【微积分】 05 - 多元微分

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-023.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-024.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-02

5.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-03

6.【微积分】 06 - 重积分2016-03-037.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 多元函数

1.1 欧几里得空间

　　很多函数的自变量不止一个，现在就来讨论这种函数的性质，多元函数可以记作$f(x_1,\cdots ,x_n)$。如果只是独立地讨论函数与每个变量的关系，大可不必给出新的概念，我们需要把所有自变量当成一个“数”看待，并研究这种函数的分析特性。对于这种数，我们还需要“距离”、“长度”的概念，线性代数中提到的欧几里得空间正好符合要求，请复习相关内容。

　　为简单起见，这里默认在标准正交基下讨论，并用直接向量坐标代表向量本身（一般说成点），这也更符合使用习惯。但要注意，这里的结论对任何欧几里得空间、以及任何一组正交基都是成立的。具体来说，向量写成$\overrightarrow{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$，向量的距离定义为式（1），向量的长度（范数）记为$\Vert \overrightarrow{x}\Vert$，空间记作${\mathbb{R}}^n$。所有满足$\rho (\overrightarrow{x},{\overrightarrow{x}}_0)<\delta$的点称为开球，而所有满足$|x_i-x_{0i}|<\delta$的点称为开正方体，它们都可以作为${\overrightarrow{x}}_0$的$\delta$-邻域的概念，且使用起来是等价的。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \rho (\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}\end{array}$$

　　为描述方便，我们需要定义一些关于点集$S$概念。如果${\overrightarrow{x}}_0$的某个领域被包含在$S$中，${\overrightarrow{x}}_0$称为$S$的内点，领域与$S$无交集的叫外点，其它的叫边界点。任何点都是这三者之一，其中内点必定属于$S$，外点必定不属于$S$，边界点两种都有可能。去心领域与$S$总有交集的点叫聚点，否则叫孤立点，聚点可能是内点，也可能是非孤立的边界点。如果$S$的每一点都是内点，$S$被称为开集，开集的补集称为闭集，其实闭集等价于包含所有聚点的集合。相对于区间的概念，如果$S$中任何两个点可连通（通过自身的点相连），它被称为区域，自然还可定义开区域和闭区域。

　　一元函数的分析学性质都依赖实数的完备性，所以需要验证向量是否有类似的性质。首先容易定义柯西点列（基本点列），然后再定义极限${\overrightarrow{x}}_n\to {\overrightarrow{x}}_0$，并证明极限存在的充要条件是柯西点列。极限存在则必定唯一，以上聚点就是一种极限点。可以证明极限存在等价于在每一维有极限，完备性的证明都利用了在一维的性质，故这里不再详细证明。完备性相关定义有：闭集套、开覆盖、紧集有界点集（列），相应地定理有：闭集套定理、有限覆盖定理、子列收敛定理，证明从略。

1.2 多元函数的连续性

　　类似于一元函数，我们要讨论多元函数的连续性、可微性。讨论中可以以二元函数作为直观例子，并记之为$z=f(x,y)$，它们容易扩展到更高维。连续性首先要定义函数极限，即当$(x,y)\to (a,b)$时，$f(x,y)$存在极限$z_0$，记作$f(x,y)\to z_0$，当然也可以用$ϵ$-$\delta$语言定义。但要注意，函数极限是一个有聚点的点集的性质，不能以某条线路作为极限的依据，当然也不能逐维求极限。为此我们把极限（2）式后两个称为累次极限，而第一个称为重极限。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \underset{x\to a,y\to b}{lim}f(x,y)\ne \underset{x\to a}{lim}\underset{y\to b}{lim}f(x,y)\ne \underset{y\to b}{lim}\underset{x\to a}{lim}f(x,y)\end{array}$$

　　累次极限和重极限在特定情况下是相同的，但很多时候它们没有什么关系，你可以借助二元的函数的直观图形论证（点$(0,0)$）。两个累次极限不一定相等（${\displaystyle \frac{x-y+x^2+y^2}{x+y}}$），甚至其中一个没有极限（$x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$）。累次极限存在且相等，重极限也不一定存在（${\displaystyle \frac{xy}{x^2+y^2}}$），反之重极限存在，累次极限也不一定存在（$x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$）。但可以证明，如果重极限$A$存在或为无穷，且$y\ne b$时$\underset{x\to a}{lim}f(x,y)$存在极限$\phi (y)$，则对应的累次极限也存在且与重积分相同（式（3））。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{x\to a,y\to b}{lim}f(x,y)=A\wedge \underset{x\to a}{lim}f(x,y)=\phi (y),(y\ne b)\Rightarrow \underset{y\to b}{lim}\underset{x\to a}{lim}f(x,y)=A\end{array}$$

　　有了极限的概念，自然可以给出连续的定义，当$(x,y)\to (a,b)$时若$f(x,y)\to f(a,b)$，称$f(x,y)$在$(a,b)$连续。处处连续的函数称为连续函数，可以证明连续函数的组合函数还是连续的。容易证明，函数在连续点的足够小邻域内有界，如果$f(a,b)>0(<0)$，则在$(a,b)$足够小邻域内也有$f(x,y)>0(<0)$。

　　多元连续函数有着与一元连续函数类似的性质，证明也类似，这里仅作陈列。（1）零点定理：如果函数在区域的某两点异号，则必存在值为零的点；（2）介值定理：区域中存在两点间任意值的点；（3）有界性定理：有界闭集上的连续函数有界；（4）最值定理：有界闭集上的连续函数有最大值和最小值。多元函数也可以定义一致连续，并且同样有结论：有界闭集上的连续函数一致连续。

2. 多元微分

2.1 全微分和偏微分

　　连续性之后自然是研究可微性，它表示某点相对于领域的平滑性。首先我们当然也可以为每一维定义微分（导数），但它并不是相对于邻域的性质，为了区别开来，将某一维（比如$x$）的导数称为偏导数，记作${\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}(x,y),f_x^{\prime }(x,y)$或$f_x(x,y)$。偏导数仅表示函数在每一维的变化趋势（切线），它不能表示函数在该点的平滑性，所谓平滑其实就是说在局部近似一个平面（二元函数），而要确定这个平面我们需要两条直线。

　　为此，自然可以想到按如下方法定义微分，设函数$z=f(x,y)$在区域内点$(x_0,y_0)$满足式（4），称函数在$(x_0,y_0)$处可微。其实容易证明，定义中的$o(\rho )$可以替换为$o(\Delta x)+o(\Delta y)$。显然可微函数在$(x_0,y_0)$处存在偏导数，且满足$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=A,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=B$。但偏导数存在并不表示可微（$\sqrt{|xy|}$），甚至都不一定连续。考察式（5）对$\Delta z$的变形，如果$f_x^{\prime },f_y^{\prime }$在$(x_0,y_0)$的一个领域内都存在且在$(x_0,y_0)$连续，利用微分中值定理容易证明$f(x,y)$可微。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho ),(\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \Delta z=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{array}$$

　　类似地，我们把式（4）中的线性部分称为$f(x,y)$在区域内点$(x_0,y_0)$的全微分，记作$\text{d}f$，而$A\Delta x$称为关于$x$的偏微分，记作${\text{d}}_{x}f$（式（6））。由此，偏导数还可以写作式（7），它也被偏微商。在定义域内处处可微的函数称为可微函数，偏导数都连续的（必定可微）函数称为连续可微，一般记作$f(x,y)\in C^1$。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \text{d}f(x,y)={\text{d}}_{x}f(x,y)+{\text{d}}_{y}f(x,y)=f_x^{\prime }(x,y)\text{d}x+f_y^{\prime }(x,y)\text{d}y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& f_x^{\prime }(x,y)={\displaystyle \frac{{\text{d}}_{x}f(x,y)}{\text{d}x}};f_y^{\prime }(x,y)={\displaystyle \frac{{\text{d}}_{y}f(x,y)}{\text{d}y}}\end{array}$$

2.2 链锁法则及其应用

　　偏导数的计算与一般导数无异，但对于复合函数，我们可以将一元函数中的链锁法则进行扩展。为简单起见，先设$z=f(x,y)$可微且有$x=x(t),y=y(t)$，再假设$x^{\prime }(t),y^{\prime }(t)$存在且有界。当$\Delta t\to 0$时可有$\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$，从而式（4）成立，两边除以$\Delta t$可得式（8）。这个公式的好处是将函数分割为几个维度来处理，比如对于$f(t{)}^{g(t)}$的函数就不必变形而直接使用$x^y$的结论。当$x,y$为多元函数时，偏导数有同样的结论。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle \frac{\text{d}z}{\text{d}t}}={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}{\displaystyle \frac{\text{d}x}{\text{d}t}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}{\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}t}}\end{array}$$

　　一元函数的链锁法则得到了一元微分的形式不变性，这个结论在多元函数中仍然成立。设$z=f(x,y),x(u,v),y(u,v)$都连续可微，首先易证在领域内$x,y$对$u,v$的偏导数有界，从而$z$对$u,v$的偏导数存在且连续。将$z_u^{\prime },z_v^{\prime }$的链锁表达式带入$\text{d}z=z_u^{\prime }\text{d}u+z_v^{\prime }\text{d}v$，整理后容易得到式（6），这就说明了多元微分也有形式不变性，它使得求偏导数更加方便。

　　现在来看看对于多元函数，是否有中值定理。设$f(x,y)$可微，取两点$M_0=(x_0,y_0),M_1=(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)$，考察直线$x=x_0+t\Delta x,y=y_0+t\Delta y$上的值$F(t)$（当然还要求直线都在定义域内）。利用拉格朗日中值定理可知$F(1)-F(0)=F^{\prime }(\theta )$，而由链锁法则可有式（9）成立。特别地，如果区域内$f_x^{\prime },f_y^{\prime }$恒为零，则$f(x,y)$为常数。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=f_x^{\prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\Delta y\end{array}$$

2.3 高阶微分

　　偏导数函数本身当然也可以存在偏导数，它们被称为二阶偏导数，它的记法如式（10）所示。要注意混合偏导数中变量的次序，不同的次序的偏导数不一定相等（$xy{\displaystyle \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}$）。为弄清原因，用极限式表示两种次序的混合偏导数（式（11），其中$w(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$），容易看出结果不同原因，本质上是累次极限的不同。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}\left({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\right)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}}=f_{xy}^{″};{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}\left({\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}}\right)={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}}=f_{xx}^{″}=f_{x^2}^{″}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& f_{xy}^{″}=\underset{k\to 0}{lim}\underset{h\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{w(h,k)}{hk}};f_{yx}^{″}=\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{w(h,k)}{hk}}\end{array}$$

　　为得到两者相等的充分条件，可以利用式（3）的结论。首先假定$f_{xy}^{″},f_{yx}^{″}$在$(x_0,y_0)$领域内存在，然后两次利用微分中值定理可得式（12）。按照式（3）的假设，还需要求$f_{xy}^{″}$在$(x_0,y_0)$处连续，这样${\displaystyle \frac{w(h,k)}{hk}}$就存在重极限。而单独$h\to 0$时显然也存在极限，从而得到累加极限（11）相等且等于重极限。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& w(h,k)=f_{xy}^{″}(x_0+{\theta }_{1}h,y_0+{\theta }_{2}k),(1<{\theta }_1,{\theta }_2<1)\end{array}$$

　　高阶偏导数可以同样定义，且易知当$f(x,y)$的$n$阶混合偏导数都连续时，变量的顺序就不影响结果，偏导数就可以写成${\displaystyle \frac{{\partial }^{n}f}{{\partial }^{i}x{\partial }^{n-i}y}}$。求高阶偏导数只是多次求一阶偏导数，故求解中可以继续使用链锁法则。更进一步地，如果$f(x,y)$的二阶偏导数存在且连续，则全微分（式（6））中的$f_x^{\prime },f_y^{\prime }$的偏导数连续，从而$\text{d}z$也是可微的。记二阶全微分${\text{d}}^{2}z=\text{d}(\text{d}z)$，容易推导出式（13）成立。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\text{d}}^{2}z={\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}}\text{d}{x}^2+2{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}}\text{d}x\text{d}y+{\displaystyle \frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}}\text{d}{y}^2\end{array}$$

　　推导过程中容易发现，如果忽略符号$z$，符号$X=\text{d}x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}$和$Y=\text{d}y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}$可以看作是两个整体，求全微分的过程就像是多项式乘上$(X+Y)$。这个过程对任何高阶全微分都成立，为了书写方便，可以将${\text{d}}^{n}z$形式地写成式（14）。该式仅是形式上的简化，并不能简化实际计算过程。还要注意，高阶全微分的形式对中间变量的形式不变性不再成立。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\text{d}}^{n}z=(\text{d}x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\text{d}y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{)}^{n}z\end{array}$$

　　当$f(x,y)\in C^{n+1}$时（有直到$n+1$阶的连续偏导数），设$F(t)=f(x_0+t\Delta x,y_0+t\Delta y)$，对$F(t)$使用带拉格朗日余项的泰勒公式，可得多元函数的泰勒公式（15）。当$f(x,y)\in C^n$时，还可以利用式（15）得到皮亚诺余项$o({\rho }^n)$。泰勒公式也能用来求多元函数的近似值。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& F(1)=\sum _{n=0}^n{\displaystyle \frac{1}{i!}}{\Delta }^{i}F(0)+{\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{\Delta }^{n+1}F(\theta ),{\Delta }^i=(\Delta x{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}+\Delta y{\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}{)}^i\end{array}$$

2.4 隐函数

　　前面我们已经看到过，有时变量的关系是以$F(x,y)=0$这样的等式呈现的，并且无法或很难写成显式的$y=f(x)$。考察$x^2-y^2=0$，它在除原点外的局部其实都有函数关系式$y=f(x)$，这样的函数我们称之为由$F(x,y)=0$定义的隐函数。既然无法显式地写出$f(x)$，它的连续和微分性质只能通过$F(x,y)$讨论，这里就来讨论一下这些问题。

　　首先要注意，隐函数是在局部讨论的（这样讨论的范围更广），所以设$F(x_0,y_0)=0$而讨论$(x_0,y_0)$的邻域。我们希望在$x_0$的某个邻域内的$x^{\prime }$，有唯一的$y^{\prime }$使得$F(x^{\prime },y^{\prime })=0$。（以下讨论以函数图形为参考更好理解）最容易想到的是连续函数的零点定理，为此先假定$F(x,y)$在$(x_0,y_0)$的邻域内连续。然后要构造$f(x^{\prime },y_0\pm \Delta y)$是异号的，为此只要假定$f(x^{\prime },y)$在局部关于$y$单调，因为这样的话$f(x_0,y_0\pm \Delta y)$异号，在足够小的邻域内也会有$f(x^{\prime },y_0\pm \Delta y)$异号。

　　由$F(x_0,y)$的单调性和$F(x,y)$的连续性还容易证明（反证），$x^{\prime }\to x_0$时必定有$y^{\prime }\to y_0$。从而$f(x)$在$(x_0,y_0)$连续，同样可以证明在邻域内都是连续的。总结以上便有，如果$F(x,y)$满足$F(x_0,y_0)=0$，且在$(x_0,y_0)$的邻域里连续，还有关于$y$单调，那么在这个邻域内存在连续的隐函数$y=f(x)$。其中关于$y$单调的条件可以加强为：$F_y^{\prime }$在$(x_0,y_0)$的邻域里存在且有单一符号，或者更强的条件是：$F_y^{\prime }$在$(x_0,y_0)$处连续且非零。

　　如果还要使$f(x)$在点$(x_0,y_0)$处可微，其实就是讨论$\Delta x,\Delta y$的关系，容易想到式（9）的中值定理。为此先要假设$F_x^{\prime },F_y^{\prime }$在邻域内连续（从而可微），利用中值定理可得式（16），表示成${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}$后利用$F_x^{\prime },F_y^{\prime }$的连续性可得式（17）。总结就是说，如果在$(x_0,y_0)$的一个邻域内$F,F_x^{\prime },F_y^{\prime }$都连续，且$F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则在这个邻域内有可微隐函数，且导数为式（17），导数也是连续的。以上两个结论对多元函数$F(x_1,\cdots ,x_n,y)$同样成立，证明也类似，请自行描述且论证。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& 0=F(x^{\prime },y^{\prime })-F(x_0,y_0)=F_x^{\prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\Delta x+F_y^{\prime }(x_0+\theta \Delta x,y_0+\theta \Delta y)\Delta y\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& y_x^{\prime }=-{\displaystyle \frac{F_x^{\prime }(x,y)}{F_y^{\prime }(x,y)}}\end{array}$$

3. 向量值函数

　　当多个函数$f_1,\cdots ,f_m$依赖于同一组自变量$x_1,\cdots ,x_n$时，可以将$(f_1,\cdots ,f_m)$做为一个向量看待，函数$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})$被称为向量值函数。这种函数其实可以拆成独立的多元函数分别研究，所以我们仅专注一些有漂亮形式特点的结论。诸如极限、连续的概念都比较简单，其实向量值函数连续等价于每个多元函数分别连续，这里不作赘述。

　　类似地，当每个多元函数可微时，也称向量值函数可微。如果用$\text{d}\overrightarrow{f},\text{d}\overrightarrow{x}$表示微分，而偏微分组成的矩阵（18）称为雅克比矩阵，则可微函数有式（19）成立，这里的雅克比矩阵起到了类似导数的作用。如果有$\overrightarrow{z}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{y}),\overrightarrow{y}=\overrightarrow{g}(\overrightarrow{x})$，且$\overrightarrow{f},\overrightarrow{g}$的偏导数连续，同样有式（20）左的链锁法则成立，且易知一阶微分的形式不变性也成立（式（20）右）。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& J[\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})]=\left[\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_1}}& \cdots & {\displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x_n}}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\displaystyle \frac{\partial f_m}{\partial x_1}}& \cdots & {\displaystyle \frac{\partial f_m}{\partial x_n}}\end{array}\right];|J_n|={\displaystyle \frac{\partial (f_1,\cdots ,f_n)}{\partial (x_1,\cdots ,x_n)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \text{d}\overrightarrow{f}=J[\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})]\text{d}\overrightarrow{x}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& J[\overrightarrow{f}\circ \overrightarrow{g}]=J[\overrightarrow{f}]\cdot J[\overrightarrow{g}];\text{d}\overrightarrow{z}=J[\overrightarrow{f}\circ \overrightarrow{g}]\text{d}\overrightarrow{x}=J[\overrightarrow{f}]\text{d}\overrightarrow{y}\end{array}$$

　　上面的隐函数的结论在向量值函数中仍然成立，比如向量值函数$\overrightarrow{F}(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$的定义域为$n+m$维，值域为$m$维，设$\overrightarrow{F}$及其一阶偏导数都连续，另外$\overrightarrow{F}$在$({\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0)$处值为$0$且对于$\overrightarrow{y}$的雅克比行列式$|J_m|={\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial \overrightarrow{y}}}$非零，那么方程组$\overrightarrow{F}\equiv 0$在$({\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0)$附近确定唯一的隐函数$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{f}(\overrightarrow{x})$。可以由$|J_m|\ne 0$非零先找到某个${\displaystyle \frac{\partial F_i}{\partial y_m}}\ne 0$，并由条件确定唯一隐函数$y_m=\phi (x_1,\cdots ,y_{m-1})$，带入其它$m-1$个方程便将问题降到$m-1$维。用连锁法则对$J_m$变形即能证明新的雅克比行列式也非零，故用归纳法能得到唯一的隐函数，且在局部连续。

　　类似式（16）的讨论，可以在每个$F_i=0$上对$x_j$求导，得到$mn$个方程组（21）。由于$|J_m|\ne 0$，由克莱姆法则可解得隐函数的所有偏导数（式（22））。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& {\displaystyle \frac{\partial F_i}{\partial x_j}}+{\displaystyle \frac{\partial F_i}{\partial y_1}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial y_1}{\partial x_j}}+\cdots +{\displaystyle \frac{\partial F_i}{\partial y_m}}\cdot {\displaystyle \frac{\partial y_m}{\partial x_j}}=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\displaystyle \frac{\partial y_j}{\partial x_i}}=-{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial {\overrightarrow{y}}_{ij}}}/{\displaystyle \frac{\partial \overrightarrow{F}}{\partial \overrightarrow{y}}},{\overrightarrow{y}}_{ij}=(\cdots ,y_{j-1},x_i,y_{j+1},\cdots )\end{array}$$