【微积分】 06 - 重积分

1. 二重积分

1.1 定义和性质

　　一元定积分的概念可以推广到空间中，不同的是曲线\(y=f(x)\)换成了曲面\(z=f(x,y)\)，曲面在\(xy\)平面上的投影\(D\)即为定义域。为求得曲面和\(D\)之间柱体\(\Omega\)的体积，可以将\(D\)划分为若干区域\(D_1,D_2,\cdots,D_n\)。设所有区域最大直径为\(d\)，且各区域的面积为\(\varDelta\sigma_i\)，在某个区域任取\((\xi_i,\eta_i)\in D_i\)，则式（1）称为一个积分和。若\(\lim\limits_{d\to 0}\omega\)的极限存在，则称\(f(x,y)\)为\(D\)上的可积函数，并称极限为\(f(x,y)\)在\(D\)上的二重积分（式（2））。

\[\omega=\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\varDelta\sigma_i\tag{1}\]

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}\sigma=\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\lim\limits_{d\to 0}\omega\tag{2}\]

　　若记分割\(\pi\)下积分和的上、下确界分别是\(S(\pi),s(\pi)\)，它们和一元积分中的性质完全一样，并易知二重积分可积的充要条件是式（3）成立。利用该式可知连续函数是可积的，还容易证明，改变面积为\(0\)的点集的函数值，并不改变可积性。还有关于有界性、\(kf(x,y),f(x,y)\pm g(x,y)\)的二重积分公式、二重积分分片公式、绝对可积的判定、积分中值定理等，都与一元积分相同，故不作赘述。

\[\lim\limits_{d\to 0}(S(\pi)-s(\pi))=0\tag{3}\]

1.2 积分的计算

1.2.1 累次积分

　　相比较重积分，形式\(\int_c^d\,\text{d}y\int_a^bf(x,y)\,\text{d}x\)的积分被称为累次积分，我们自然想问，\(f(x,y)\)在\(D=[a,b]\times[c,d]\)上的重积分与累次积分是什么关系？先假设\(f(x,y)\)可积，且对任何\(y\)存在积分\(I(y)=\int_a^bf(x,y)\,\text{d}x\)，现在来讨论\(I(y)\)的可积性。

　　对\(D\)作分割\(a=x_0<\cdots<x_n=b,c=y_0<\cdots<y_m=d\)，各小块及其上确界记作\(D_{ij},M_{ij}\)，在\([y_{j-1},y_j]\)上任意取\(\eta_j\)，则易知\(I(y)\)的积分和满足式（4）。同样可知积分和不小于\(s\)，根据二重积分的存在性知\(s,S\)趋于积分值，从而累次积分也有相同的积分值。总结就是。重积分和某个一元积分存在时，累次积分存在且等于重积分。特别地，对\(D\)上的连续函数有式（5）成立。

\[\sum\limits_{j=1}^m\varDelta y_j\int_a^bf(x,\eta_j)\,\text{d}x\leqslant\sum\limits_{j=1}^m\varDelta y_j\sum\limits_{i=1}^nM_{ij}\varDelta x_i=S\tag{4}\]

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\int_c^d\,\text{d}y\int_a^bf(x,y)\,\text{d}x=\int_a^b\,\text{d}x\int_c^df(x,y)\,\text{d}y\tag{5}\]

　　有时候，定义域本身是关于\(y\)（或\(x\)）的函数，比如\(D=\{x\in(a(y),b(y)),y\in[a,d]\}\)，其实可以用\(0\)将\(D\)补全为一个矩形。从而如果\(f(x,y)\)可积，且对任何\(y\)在\(x\in[a(y),b(y)]\)上可积，则有式（6）成立。对于一个无洞的凸区域的连续函数，两种累积分都成立，可以选择很方便的一个求积。

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\int_c^d\,\text{d}y\int_{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\text{d}x\tag{6}\]

1.2.2 换元法

　　在一元积分中，换元法有时可以化简积分运算，这里继续在重积分中讨论换元法。设\(x,y\)由式（7）的向量值函数给出，并且雅克比行列式非\(0\)，则\(x,y\)与\(u,v\)是一一对应的。在后面的《向量分析》课程中，对微分有结论\(\text{d}x\,\text{d}y=|J|\text{d}u\,\text{d}v\)，从而可以得到重积分的换元公式（8）。

\[\left\{\begin{matrix}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\end{matrix}\right.,\quad J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne 0\tag{7}\]

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|\,\text{d}u\,\text{d}v\tag{8}\]

　　当某个封闭区域明显由两个变量独立确定时，换元公式可以简化积分运算。比如\(D=\{1\leqslant xy\leqslant 2,x\leqslant y\leqslant 2x\}\)时，令\(xy=u,\dfrac{y}{x}=v\)，便可得到\([1,2]\times[1,2]\)上的向量值函数\(x(u,v),y(u,v)\)。\(u,v\)的选择有时是根据\(D\)的特点，有时还要考虑被积函数的特点。比如在\(x=0,y=0,x+y=1\)围成的区域内求\(e^{\frac{x+y}{x-y}}\)的重积分，利用变换\(x+y=u,x-y=v\)将更简单。

　　现在来着重考虑一下极坐标变换（9），可以有换元公式（10），定理论证中要注意对原点和\(x\)正轴的讨论（讨论略去）。对不包含原点的区域，如果任何从原点出发的射线与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）左的累次积分，如果任何以原点为圆心的圆与它的边界最多有两个交点，则使用式（11）右的累次积分。当区域包含原点，且边界为函数\(r(\theta)\)时，则有式（12）成立。

\[\left\{\begin{matrix}x=r\cos{\theta}\\y=r\sin{\theta}\end{matrix}\right.,\quad J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}=r\tag{9}\]

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\iint_{D'}f(r\cos\theta),r\sin\theta)r\,\text{d}r\,\text{d}\theta\tag{10}\]

\[\int_{\theta_1}^{\theta_2}\text{d}\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\text{d}r;\quad\int_{r_1}^{r_2}r\,\text{d}r\int_{\theta_1(r)}^{\theta_2(r)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,\text{d}\theta\tag{11}\]

\[\iint_Df(x,y)\,\text{d}x\,\text{d}y=\int_{\theta_1}^{\theta_2}\text{d}\theta\int_{0}^{r_(\theta)}r(\theta)r\,\text{d}r\tag{12}\]

2. 三重积分

2.1 累次积分

　　完全类似二重积分，可以把空间物体的质量定义为三重积分（式（13））。并且容易证明，定义在立方体的三重积分可以转化为低次积分（式（14））。对定义在不规则封闭区域中的三重积分，如果它的表面对任何平行于\(z\)轴的直线最多有两个交点，则可使用式（15）左，如果它与任何垂直于\(z\)轴的平面相交成封闭图形，则可使用式（15）右。

\[\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,\text{d}\rho=\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z\tag{13}\]

\[\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\,\text{d}z=\int_e^f\text{d}z\int_c^d\text{d}y\int_a^bf(x,y,z)\,\text{d}x\tag{14}\]

\[\iint_{D}\text{d}x\,\text{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\,\text{d}z;\quad\int_{z_1}^{z_2}\text{d}z\iint_{D(z)}f(x,y,z)\,\text{d}x\,\text{d}y\tag{15}\]

2.2 换元法

　　三重积分可以同样使用换元法，与二重积分的公式类似，这里就不列举了。三维空间中最常用的换元当属式（16）中的球面坐标变换，其中\(\varphi\)表示点向量和\(z\)轴正方向的夹角，\(\theta\)表示点向量在\(xy\)轴平面上的投影与\(x\)轴正方向的夹角。转化为球面坐标的积分后，一般按\(r,\varphi,\theta\)的顺序求积分，当然还可以用式（17）的广义球面坐标变换。

\[\begin{cases}x=r\sin{\varphi}\cos{\theta}\\y=r\sin{\varphi}\sin{\theta}\\z=r\cos{\varphi}\end{cases},\quad J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=r^2\sin{\theta}\tag{16}\]

\[\begin{cases}x=ar\sin{\varphi}\cos{\theta}\\y=br\sin{\varphi}\sin{\theta}\\z=cr\cos{\varphi}\end{cases},\quad J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\theta)}=abc\,r^2\sin{\theta}\tag{17}\]

　　除了重积分，多元积分的内容主要是关于向量的积分，这将在另一门课程《向量分析》中展开描述。