【微积分】 02 - 连续和导数

1. 连续函数

1.1 连续和间断

　　实数的完备性是分析学的基础，它自然也是微积分的出发点。极限是实数完备性的具体描述，我们的微积分之旅也从这里开始。在《实数系统》中，我们已经讨论了实数的完备性和极限的概念，这里把极限的概念引入到函数中。在集合论中，函数被看成是集合间的映射，当在集合中引入极限的概念后，我们自然要去讨论函数在满足一定极限条件下的性质。

　　既然讨论的基础是实数的完备性，当然要将函数\(f(x)\)的定义域和值域都限定为实数域或其子集。当\(x\to x_0\)时，我们希望所研究的函数满足\(f(x)\to f(x_0)\)（式（1）），并称\(f(x)\)在点\(x_0\)处连续。若记定义域为\(X\)，且\(f(x)\)在每一点都连续，也称为\(f(x)\)在\(X\)上连续，记作\(C_X\)。

\[\lim_{x\to x_0}{f(x)}\to f(x_0)\tag{1}\]

　　在分析连续性时，我们可以使用更容易操作的\(\varepsilon\)-\(\delta\)定义（式（2））：对任意的\(\varepsilon>0\)，都存在\(\delta>0\)，使得当\(|x-x_0|<\delta\)时有\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)。你甚至还可以将它定义为，对任何满足\(x_n\to x_0\)的数列\(\{x_n\}\)，都有\(f(x_n)\to f(x_0)\)。这三种定义是等价的，请自行论证，在不同场合下可选择使用。

\[\forall\varepsilon\,\exists\delta\;(|x-x_0|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon)\tag{2}\]

　　相对地，函数在不连续的点称为间断的，其实有些间断点也有很强的“连续性”，这里将它们单独定义。具有“连续性”的间断点有时也有连续点的很多性质，在具体情况下请留意相应性质的扩展。一种常见的情况是如式（3）的单方连续，它们分别称为左（右）连续，显然连续的充要条件是：既是左连续，又是右连续。对于任何间断点，我们都应该分别讨论它的左右连续（间断）性。

\[\lim_{x\to x_0^-}{f(x)}\to f(x_0);\quad\lim_{x\to x_0^+}{f(x)}\to f(x_0)\tag{3}\]

　　对于间断点，根据情况还可以进一步分类。若\(f(x)\)在\(x_0\)处有极限，但极限值不是\(f(x_0)\)（甚至\(f(x_0)\)没有定义），修正（补充）\(f(x_0)\)为极限值后，\(f(x)\)在\(x_0\)处连续，这样的间断点称为可去间断点。当\(f(x)\)在\(x_0\)处左右极限都存在时（不一定相等），\(x_0\)称为第一类间断点。反之当左极限或右极限不存在、或极限为无穷，\(x_0\)称为第二类间断点。

　　• 判定\(\dfrac{\sin{x}}{x}\)、\([x]\)、\(\sin{\dfrac{1}{x}}\)在\(x=0\)处的间断类型。

1.2 连续的判定

　　连续的概念表示了函数在点的邻域内的性质，在集合上邻域的概念可以进行扩展。如果对任意点\(x\in X\)，都有\(X\)包含\(x\)的某个邻域，这样的点集\(X\)称为开集。邻域本身就是开集，而开集可以看做邻域在集合上的扩展（邻域针对一个点，而开集针对一个集合），开集在\(\Bbb{R}\)上补集叫闭集。容易验证，有限个开集（闭集）的交集（并集）还是开集（闭集），任意个开集（闭集）的并集（交集）还是开集（闭集），请自行验证。关于开集、闭集的进一步结论将在《测度论》中讨论，这里可以暂且认为是一些开区间、闭区间。

　　当\(f(x)\in C_X\)时，连续的定义是说：对任何\(f(x_0)\)的邻域\(U\)，都存在\(x_0\)的邻域\(V\)，使得\(f(V)\subset U\)。把这个性质扩展到开集\(G\)中，若有\(f(x_0)=y_0\in G\)，则易知\(x_0\)的某个领域\(V\subset f^{-1}(G)\)，所以\(f^{-1}(G)\)也是开集。反之若\(f(x)\)在任何开集\(G\)的原象也是开集，利用定义可证\(f(x)\)连续，这就有了\(f(x)\)在\(X\)上连续的充要条件：对任何开集\(G\)，\(f^{-1}(G)\)也是开集。

　　以上结论在研究中很有用，但在具体的问题中，我们还需要一些简单的判定方法。例如对称函数，只需要证明其对称轴一侧的连续性即可。对于单调连续函数\(f(x)\)，直觉上它的反函数\(f^{-1}(x)\)也是连续的，但还需要严格论证，比如可以使用上面的开集理论证明。有了这个结论，幂函数、对数函数、反三角函数的连续性就得到了证明，至此，初等函数的连续性就确定了。我们还很容易验证函数的四则运算以及复合函数（在有意义的点上）的连续性，这样普通表达式函数的连续性也能确定了（特殊点上需要讨论间断类型）。

　　另一方面，初等函数及其组合函数的连续性也为求极限提供了直接的方法。基本方法是，通过适当的变形，将函数变形为组合函数，并且每个部分都是容易求极限。比如式（4）的推导中，等号（*）成立的依据就是\(\ln{x}\)的连续性。更多地，你还可以利用\(g(x)^{f(x)}\)的连续性

\[\lim_{x\to 0}{\dfrac{\ln(1+x)}{x}}=\lim_{x\to 0}{\ln{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}\overset{*}{=}\ln{\lim_{x\to 0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}}=\ln{e}=1\tag{4}\]

　　• 求证：\(\lim\limits_{x\to 0^+}{x^x}=1\)；

　　• 求证：\(\lim\limits_{n\to\infty}(\cos{\frac{x}{n}+\lambda\sin{\frac{x}{n}}})^n=e^{\lambda x}\)。

1.3 连续的性质

　　上面仅仅是定义了连续函数，我们最终还是要研究，这样的函数具有哪些特殊的性质？连续的定义主要是限制了函数值，根据极限的定义，连续点附近的点的值是有界的。在实数系统中我们知道，紧集可以被有限个点的领域覆，由于每个点的邻域上函数值有界，故函数在紧上有界。特别地，由于闭区间是紧集，所以如果\(f(x)\in C_{[a,b]}\)，那么\(f(x)\)有界。这个结论被称为连续函数的有界性定理，它也可以通过其它实数基本定理证明，有兴趣可以自行论证。

　　既然\(f(x)\)有界，它必有上确界\(M\)，也就是说存在数列\(\{x_n\}\)，使得\(f(x_n)\to M\)。另外，\(\{x_n\}\)的聚点\(x_0\)必然属于\([a,b]\)，再由于闭区间的聚点还属于该区间，利用反证法可知\(f(x_0)=M\)。也就是说\(f(x)\)在闭区间上存在最大值\(M\)，同样可证，也存在最小值\(m\)，这就是连续函数的最值定理。

　　取任意\(y_0\in [m,M]\)，记\(X'\)为满足\(f(x)<y_0\)的所有\(x\)，则\(X'\)非零且有界，从而有上确界。类似于最值定理，可证存在\(f(x_0)=y_0\)，也就是说\(f(x)\)的值域为\([m,M]\)，这被称为介值定理。特别地，如果\(f(a)f(b)<0\)，则必然存在\(f(x_0)=0\)，这就是零点定理。

　　以上结论虽然很直观，但证明却不那么明显，是因为都需要用到实数的基本定理。这些结论可以通过不同的实数定理来证明，你可以尝试一下，这样可以再次感受实数的完备性，也能够体会到为什么我一直说它是分析学的根基。当然，光依靠连续性，我们已经得不出更多有价值的结论，还需要对连续函数添加更多的限制。连续的定义仅仅限定了一点周边的值的趋势，但却没有对“趋势”本身做度量，下面就来继续的我们的讨论。

1.4 一致连续

　　虽然连续函数的每个点的周边都“趋于”该点，但它们“趋于”的“程度”在每个点却是不一样的。对定义中任意的\(\varepsilon\)，每个点上选取的\(\delta\)不一定能统一。比如考察\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)，当选取的\(x_0\)越接近\(0^+\)时，要选取的\(\delta\)无限趋于\(0\)，无法统一选取。为此，如果对任意的\(\varepsilon>0\)，总存在\(\delta>0\)，使得在任意点\(x_0\)的\(\delta\)-领域内都存在\(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\)，这样的函数我们称它在定义域上一致连续。

　　直觉上你能想到，那些处处“斜率”有界的函数一定是一致连续的，而“斜率”趋于无穷的函数则不一致连续。但真实情况要复杂的多，比如半圆形的两个端点处的斜率是趋于无穷大的，但可以证明它是一致连续的。而一些奇葩的函数，线条很“粗燥”，根本没有斜率，但它却是一致连续的。直觉可以帮助我们理解分析学的很多概念，但严格的定义和论证却是不可缺少的。

　　再回到一致连续的定义，由于闭区间\([a,b]\)可以被有限覆盖，从而总可以找出统一的\(\delta\)。这就是说任何\(f(x)\in C_{[a,b]}\)都是一致连续的，该结论被称为康托尔定理。另一方面，对任意柯西数列\(\{x_n\}\)，当\(|x_i-x_j|<\delta\)时总有\(|f(x_i)-f(x_j)|<\varepsilon\)，从而\(\{f(x_n)\}\)也是柯西数列。反之当函数不一致连续时，可构造两个数列\(\{x'_n\},\{x''_n\}\)，使得\(|x'_n-x''_n|\to 0\)，但\(|f(x'_n)-f(x''_n)|>\varepsilon\)。如果再限定定义域有界，可取\(\{x'_n\},\{x''_n\}\)的柯西子数列重新组成一个柯西数列，但对应函数值不是柯西数列。

　　上面的讨论说明，定义域有界的函数一致收敛的充要条件是：任意柯西数列的函数值都是柯西数列。这个结论应用到定义域为开区间\((a,b)\)的函数\(f(x)\)上，可以知道\(x\to a^-\)和\(x\to b^+\)时，\(f(x)\)都存在有限极限。另外，有时候可以按函数特点，把定义域分割为有限个有重叠的（必须）子域，在每个每个子域上单独证明其一致连续性。

　　• 求证：\(\dfrac{\sin{x}}{x}\)在\((0,+\infty)\)上一致连续。

2. 导数

2.1 导数的定义

　　一致连续对连续函数的极限“趋势”做了初步讨论，现在就来对这个“趋势”进行量化，为连续函数添加新的属性。在连续函数\(f(x)\)的任意一点\(x_0\)，当\(\varDelta x=x-x_0\to 0\)时，\(\varDelta f(x_0)=f(x)-f(x_0)\to 0\)。度量这个“趋势”比较自然方法是考察\(\dfrac{\varDelta f(x_0)}{\varDelta x}\)，当\(\varDelta x\to 0\)，如果该式存在有限极限\(A\)，则称\(f(x)\)在\(x_0\)可导，而\(A\)称为\(f(x)\)在\(x_0\)上的导数，也记作\(f'(x_0)\)（式（5））。

\[f'(x_0)=\lim\limits_{\varDelta x\to 0}{\dfrac{\varDelta f(x_0)}{\varDelta x}}\tag{5}\]

　　当式（5）有无穷极限时，也可以称\(f(x)\)在\(x_0\)上有无穷导数，为方便也可写作\(f'(x_0)=\infty\)，极限不存在的则称为不可导。在定义域上处处可导的函数也称为可导的，导数生成的函数\(f'(x)\)也称为导函数。显然可导的函数一定是连续的，可导是连续函数的一种属性，后面的讨论就是基于这个属性来研究函数的性质。

　　类似单方连续的概念，我们也可以定义单方可导，左（右）导数记为\(f'_-(x)\)（\(f'_+(x)\)）。显然，函数可导的充要条件是：左右可导且导数相等。单方可导还能推出单方连续，另外也可以有单方无穷导数的概念，这里就不作赘述了。

2.2 导数的计算

　　从定义可知，求导（函）数最终还是归结为求极限，像幂函数、指数函数、正（余）弦函数都比较容易求得，请自行验证或参考相关教材。对于组合型函数的导数，我们可以有一些结论简化求导过程。比如对于函数的四则运算，通过定义容易推导出式（6）~（8），请自行验证。利用四则运算和已知的初等函数，可以得到多项式、正（反）切函数等更多函数的导函数。

\[[\,f(x)\pm g(x)\,]'=f'(x)\pm g'(x)\tag{6}\]

\[[\,f(x)g(x)\,]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{7}\]

\[[\,\dfrac{f(x)}{g(x)}\,]'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\tag{8}\]

　　设\(y=f(x)\)，从导数的定义\(\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}\)我们还容易想到，如果\(f'(x_0)\ne 0\)，在\(x_0\)足够小的邻域内\(f(x)\)存在反函数\(x=f^{-1}(y)\)。并且\(\dfrac{\varDelta x}{\varDelta y}\)极限存在，为\(\dfrac{1}{f(x_0)}\)。所以如果可导函数\(f(x)\)的导数非零，且存在反函数\(f^{-1}(y)\)，那么反函数的导函数存在（式（（9））。这个结论可以帮助我们得到对数函数、反三角函数等函数的导函数。

\[[\,f^{-1}(x)\,]'=\dfrac{1}{f'(y)}=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}\tag{9}\]

　　函数的还有一种常见组合形式就是复合函数，设\(u=g(x)\)在\(x_0\)处可导，且\(y=f(u)\)在\(u_0=g(x_0)\)处也可导。也许你觉得直接利用\(\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}=\dfrac{\varDelta y}{\varDelta u}\cdot\dfrac{\varDelta u}{\varDelta x}\)分别求极限就行了，思路是对的，但要注意\(\varDelta u\)可能为\(0\)，为此需要换个形式论证（本质是一样的）。

　　由\(f(u)\)在\(u_0\)可导得到\(\alpha=\dfrac{\varDelta f(u_0)}{\varDelta u}-f'(u_0)\to 0\)，整理为式（10），值得注意的是式（10）在\(\varDelta u=\alpha=0\)时也成立。从而有\(\dfrac{\varDelta y}{\varDelta x}=f'(u_0)\dfrac{\varDelta u}{\varDelta x}+\alpha\dfrac{\varDelta u}{\varDelta x}\)，求极限便有公式（11）成立，该式称为求导的链锁法则。

\[\varDelta f(u_0)=f'(u_0)\varDelta u+\alpha\varDelta u\tag{10}\]

\[[\,f(g(x))\,]'=f'(g(x))g'(x)\tag{11}\]

　　以上是求导函数的基本方法，在实际问题中，可能还需要一些变形以简化求导过程，其中最常用一种叫对数求导法。对数有着“降次”的功效，像\(y=u(x)^{v(x)}\)和\(y=\prod f_i(x)\)这样的“高次”函数，取对数后就便成了\(v(x)\ln{u(x)}\)和\(\sum{\ln{f_i(x)}}\)这种“低次”函数。对它们求导是相对容易的，而它们的导函数其实就是\([\ln{y}]'=\dfrac{y'}{y}\)，这就很容易得到\(y'\)了。

　　有些变量的函数关系式写成\(F(x,y)=0\)会更加简单，从而直接对其求导并整理出\(y'\)会更容易一些。有些函数关系甚至无法表示成\(y=f(x)\)的形式，而只能写成\(F(x,y)=0\)，这样的函数称为隐函数，它的导数也只能从直接对\(F(x,y)\)求导得来。

　　• 计算导函数：\(x^x\)、\(\sqrt{\dfrac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}\)、\((\dfrac{a}{b})^x(\dfrac{b}{x})^a(\dfrac{x}{a})^b\)；

　　• 计算导函数：\(x^2+xy+y^2=0\)、\(\arctan{\dfrac{y}{x}}=\ln{\sqrt{x^2+y^2}}\)。

2.3 常用导数

　　下表列出了常见初等函数的导数，以便查阅。（其中\(\sinh{x}=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)，\(\cosh{x}=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)，\(\tanh{x}=\dfrac{\sinh{x}}{\cosh{x}}\)，\(\coth{x}=\dfrac{\cosh{x}}{\sinh{x}}\)）

\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(c\)	\(0\)
\(x^{\mu}\)，  \(x\) \(\dfrac{1}{x}\)，  \(\sqrt{x}\)	\(\mu x^{\mu -1}\)，  \(1\) \(-\dfrac{1}{x^2}\)，  \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(a^x\)，  \(e^x\)	\(a^x\ln{a}\)，  \(e^x\)
\(\log_a{x}\)，  \(\ln{x}\)	\(\dfrac{1}{x}\log_a{e}\)，  \(\dfrac{1}{x}\)
\(\sin{x}\)，  \(\cos{x}\)	\(\cos{x}\)，  \(-\sin{x}\)
\(\tan{x}\)，  \(\cot{x}\)	\(\dfrac{1}{\cos^2{x}}\)，  \(-\dfrac{1}{\sin^2{x}}\)
\(\arcsin{x}\)，  \(\arccos{x}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，  \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\arctan{x}\)，  \(\text{arccot}\,{x}\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)，  \(-\dfrac{1}{1+x^2}\)
\(\sinh{x}\)，  \(\cosh{x}\)	\(\cosh{x}\)，  \(\sinh{x}\)
\(\tanh{x}\)，  \(\coth{x}\)	\(\dfrac{1}{\cosh^2{x}}\)，  \(-\dfrac{1}{\sinh^2{x}}\)

2.4 高阶导数

　　对于导函数，我们可以继续讨论它的连续性和可导性，如果\(f'(x)\)可导，\(f(x)\)称为二阶可导的，导函数\(f''(x)\)称为\(f(x)\)的二阶导数。进而还可以定义\(n\)阶可导和\(n\)阶导数，导函数记作\(f^{(n)}(x)\)。高阶导数仍然有它的意义，下一篇你会看到它的应用。

　　关于函数四则运算的高阶导数，我们只需要讨论乘法\(y=uv\)。其实乘法一阶导数的公式\((uv)'=u'v+uv'\)，就好像是初始二项式\(a^0b^0\)乘上了\((a+b)\)，得到\(a^1b^0+a^0b^1\)。利用这种形式的相似性，很容易得到乘法的高阶导数（式（12）），它被称为莱布尼兹公式。

\[y^{(n)}=(uv)^{(n)}=\sum\limits_{i=0}^n{C_n^iu^{(n-i)}v^{(i)}}\tag{12}\]

　　从上面的表格看出，初等函数的导函数还是由初等函数组合而成，所以它们都有任意阶导数。但不是所有的高阶导数都有简洁的表达形式，下表列出了一些常用高阶导数，以便查阅。对于复杂的函数，尽量拆解为简单函数的和或积，可以简化计算过程。对有些情况，还需要巧妙的变形，以间接地求得高阶导数。

\(f(x)\)	\(f^{(n)}(x)\)
\(x^{\mu}\)，  \(\dfrac{1}{x}\)	\(\mu(\mu-1)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}\)，  \((-1)^n\dfrac{n!}{x^{n+1}}\)
\(a^x\)，  \(e^x\)	\(a^x\ln^n{a}\)，  \(e^x\)
\(\sin{x}\)，  \(\cos{x}\)	\(\sin{(x+\dfrac{\pi}{2}n)}\)，  \(\cos{(x+\dfrac{\pi}{2}n)}\)

 

　　• 求\(n\)阶导数：\(\dfrac{1}{x^2-1}\)、\(\arctan{x}\)；

　　• 设\(y=\arctan{x}\)，不求导函数的情况下求\(y^{(n)}(0)\)。