【微积分】 03 - 一元微分

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-012.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-02

3.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-02

4.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-025.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-036.【微积分】 06 - 重积分2016-03-037.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 微分的概念

1.1 一阶微分

　　导数表现出两个小变量$\Delta y,\Delta x$之间近似的线性关系（式（1）），这个关系启发了我们，可以为“无穷小量”建立一个度量模型。但这里说的“无穷小量”并不是一个孤立的量，它具有一种“动态”，且和自变的“无穷小量”有线性关系。无穷小量的“动态”衍生于函数，所以对它的讨论离不开具体的函数。对于每个函数$y=f(x)$，如果在某一点$x_0$满足式（1），我们称$f(x)$在$x_0$可微。变量$x,y$在$x_0$处表示变化的“无穷小量”被称为$x,y$的微分，记作$\text{d}x,\text{d}y$，且有$\text{d}y=A\text{d}x$。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)\end{array}$$

　　关于微分的概念，上面的描述倾向于把它当“无穷小”的一种模型，但我们后面需要把它当一般的非零数量，进行四则运算甚至微分运算。因此需要先对微分的这些运算建立严格的理论。这个工作在上世纪有人做过，这里就不展开了。为了让下面的推导有个严谨的解释，我想还是采用教材上的提法，定义$\text{d}x=\Delta x$，它是自变的非零小量。而其它微分则是式（1）的$A\Delta x$部分，讨论中要特别注意分母上的微分不能为$0$。

　　由定义可知，一元函数可微的充要条件是可导，它们是等价的。为此导（函）数有时也写作${\displaystyle \frac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}}$或${\displaystyle \frac{\text{d}f}{\text{d}x}}(x)$（后者更主张形式定义，而不是除法），并可称为微商。根据导数的四则运算，容易推得微分的四则运算（式（2））。再由复合函数的导数公式可得到式（3），由此看出，微分的线性关系不仅仅存在于自变量和因变量之间，还存在于任何两个有可导函数关系的因变量之间。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \text{d}(u\pm v)=\text{d}u\pm \text{d}v;\text{d}(uv)=v\text{d}u+u\text{d}v;\text{d}({\displaystyle \frac{u}{v}})={\displaystyle \frac{v\text{d}u-u\text{d}v}{v^2}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \text{d}y=[f(u){]}^{\prime }dx=f^{\prime }(u)u^{\prime }\text{d}x=f^{\prime }(u)\text{d}u\end{array}$$

1.2 高阶微分

　　上面看到，微分$\text{d}y$其实也是关于$x$的函数，所以可以继续对其求微分。这样的微分$\text{d}(\text{d}y)$叫$y$的二阶微分，简记为${\text{d}}^{2}y$。由乘法的微分公式可知，${\text{d}}^{2}y=\text{d}{f}^{\prime }(x)\text{d}x+f^{\prime }(x)\text{d}(\text{d}x)$。由于$\text{d}x$是独立的自变量，所以$\text{d}(\text{d}x)=0$，再把$(\text{d}x{)}^2$简记为$\text{d}{x}^2$，故有${\text{d}}^{2}y=f^{″}(x)\text{d}{x}^2$。

　　同样可以定义$n$阶微分${\text{d}}^{n}y$，并且有式（4）成立，所以高阶导数也可以定义为${\displaystyle \frac{{\text{d}}^{n}y}{\text{d}{x}^n}}$。类似于乘法的高阶导数，乘法的高阶微分同样有莱布尼兹定理（式（5））。但要注意，在高阶微分中，类似式（3）的形式不变性不一定还成立，你可以随便找个函数验证这个结论。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\text{d}}^{n}y=f^{(n)}(x)\text{d}{x}^n\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\text{d}}^n(uv)=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{\text{d}}^{n-i}u{\text{d}}^{i}v\end{array}$$

　　将导数表示成微商的形式，可以为无穷小建立度量模型，从而方便了很多问题的讨论。比如有一类函数关系，$x,y$都是参数（自变量）$t$的因变量（式（6）左称为参变量方程）。如果想得到$x,y$之间函数的导数，用微分表达式就很方便。当$x^{\prime }(t)\ne 0$时，可有$y_x^{\prime }={\displaystyle \frac{\text{d}y}{\text{d}x}}={\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)\text{d}t}{x^{\prime }(t)\text{d}t}}={\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}}$，同样可求得$x_y^{\prime }$（式（6））。利用$y_x^{″}={\displaystyle \frac{\text{d}(\frac{\text{d}y}{\text{d}x})}{\text{d}x}}$继续变形，可求得二阶导数（式（7）），更高阶导数的求法类似。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \{\begin{array}{c}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\Rightarrow y_x^{\prime }={\displaystyle \frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}};x_y^{\prime }={\displaystyle \frac{x^{\prime }(t)}{y^{\prime }(t)}}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& y_x^{″}={\displaystyle \frac{y^{″}(t)x^{\prime }(t)-y^{\prime }(t)x^{″}(t)}{[x^{\prime }(t){]}^3}}\end{array}$$

2. 微分中值定理

　　我们在连续函数的基础上，又添加了可导（可微）的概念，每增加一种限制，函数就体现出更特殊的性质，现在就来看看可导函数有哪些性质。连续函数的特点表现为局部的连续性（废话），而可导函数则体现了函数在局部的平滑性（值以近似线性的趋势变化）。

　　先看一个平滑性的例子，如果可导函数$f(x)$在$x_0$处极大（小）值，则在$x_0$处的单边导数一定分别$⩾0$和$⩽0$。由于函数可导，故左右导数必定都为$0$，也就是说$f^{\prime }(x_0)=0$。函数在极点处是平滑过渡的，而不是尖角，这个结论叫费马（Fermat）定理。

　　说到函数的极值，我们知道$[a,b]$上的连续函数必有最大和最小值，所以如果$f(x)$在$[a,b]$上的可导，它必有最大值$M$和最小值$m$。为了让它们不都落在端点处，再假设$f(a)=f(b)$，如果$m=M$，则函数为常数，导数处处为$0$。如果$m\ne M$，则必有一个不落在端点，故必有一个内点的导数为零。结论总结为：如果$f(x)\in C_{[a,b]}$可导且$f(a)=f(b)$，则必存在$c\in (a,b)$使得$f^{\prime }(c)=0$。该结论被称为罗尔（Rolle）定理。

　　罗尔定理有着直观的几何解释，如果光滑线段两端在同一高度，则必有一处的切线是水平的。显然这一几何现象是可以推广的，第一种推广就是不限定端点，其中一个或两个端点可以伸到无穷远处，但两端的极限相等。证明方法类似，主要是确定存在极点，得到的结论也称为扩展的罗尔定理。罗尔定理虽然直观，但定理的使用却有着无穷的变换，很多看似无关的问题在通过巧妙的变换后，却仍然还是这个定理。

　　• $f(x)$可导且存在两个零点，求证：$f(x)+f^{\prime }(x)$在这两个零点之间有一个零点。（提示：考察$F(x)=e^{x}f(x)$）

　　罗尔定理的另一种扩展就是把水平线变成任意方向的斜线，即如果$f(x)\in C_{[a,b]}$可导，猜想存在$\xi \in (a,b)$使得式（9）成立。但这毕竟不是几何问题，不好说通过旋转坐标的方法证明结论，我们还是得借助罗尔定理来证明。思路其实很简单，只要利用$f(x)$构造一个满足$F(a)=F(b)=0$的函数$F(x)$，然后间接地得到结论。容易构造出式（8）的函数满足条件，利用罗尔定理并整理后便得到公式（9）。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& F(x)=f(x)-f(a)-{\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}(x-a)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(9)}& f^{\prime }(\xi )={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}\end{array}$$

　　该结论称为拉格朗日（Lagrange）定理，也叫微分学中值定理，它建立了导数和函数值之间的关系，是微分学的基本定理。如果函数是以参数方程的形式表示的，中值定理也有对应的结论。如果$f(x),g(x)\in C_{[a,b]}$可导，且$g^{\prime }(x)\ne 0$，通过类似的构造可知，存在$\xi \in (a,b)$使得式（10）成立。这个结论也叫柯西中值定理。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}={\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\end{array}$$

　　• $f(x)\in C_{[a,b]}$可导（$a>0$），则存在${\xi }_1,{\xi }_2\in (a,b)$，满足$f^{\prime }({\xi }_1)={\displaystyle \frac{f^{\prime }({\xi }_2)}{2{\xi }_2}}(a+b)$。（提示：$g(x)=x^2$）

　　柯西中值定理的形式提示我们，可以将不定式${\displaystyle \frac{0}{0}}$问题转化为导数的比。具体来说，如果$x\to 0$时$f(x)\to 0,g(x)\to 0$，$f(x),g(x)$可导且$g^{\prime }(x)\ne 0$，则由柯西中值定理知${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}}$。所以如果后者的极限$K$存在或为无穷，则前者具有相同的极限（式（11））。从证明过程可知，结论对于单边极限也是成立的，并且如果$f(x),g(x)$高阶可导且$g^{(n)}(x)\ne 0$，公式（11）可以连续使用。但要注意，如果后者的极限不存在，并不能说明前者的极限也不存在。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}=K\Rightarrow \underset{x\to a}{lim}{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}=K\end{array}$$

　　同样条件下，对${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$型不定式（$f(x)\to \mathrm{\infty },g(x)\to \mathrm{\infty }$）可以有样的结论，证明中要以${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}}$为中间式进行讨论。当$x\to \mathrm{\infty }$时做代换$x={\displaystyle \frac{1}{t}}$，以上两种不定式同样成立。这就是说结论在$a,K$为实数或无穷时都成立，它们一起被称为洛比达（L'Hospitale）法则。对于$0\cdot \mathrm{\infty },\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty },0^0,{\mathrm{\infty }}^0,1^{\mathrm{\infty }}$形式的不等式，其实都可以转化为以上两种情景，故也可以利用洛必达法则计算。

3. 泰勒公式

　　可导函数是平滑的，这一点使得函数值在领域内有了牵连，后面的积分学中我们将会看到，导数可以完全确定函数的走向。某一点如果有高阶导数，它们会影响低阶导数的走向，我们自然想问：某一点的高阶导数对周边值究竟有多大影响？设$f(x),g(x)$在$x_0$处的值和直到$n$阶导数都相等（注意，在$x_0$有$n$阶导数标志着在其邻域内有$1\sim n-1$阶导数），它们的差值$r(x)=f(x)-g(x)$在$x_0$处满足式（12）。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& r(x_0)=r^{\prime }(x_0)=r^{″}(x_0)=\cdots =r^{(n)}(x_0)=0\end{array}$$

　　首先由${\displaystyle \frac{r(x)}{x-x_0}}\to r^{\prime }(x_0)=0$，可知$r(x)=o(x-x_0)$。类似地有$r^{\prime }(x)=o(x-x_0)$，从而${\displaystyle \frac{r(x)}{x-x_0}}=r^{\prime }(\xi )=o(\xi -x_0)$，容易有$r(x)=o((x-x_0{)}^2)$。使用归纳法可以证明$r(x)=o((x-x_0{)}^n)$，这就表示一个点的导数和高阶导数对它周围的值有很好的限制作用，误差可以控制在任何精度之内。

　　有了以上结论，我们可以找一个简单函数来作为$f(x)$的逼近，而最简单的函数当然就是多项式。而且$n$阶多项式$P_n(x)$可以唯一表示成$\sum _{i=0}^n=a_i(x-x_0{)}^i$的形式，这个形式的每一项就是每一阶的无穷小量，用起来非常方便。如果$P_n(x)$在$x_0$处与$f(x)$的值和直到$n$阶导数都相等，首先容易证明$a_i={\displaystyle \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}}$，其次由刚才的结论得到$f(x)$的估算式（13）。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& f(x)=f(x_0)+{\displaystyle \frac{1}{1!}}{f}^{\prime }(x_0)(x-x_0)+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)\end{array}$$

　　以上公式被称为泰勒公式，差函数$r_n(x)=f(x)-P_n(x)$称为它的余项，而$o((x-x_0{)}^n)$称为皮亚诺余项。泰勒公式有着非常好的形式特点，回顾幂函数的导数公式，其实上面相邻两项之间有着很紧密的联系。为此重新记多项式为$P_n(x,x_0)$，设$\phi (z)=f(x)-P_n(x,z)$，其中$x$固定而$z$为变量。则可以有$\phi (x)=0,\phi (x_0)=r_n(x)$，并且容易算得到${\phi }^{\prime }(z)=-{\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}}(x-z{)}^n$。

　　对$\phi (z)$中值定理可有$r_n(x)=(x-x_0){\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-\xi {)}^n$，令$\theta ={\displaystyle \frac{\xi -x_0}{x-x_0}}$，可得到式（14），它被称为柯西余项。为了消除$(x-\xi {)}^n$以得到更好的形式，以上推导其实可以使用柯西中值定理，容易想到选第二个函数为$(x-z{)}^{n+1}$，就可以得到式（15），它被称为拉格朗日余项。要注意，柯西余项和拉个朗日余项的推导过程是要求$f(x)$在$x_0$邻域内有直到$n+1$阶导数的，而皮亚诺余项只要求$f(x)$在$x_0$邻域内有直到$n-1$阶导数且在$x_0$有$n$阶导数。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& r_n(x)={\displaystyle \frac{1}{n!}}{f}^{(n+1)}(x_0+\theta (x-x_0))(1-\theta {)}^n(x-x_0{)}^{n+1},(0<\theta <1)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(15)}& r_n(x)={\displaystyle \frac{1}{(n+1)!}}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1},(\xi \in (x_0,x))\end{array}$$

　　泰勒公式给出了函数估值的各阶无穷小，在求极限和很多问题中有非常广的应用。初等函数有着任意阶的导数，下表列出了它们的泰勒公式，以便查阅。 

$(1+x{)}^{\mu }$	$=1+\mu x+{\displaystyle \frac{\mu (\mu -1)}{2}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)}{n!}}{x}^n+o(x^n)$
${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$	$=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$
$e^x$	$=1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}x+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n!}}{x}^n+o(x^n)$
$\ln (1+x)$	$=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{n}}{x}^n+o(x^n)$
$\sin x$	$=x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5!}}{x}^5-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{(2n-1)!}}{x}^{2n-1}+o(x^{2n})$
$\cos x$	$=1-{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4!}}{x}^4-\cdots +(-1{)}^n{\displaystyle \frac{1}{(2n)!}}{x}^{2n}+o(x^{2n+1})$
$\arcsin x$	$=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots 2n}}{\displaystyle \frac{x^{2n+1}}{2n+1}}+o(x^{2n+2})$
$\arctan x$	$=x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{5}}{x}^5-\cdots +(-1{)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}{x}^{2n-1}+o(x^{2n})$