的讨论（讨论略去）。对不包含原点的区域，如果任何从原点出发的射线与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）左的累次积分，如果任何以原点为圆心的圆与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）右的累次积分。当区域包含原点，且边界为函数$r(\theta )$时，则有式（12）成立。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \{\begin{array}{c}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array},J={\displaystyle \frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}=r\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ),r\sin \theta )r\text{d}r\text{d}\theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\text{d}\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )r\text{d}r;{\int }_{r_1}^{r_2}r\text{d}r{\int }_{{\theta }_1(r)}^{{\theta }_2(r)}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )\text{d}\theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\iint }_{D}f(x,y)\text{d}x\text{d}y={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\text{d}\theta {\int }_0^{r_{(}\theta )}r(\theta )r\text{d}r\end{array}$$

2. 三重积分

2.1 累次积分

　　完全类似二重积分，可以把空间物体的质量定义为三重积分（式（13））。并且容易证明，定义在立方体的三重积分可以转化为低次积分（式（14））。对定义在不规则封闭区域中的三重积分，如果它的表面对任何平行于$z$轴的直线最多有两个交点，则可使用式（15）左，如果它与任何垂直于$z$轴的平面相交成封闭图形，则可使用式（15）右。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\text{d}\rho ={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\text{d}z\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\iiint }_{\mathrm{\Omega }}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\text{d}z={\int }_e^f\text{d}z{\int }_c^d\text{d}y{\int }_a^{b}f(x,y,z)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\iint }_D\text{d}x\text{d}y{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z;{\int }_{z_1}^{z_2}\text{d}z{\iint }_{D(z)}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y\end{array}$$

2.2 换元法

　　三重积分可以同样使用换元法，与二重积分的公式类似，这里就不列举了。三维空间中最常用的换元当属式（16）中的球面坐标变换，其中$\phi$表示点向量和$z$轴正方向的夹角，$\theta$表示点向量在$xy$轴平面上的投影与$x$轴正方向的夹角。转化为球面坐标的积分后，一般按$r,\phi ,\theta$的顺序求积分，当然还可以用式（17）的广义球面坐标变换。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& \{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array},J={\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}}=r^2\sin \theta \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& \{\begin{array}{l}x=ar\sin \phi \cos \theta \\ y=br\sin \phi \sin \theta \\ z=cr\cos \phi \end{array},J={\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}}=abc{r}^2\sin \theta \end{array}$$

　　除了重积分，多元积分的内容主要是关于向量的积分，这将在另一门课程《向量分析》中展开描述。