【微积分】 04 - 一元积分

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-023.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-02

4.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-02

5.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-036.【微积分】 06 - 重积分2016-03-037.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 不定积分

1.1 原函数和不定积分

　　前面的微分学讨论了导数对函数局部值的影响，现在开始就来看看整体的导函数能确定怎样的函数？换句话说，已知导函数的情况下，能否确定函数本身。对于不是处处有定义的导函数，为了简单起见，可以把它拆分成多个区间讨论。为此，对于区间$I$上处处有定义的导函数$f(x)$，如果存在函数满足$F^{\prime }(x)=f(x)$，那么$F(x)$称为$f(x)$的原函数。

　　前面我们已经知道，区间上导函数相同的函数之间只相差一个常数，从而如果原函数$F(x)$存在，任意原函数可表示为$F(x)+C$。全体原函数也称为$f(x)$的不定积分，记作$\int f(x)\text{d}x$，可以写成式（1）。积分符号表示了导数的累积，它的意义将在定积分中看得很清楚。求原函数的过程称为积分，它与微分（求导）是逆运算，根据导数公式可以得到相应的积分公式。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \int f(x)\text{d}x=F(x)+C,(C\in \mathbb{R})\end{array}$$

$f(x)$	$\int f(x)\text{d}x$
$0$，  $1$	$C$，  $x+C$
$x^{\mu }(\mu \ne -1)$，  ${\displaystyle \frac{1}{x}}$	${\displaystyle \frac{1}{\mu +1}}{x}^{\mu +1}$，$\ln |x|+C$
${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$，  ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$	$\arctan x+C=-\text{arccot}x+C$， $\arcsin x+C=-\arccos x+C$
$a^x$，  $e^x$	${\displaystyle \frac{1}{\ln a}}{a}^x$，  $e^x+C$
$\sin x$，  $\cos x$	$-\cos x+C$，  $\sin x+C$
${\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}$，  ${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$	$-\cot x+C$，  $\tan x+C$
$\sinh x$，  $\cosh x$	$\cosh x+C$，  $\sinh x+C$
${\displaystyle \frac{1}{{\sinh }^{2}x}}$，  ${\displaystyle \frac{1}{{\cosh }^{2}x}}$	$-\coth x+C$，  $\tanh x+C$

1.2 积分的方法

　　针对组合函数的求导，前面给出了一些公式，这里相应地给出积分的方法。首先，对于常量乘和加减法，容易有（2）式成立，将函数进行拆解积分是最常用的方法。利用导数的乘法公式，容易有式（3）成立，这个方法也叫分部积分法。分部积分法中，往往函数分为两部分，其中一部分容易求积，而另一部分的导数比较简单，这样整个式子就可以化简。另外，分部积分有时还能推导出积分方程或递推函数，这些结论都能间接地求得积分。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \int [af(x)+bg(x)]\text{d}x=a\int f(x)\text{d}x+b\int g(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \int u(x)\text{d}v(x)=u(x)v(x)-\int v(x)\text{d}u(x)\end{array}$$

　　• 求积分：$\int \ln x\text{d}x$、$\int x\sin x\text{d}x$；

　　• 求积分：$\int e^x\sin x\text{d}x$、$\int {\displaystyle \frac{1}{(x^2+1{)}^n}}\text{d}x$。

　　根据复合函数的求导公式，如果$f(x)$在$I$上有原函数，可以有式（3）成立，它被称为换元积分法。之前定义中，积分符号$\int \text{d}x$是一个整体，式（4）则说明$\text{d}x$也可以作为微分符号自由使用。换元法看似简单，但使用中却经常需要很强的技巧和丰富的经验，大量的习题锻炼是必不可少的。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \int f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\text{d}t=\int f(x)\text{d}x,(x=\phi (x))\end{array}$$

　　但要注意，公式（4）的使用可以是两个方向的，从左向右的拼凑称为第一换元法，反过来叫第二换元法。第一换元法中比较常见的就是$x=at+b$的情况（式（5）），有些简单的积分甚至应该作为结论记住。第二换元法常见于函数可以通过参数化$x=\phi (t)$来简化，且$f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)$有比较简单的形式，熟悉三角函数公式将非常有利。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \int f(at+b)\text{d}t={\displaystyle \frac{1}{a}}\int f(x)\text{d}x\end{array}$$

　　• 求积分：$\int {\displaystyle \frac{1}{a^2+t^2}}\text{d}t$、$\int {\displaystyle \frac{1}{a^2-t^2}}\text{d}t$、$\int \tan t\text{d}t$、$\int {\displaystyle \frac{1}{\sin t}}\text{d}t$；

　　• 求积分：$\int \sqrt{a^2-x^2}\text{d}x$、$\int {\displaystyle \frac{1}{(x^2+a^2{)}^2}}\text{d}x$、$\int {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+\alpha }}}\text{d}x$。

1.3 特殊类型的积分

1.3.1 有理分式

　　对于某些形式的函数，已经有了统一的求积方案，这里举一些例子。由多项式$P(x),Q(x)$组成的方式${\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}$称为有理分式，我们当然只需要解决$P(x)$的次数小于$Q(x)$的情况（称为真分式）。由之前的代数知识可知，在实数域中多项式总可以分解为一次项和二次项之积，从而真分式总可以分解为式（6）中的两种简单分式，他们也被称为最简分式或部分分式。分解的时候可以用待定系数法解方程组，确定系数的过程中先用$x=a$带入可以加速计算过程。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\displaystyle \frac{A}{(x-a{)}^k}};{\displaystyle \frac{Ax+B}{(x^2+px+q{)}^k}},(p^2-4q<0)\end{array}$$

　　式（6）中${\displaystyle \frac{A}{(x-a{)}^k}}$很容易求积分，${\displaystyle \frac{Ax}{(x^2+px+q{)}^k}}$使用$x=t-{\displaystyle \frac{p}{2}}$换元也很容易解决。如果你做了前面的习题，可以得到${\displaystyle \frac{B}{(x^2+px+q{)}^k}}$的递推公式，所以任何有理分式都可以按步骤积分。

　　仔细研究积分的具体过程，其实还能发现积分式总可以分解为有理分式部分和其它部分（式（7）），其中$Q(x)=\prod (x-a_i{)}^{m_i}\prod (x^2+p_{j}x+q_j{)}^{n_j}$，$Q_2(x)=\prod (x-a_i)\prod (x^2+p_{j}x+q_j)$且$Q_1(x)={\displaystyle \frac{Q(x)}{Q_2(x)}}$。基于这个结论，也可以用待定系数法加速求解。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \int {\displaystyle \frac{P(x)}{Q(x)}}\text{d}x={\displaystyle \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}}+\int {\displaystyle \frac{P_2(x)}{Q_2(x)}}\text{d}x\end{array}$$

1.3.2 三角有理分式

　　还有一种常见的函数，它是由三角函数组成的有理分式，由于每个三角函数都可以表示为$\sin x,\cos x$的有理分式，故这些函数都是$\sin x,\cos x$的有理分式$R(\sin x,\cos x)$。设$t=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$，由万能公式可知式（8）成立，从而使用换元法可将原积分转化为一般的有理分式。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}};\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}};\text{d}x={\displaystyle \frac{2\text{d}t}{1+t^2}}\end{array}$$

　　但对于一些特殊情况，还是可以通过其它换元法简化积分的。比如如果$R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$，则${\displaystyle \frac{R(\sin x,\cos x)}{\sin x}}$必定具有形式$R^{\prime }({\cos }^{2}x,\sin x)$。也就是说$R(\sin x,\cos x)=R^{″}(\cos x\sin x)$，使用$t=\cos x$换元即把问题转化成$-R^{″}(t)$的积分。同样的方法可以应用于$R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$的场景。

　　如果$R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$，易知$R(\sin x,\cos x)=R^{\prime }({\sin }^{2}x,{\cos }^{2}x)$，这两个都能转化为$\tan x$的有理分式。令$t=\tan x$则有$\text{d}x={\displaystyle \frac{\text{d}t}{1+t^2}}$，所以原积分可以转化为$R^{″}(t)$的积分。

　　• 求积分：$\int {\sin }^{4}x{\cos }^{5}x\text{d}x$，$\int {\displaystyle \frac{{\sin }^{4}x}{{\cos }^{2}x}}\text{d}x$。

1.3.3 一些根式函数

　　对于一些带根式的函数，通过适当的换元法，也可以达到消除根式的目的。比如对于式（9），设$r,\cdots ,s$分母的最小公倍数为$n$，则只需做换元$t=\sqrt[n]{{\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}}$即可转化为$t$的有理分式。$x^r(a{x}^s+b{)}^p$通常被称为二项式微分，其中$r,s,p$为有理数且$a,b\ne 0$，使用$t=x^s$换元可得是（10）。易证如果$p,q,p+q$中有一个为整数，式（10）都可以转化为式（9）的类型。切比雪夫还证明了，除了这三种情况外，积分都不能用初等函数表示。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& R[x,({\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}{)}^r,\cdots ,({\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}{)}^s],(r,s\in \mathbb{Q})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \int x^r(a{x}^s+b{)}^p\text{d}x={\displaystyle \frac{1}{s}}\int t^q(at+b{)}^p\text{d}x,(p={\displaystyle \frac{r+1}{s}}-1)\end{array}$$

　　还有一类根式函数是$R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})$，对它的处理关键在于寻找参数$t$使得$x,\sqrt{a{x}^2+bx+c}$都是$t$的有理分式。当$a>0$时令$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t-\sqrt{a}x$，当$c>0$时令$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=tx+\sqrt{c}$，当$a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$时令$\sqrt{a{x}^2+bx+c}=t(x-x_i)$。显然，这三种代换都能达到目的，它们被称为欧拉代换。

2. 定积分

2.1 定积分的定义

　　导数是函数在局部的趋势，我们想知道，一个导函数能否确定函数的整个走势？存在不定积分的导函数当然满足条件，但还是没有回答，导函数究竟要满足怎样的条件。设导函数$f(x)$定义在$[a,b]$上，且原函数$F(x)$有个起始值$F(a)$，为了逼近函数的走向，可以将$[a,b]$分割为$n$小块，分割点为$a=x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1},x_n=b$，并记$\Delta x_i=(x_{i+1}-x_i)$。如果分的块足够小，感觉可以用$F(a)+\sum _{i=0}^{n-1}f(x_i)\Delta x_i$来近似$F(b)$。

　　你可能注意到，上式中的累加部分也可以做为函数$f(x)$在$[a,b]$间的近似面积，对它的研究比较重要。其实历史上定积分的概念，就是从计算图形面积中引出的，它比微分的概念还要早。所以我们完全有必要将它作为独立的问题来研究，之后再回头看它跟导数的关系。再将问题重新描述一下，对$[a,b]$上的任意函数$f(x)$，作任意分割$\pi$，任取${\xi }_i\in [x_i,x_{i+1}]$并记$\lambda =max(x_{i+1}-x_i)$，考察式（11）的和数。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \sigma =\sum _{i=0}^{n-1}f({\xi }_i)\Delta x_i\end{array}$$

　　如果以式（11）作为区间面积或$F(b)-F(a)$的近似值，必须要求无论$\pi$和$\xi$如何选取，在$\lambda \to 0$时$\sigma$趋于固定值$I$。用$\epsilon$-$\delta$语言描述就是，对任意$\epsilon >0$都存在$\delta >0$，使得$\lambda <\delta$时总有$|\sigma -I|<\epsilon$。这时也说$I$是$\sigma$的极限（与之前的极限不同），并称$f(x)$在$[a,b]$上可积，$I$为其定积分，记作式（12）。另外，$\sigma$被称为积分和，$a,b$称为积分的下限和上限。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \underset{\lambda \to 0}{lim}\sigma =I\iff {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=I\end{array}$$

　　定积分可以作为面积的一种定义，但它的合理性还需要检验（兼容规则图形面积的定义），而且它的值是否等于$F(b)-F(a)$还未确定。这种积分比较复合直观感觉，它由黎曼提出，因此也叫黎曼积分，相应地有黎曼可积、黎曼和等概念，与这里的定义等价。并不是所有函数都是可积的，比如狄利克雷函数（有理数为$1$其它为$0$），再比如没有上界或下界的函数，从而可积函数必有限。

2.2 定积分的性质

　　为讨论可积的条件，这里先介绍另一个更常用的工具。记$m_i,M_i$为$f(x)$在$[x_i,x_{i+1}]$上的上下、上确界，并称式（13）为达布下和与达布上和，显然有$s⩽\sigma ⩽S$。如果$s,S$来自不同的分割，合并这些分割，容易看出总有$s⩽S$。这就说明对任何分割$s,S$分别有上界和下界，如果它们的确界相等即$S-s\to 0$，则$f(x)$可积。反之显然成立，从而$f(x)$可积的充要条件是$S-s\to 0$。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& s=\sum _{i=0}^{n-1}f(m_i)\Delta x_i;S=\sum _{i=0}^{n-1}f(M_i)\Delta x_i\end{array}$$

　　根据以上结论，可以比较容易地得出一些可积函数。如果$f(x)$连续，则在$[a,b]$一致连续，容易证明它满足式（12），从而可积。进而可知，存在有限个间断点的有界函数也是可积的。同样利用式（12），可证单调有界函数可积。在已知可积的情况下，可以选择方便计算的分割方法。

　　如果定义${\int }_b^{a}f(x)\text{d}x=-{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$，则不论$a,b,c$的大小如何，容易证明式（14）成立。当$f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积时，利用式（13）可证式（15）可积且公式成立，还容易证式（16）成立。如果$f(x)$可积，利用式（12）可以证明$|f(x)|$也可积，且根据式（16）可有式（17）成立。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& {\int }_a^{c}f(x)\text{d}x={\int }_a^{b}f(x)\text{d}x+{\int }_b^{c}f(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\int }_a^b[cf(x)+dg(x)]\text{d}x=c{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x+d{\int }_a^{b}g(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(16)}& f(x)⩾g(x)\Rightarrow {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x⩾{\int }_a^{b}g(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(17)}& {\int }_a^b|f(x)|\text{d}x⩾\left|{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x\right|\end{array}$$

　　设$f(x),g(x)$在$[a,b]$上可积，$m⩽f(x)⩽M$，如果$g(x)$不变号，则$f(x)g(x)$在$mg(x),Mg(x)$之间。也就是说${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x$在$m{\int }_a^{b}g(x)\text{d}x$和$M{\int }_a^{b}g(x)\text{d}x$之间，从而存在$m⩽\mu ⩽M$使得式（18）左成立，取$g(x)=1$还有（18）右式成立。当$f(x)$连续时，由中值定理对应还有式（19）成立，这个结论被称为积分第一中值定理。

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=\mu {\int }_a^{b}g(x)\text{d}x;{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=\mu (b-a)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(19)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\text{d}x;{\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=f(\xi )(b-a)\end{array}$$

2.3 定积分的计算

2.3.1 基本方法

　　现在就来回答前面的问题：定积分能否作为面积的定义？它是否等于$F(b)-F(a)$？这两个问题都指向了定积分的值。设$\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)\text{d}t$，现在来研究值函数$\mathrm{\Phi }(x)$的性质。首先对于任意$x_0\in [a,b]$领域，有式（20）成立。所以当$x\to x_0$时，由$f(x)$有界可知$\mathrm{\Phi }(x)\to \mathrm{\Phi }(x_0)$，也就是说$\mathrm{\Phi }(x)$是连续函数。如果$f(x)$在$x_0$还是连续的，则还有${\displaystyle \frac{\mathrm{\Phi }(x)-\mathrm{\Phi }(x_0)}{x-x_0}}\to f(x_0)$，所以$\mathrm{\Phi }(x)$在$x_0$可导且${\mathrm{\Phi }}^{\prime }(x_0)=f(x_0)$。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& \mathrm{\Phi }(x)-\mathrm{\Phi }(x_0)={\int }_{x_0}^{x}f(t)\text{d}t=f(\xi )(x-x_0)\end{array}$$

　　如果$f(x)$是连续函数，上面的结论就是说${\int }_a^{x}f(t)\text{d}t$是可微函数，且有式（21）成立。所以连续函数都存在原函数$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\text{d}t+C$，并且有式（22）成立（最后是简写），这就回答了上面的问题。式（22）也叫牛顿-莱布尼兹公式，它把微分和积分完美地结合在了一起，由此也被称之为微积分基本公式。但要注意，该结论对$f(x)$不连续的场景不一定适用，以下默认$f(x)$连续。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& {\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}}{\int }_a^{x}f(t)\text{d}x=f(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(22)}& {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b\end{array}$$

　　有了以上结论，就可以用换元法和分部积分法来求定积分。如果$\phi (t)$有连续导数（为保证积分存在），且$\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b$，则有式（23）成立。这个式子同样可以从两个方向使用，有时候它还可以起到变形化简的作用，尤其是在有三角函数的表达式中。

$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)\text{d}t\end{array}$$

　　• 求定积分：${\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{x\sin x}{1+{\cos }^{2}x}}\text{d}x$；（提示：拆分为两段，并对其中一个变形）

　　• 设$f(x)$的周期为$T$，求证：${\int }_a^{a+T}f(x)\text{d}x={\int }_0^{T}f(x)\text{d}x$。

2.3.2 分部积分

　　同样可以使用分部积分法，设$u(x),v(x)$有连续导数，则有式（23）成立。该式除了可以化简积分，有时还可以推导出方程式或递推式，间接地可以求得定积分。比如使用递推式可以求得式（24）定积分，用这个式子还能得出$\pi$的估算式。

$$\begin{array}{}\text{(23)}& {\int }_a^{b}u(x)\text{d}v(x)=[u(x)v(x)]{|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(24)}& I_m={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x\text{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{m}x\text{d}x=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}},& (m=2n)\\ \\ {\displaystyle \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}},& (m=2n+1)\end{array}\end{array}$$

　　分部积分还能帮我们得到乘法积分${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x$的另一种估算，问了能分部积分，先设$g(x)$连续、$f(x)$的导数连续，并令$G(x)={\int }_a^{x}g(x)\text{d}x$。使用分部积分有式（25）成立，如果再令$f(x)$非负且$f^{\prime }(x)⩽0$，并记$G(x)$的最大（小）值为$M$（$m$），可以推导出${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x\in [mf(a),Mf(a)]$。再由$G(x)$的连续性可知存在$\xi \in [a,b]$，使得式（26）左成立。如果$f^{\prime }(x)⩾0$，令$G(x)={\int }_x^{b}g(x)\text{d}x$，同样可证式（26）右成立。如果不限定$f(x)$的符号，可用$f(x)-f(b)⩾0$代替$f(x)$（比如$f^{\prime }(x)⩽0$），带入上面的结论整理可得式（27），式（26）（27）被称为积分第二中值定理。

$$\begin{array}{}\text{(25)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(b)G(b)-{\int }_a^{b}G(x)f^{\prime }(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(26)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(a){\int }_a^{\xi }g(x)\text{d}x;{\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(b){\int }_{\xi }^{b}g(x)\text{d}x\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(27)}& {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(a){\int }_a^{\xi }g(x)\text{d}x+f(b){\int }_{\xi }^{b}g(x)\text{d}x\end{array}$$

　　最后我们用定积分来表示泰勒公式的余项，设$f(x)$在$x_0$领域内有直到$n+1$阶的连续导数，则有$r(x_0)=r^{\prime }(x_0)=\cdots =r^{(n)}(x_0)=0$和$r^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)$。连续进行式（28）的推断，可以得到$r(x)$的精确表达式（29），它不再有不确定的成分。

$$\begin{array}{}\text{(28)}& r(x)={\int }_{x_0}^x{r}^{\prime }(t)\text{d}t={\int }_{x_0}^x{r}^{\prime }(t)\text{d}(t-x)=r^{\prime }(t)(t-x){|}_{x_0}^x-{\int }_{x_0}^x{r}^{″}(x)(t-x)\text{d}t={\int }_{x_0}^x{r}^{″}(t)(x-t)\text{d}t\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(29)}& r(x)={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\int }_{x_0}^x{f}^{(n+1)}(t)(x-t{)}^n\text{d}t\end{array}$$