【微积分】 02 - 连续和导数

合集 - 数学分析(10)

1.【微积分】 01 - 数学的屠龙刀2016-03-01

2.【微积分】 02 - 连续和导数2016-03-02

3.【微积分】 03 - 一元微分2016-03-024.【微积分】 04 - 一元积分2016-03-025.【微积分】 05 - 多元微分2016-03-036.【微积分】 06 - 重积分2016-03-037.【微积分】 07 - 微积分的应用2016-03-038.【微积分】 08 - 数项级数2016-03-039.【微积分】 09 - 函数项级数2016-03-0310.【微积分】 10 - 广义积分2016-03-03

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1. 连续函数

1.1 连续和间断

　　实数的完备性是分析学的基础，它自然也是微积分的出发点。极限是实数完备性的具体描述，我们的微积分之旅也从这里开始。在《实数系统》中，我们已经讨论了实数的完备性和极限的概念，这里把极限的概念引入到函数中。在集合论中，函数被看成是集合间的映射，当在集合中引入极限的概念后，我们自然要去讨论函数在满足一定极限条件下的性质。

　　既然讨论的基础是实数的完备性，当然要将函数$f(x)$的定义域和值域都限定为实数域或其子集。当$x\to x_0$时，我们希望所研究的函数满足$f(x)\to f(x_0)$（式（1）），并称$f(x)$在点$x_0$处连续。若记定义域为$X$，且$f(x)$在每一点都连续，也称为$f(x)$在$X$上连续，记作$C_X$。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \underset{x\to x_0}{lim}f(x)\to f(x_0)\end{array}$$

　　在分析连续性时，我们可以使用更容易操作的$\epsilon$-$\delta$定义（式（2））：对任意的$\epsilon >0$，都存在$\delta >0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时有$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。你甚至还可以将它定义为，对任何满足$x_n\to x_0$的数列$\{x_n\}$，都有$f(x_n)\to f(x_0)$。这三种定义是等价的，请自行论证，在不同场合下可选择使用。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\forall }\epsilon \mathrm{\exists }\delta (|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon )\end{array}$$

　　相对地，函数在不连续的点称为间断的，其实有些间断点也有很强的“连续性”，这里将它们单独定义。具有“连续性”的间断点有时也有连续点的很多性质，在具体情况下请留意相应性质的扩展。一种常见的情况是如式（3）的单方连续，它们分别称为左（右）连续，显然连续的充要条件是：既是左连续，又是右连续。对于任何间断点，我们都应该分别讨论它的左右连续（间断）性。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\to f(x_0);\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)\to f(x_0)\end{array}$$

　　对于间断点，根据情况还可以进一步分类。若$f(x)$在$x_0$处有极限，但极限值不是$f(x_0)$（甚至$f(x_0)$没有定义），修正（补充）$f(x_0)$为极限值后，$f(x)$在$x_0$处连续，这样的间断点称为可去间断点。当$f(x)$在$x_0$处左右极限都存在时（不一定相等），$x_0$称为第一类间断点。反之当左极限或右极限不存在、或极限为无穷，$x_0$称为第二类间断点。

　　• 判定${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$、$[x]$、$\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$在$x=0$处的间断类型。

1.2 连续的判定

　　连续的概念表示了函数在点的邻域内的性质，在集合上邻域的概念可以进行扩展。如果对任意点$x\in X$，都有$X$包含$x$的某个邻域，这样的点集$X$称为开集。邻域本身就是开集，而开集可以看做邻域在集合上的扩展（邻域针对一个点，而开集针对一个集合），开集在$\mathbb{R}$上补集叫闭集。容易验证，有限个开集（闭集）的交集（并集）还是开集（闭集），任意个开集（闭集）的并集（交集）还是开集（闭集），请自行验证。关于开集、闭集的进一步结论将在《测度论》中讨论，这里可以暂且认为是一些开区间、闭区间。

　　当$f(x)\in C_X$时，连续的定义是说：对任何$f(x_0)$的邻域$U$，都存在$x_0$的邻域$V$，使得$f(V)\subset U$。把这个性质扩展到开集$G$中，若有$f(x_0)=y_0\in G$，则易知$x_0$的某个领域$V\subset f^{-1}(G)$，所以$f^{-1}(G)$也是开集。反之若$f(x)$在任何开集$G$的原象也是开集，利用定义可证$f(x)$连续，这就有了$f(x)$在$X$上连续的充要条件：对任何开集$G$，$f^{-1}(G)$也是开集。

　　以上结论在研究中很有用，但在具体的问题中，我们还需要一些简单的判定方法。例如对称函数，只需要证明其对称轴一侧的连续性即可。对于单调连续函数$f(x)$，直觉上它的反函数$f^{-1}(x)$也是连续的，但还需要严格论证，比如可以使用上面的开集理论证明。有了这个结论，幂函数、对数函数、反三角函数的连续性就得到了证明，至此，初等函数的连续性就确定了。我们还很容易验证函数的四则运算以及复合函数（在有意义的点上）的连续性，这样普通表达式函数的连续性也能确定了（特殊点上需要讨论间断类型）。

　　另一方面，初等函数及其组合函数的连续性也为求极限提供了直接的方法。基本方法是，通过适当的变形，将函数变形为组合函数，并且每个部分都是容易求极限。比如式（4）的推导中，等号（*）成立的依据就是$\ln x$的连续性。更多地，你还可以利用$g(x{)}^{f(x)}$的连续性

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{x}}=\underset{x\to 0}{lim}\ln (1+x{)}^{\frac{1}{x}}\stackrel{\ast }{=}\ln \underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\ln e=1\end{array}$$

　　• 求证：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x=1$；

　　• 求证：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\cos \frac{x}{n}+\lambda \sin \frac{x}{n}{)}^n=e^{\lambda x}$。

1.3 连续的性质

　　上面仅仅是定义了连续函数，我们最终还是要研究，这样的函数具有哪些特殊的性质？连续的定义主要是限制了函数值，根据极限的定义，连续点附近的点的值是有界的。在实数系统中我们知道，紧集可以被有限个点的领域覆，由于每个点的邻域上函数值有界，故函数在紧上有界。特别地，由于闭区间是紧集，所以如果$f(x)\in C_{[a,b]}$，那么$f(x)$有界。这个结论被称为连续函数的有界性定理，它也可以通过其它实数基本定理证明，有兴趣可以自行论证。

　　既然$f(x)$有界，它必有上确界$M$，也就是说存在数列$\{x_n\}$，使得$f(x_n)\to M$。另外，$\{x_n\}$的聚点$x_0$必然属于$[a,b]$，再由于闭区间的聚点还属于该区间，利用反证法可知$f(x_0)=M$。也就是说$f(x)$在闭区间上存在最大值$M$，同样可证，也存在最小值$m$，这就是连续函数的最值定理。

　　取任意$y_0\in [m,M]$，记$X^{\prime }$为满足$f(x)<y_0$的所有$x$，则$X^{\prime }$非零且有界，从而有上确界。类似于最值定理，可证存在$f(x_0)=y_0$，也就是说$f(x)$的值域为$[m,M]$，这被称为介值定理。特别地，如果$f(a)f(b)<0$，则必然存在$f(x_0)=0$，这就是零点定理。

　　以上结论虽然很直观，但证明却不那么明显，是因为都需要用到实数的基本定理。这些结论可以通过不同的实数定理来证明，你可以尝试一下，这样可以再次感受实数的完备性，也能够体会到为什么我一直说它是分析学的根基。当然，光依靠连续性，我们已经得不出更多有价值的结论，还需要对连续函数添加更多的限制。连续的定义仅仅限定了一点周边的值的趋势，但却没有对“趋势”本身做度量，下面就来继续的我们的讨论。

1.4 一致连续

　　虽然连续函数的每个点的周边都“趋于”该点，但它们“趋于”的“程度”在每个点却是不一样的。对定义中任意的$\epsilon$，每个点上选取的$\delta$不一定能统一。比如考察$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$，当选取的$x_0$越接近$0^{+}$时，要选取的$\delta$无限趋于$0$，无法统一选取。为此，如果对任意的$\epsilon >0$，总存在$\delta >0$，使得在任意点$x_0$的$\delta$-领域内都存在$|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$，这样的函数我们称它在定义域上一致连续。

　　直觉上你能想到，那些处处“斜率”有界的函数一定是一致连续的，而“斜率”趋于无穷的函数则不一致连续。但真实情况要复杂的多，比如半圆形的两个端点处的斜率是趋于无穷大的，但可以证明它是一致连续的。而一些奇葩的函数，线条很“粗燥”，根本没有斜率，但它却是一致连续的。直觉可以帮助我们理解分析学的很多概念，但严格的定义和论证却是不可缺少的。

　　再回到一致连续的定义，由于闭区间$[a,b]$可以被有限覆盖，从而总可以找出统一的$\delta$。这就是说任何$f(x)\in C_{[a,b]}$都是一致连续的，该结论被称为康托尔定理。另一方面，对任意柯西数列$\{x_n\}$，当$|x_i-x_j|<\delta$时总有$|f(x_i)-f(x_j)|<\epsilon$，从而$\{f(x_n)\}$也是柯西数列。反之当函数不一致连续时，可构造两个数列$\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{″}\}$，使得$|x_n^{\prime }-x_n^{″}|\to 0$，但$|f(x_n^{\prime })-f(x_n^{″})|>\epsilon$。如果再限定定义域有界，可取$\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{″}\}$的柯西子数列重新组成一个柯西数列，但对应函数值不是柯西数列。

　　上面的讨论说明，定义域有界的函数一致收敛的充要条件是：任意柯西数列的函数值都是柯西数列。这个结论应用到定义域为开区间$(a,b)$的函数$f(x)$上，可以知道$x\to a^{-}$和$x\to b^{+}$时，$f(x)$都存在有限极限。另外，有时候可以按函数特点，把定义域分割为有限个有重叠的（必须）子域，在每个每个子域上单独证明其一致连续性。

　　• 求证：${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$在$(0,+\mathrm{\infty })$上一致连续。

2. 导数

2.1 导数的定义

　　一致连续对连续函数的极限“趋势”做了初步讨论，现在就来对这个“趋势”进行量化，为连续函数添加新的属性。在连续函数$f(x)$的任意一点$x_0$，当$\Delta x=x-x_0\to 0$时，$\Delta f(x_0)=f(x)-f(x_0)\to 0$。度量这个“趋势”比较自然方法是考察${\displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}}$，当$\Delta x\to 0$，如果该式存在有限极限$A$，则称$f(x)$在$x_0$可导，而$A$称为$f(x)$在$x_0$上的导数，也记作$f^{\prime }(x_0)$（式（5））。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\Delta f(x_0)}{\Delta x}}\end{array}$$

　　当式（5）有无穷极限时，也可以称$f(x)$在$x_0$上有无穷导数，为方便也可写作$f^{\prime }(x_0)=\mathrm{\infty }$，极限不存在的则称为不可导。在定义域上处处可导的函数也称为可导的，导数生成的函数$f^{\prime }(x)$也称为导函数。显然可导的函数一定是连续的，可导是连续函数的一种属性，后面的讨论就是基于这个属性来研究函数的性质。

　　类似单方连续的概念，我们也可以定义单方可导，左（右）导数记为$f_{-}^{\prime }(x)$（$f_{+}^{\prime }(x)$）。显然，函数可导的充要条件是：左右可导且导数相等。单方可导还能推出单方连续，另外也可以有单方无穷导数的概念，这里就不作赘述了。

2.2 导数的计算

　　从定义可知，求导（函）数最终还是归结为求极限，像幂函数、指数函数、正（余）弦函数都比较容易求得，请自行验证或参考相关教材。对于组合型函数的导数，我们可以有一些结论简化求导过程。比如对于函数的四则运算，通过定义容易推导出式（6）~（8），请自行验证。利用四则运算和已知的初等函数，可以得到多项式、正（反）切函数等更多函数的导函数。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& [f(x)\pm g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(7)}& [f(x)g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& [{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}{]}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g^2(x)}}\end{array}$$

　　设$y=f(x)$，从导数的定义${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}$我们还容易想到，如果$f^{\prime }(x_0)\ne 0$，在$x_0$足够小的邻域内$f(x)$存在反函数$x=f^{-1}(y)$。并且${\displaystyle \frac{\Delta x}{\Delta y}}$极限存在，为${\displaystyle \frac{1}{f(x_0)}}$。所以如果可导函数$f(x)$的导数非零，且存在反函数$f^{-1}(y)$，那么反函数的导函数存在（式（（9））。这个结论可以帮助我们得到对数函数、反三角函数等函数的导函数。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& [f^{-1}(x){]}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(y)}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}}\end{array}$$

　　函数的还有一种常见组合形式就是复合函数，设$u=g(x)$在$x_0$处可导，且$y=f(u)$在$u_0=g(x_0)$处也可导。也许你觉得直接利用${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}={\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta u}}\cdot {\displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x}}$分别求极限就行了，思路是对的，但要注意$\Delta u$可能为$0$，为此需要换个形式论证（本质是一样的）。

　　由$f(u)$在$u_0$可导得到$\alpha ={\displaystyle \frac{\Delta f(u_0)}{\Delta u}}-f^{\prime }(u_0)\to 0$，整理为式（10），值得注意的是式（10）在$\Delta u=\alpha =0$时也成立。从而有${\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}=f^{\prime }(u_0){\displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x}}+\alpha {\displaystyle \frac{\Delta u}{\Delta x}}$，求极限便有公式（11）成立，该式称为求导的链锁法则。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \Delta f(u_0)=f^{\prime }(u_0)\Delta u+\alpha \Delta u\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(11)}& [f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)\end{array}$$

　　以上是求导函数的基本方法，在实际问题中，可能还需要一些变形以简化求导过程，其中最常用一种叫对数求导法。对数有着“降次”的功效，像$y=u(x{)}^{v(x)}$和$y=\prod f_i(x)$这样的“高次”函数，取对数后就便成了$v(x)\ln u(x)$和$\sum \ln f_i(x)$这种“低次”函数。对它们求导是相对容易的，而它们的导函数其实就是$[\ln y{]}^{\prime }={\displaystyle \frac{y^{\prime }}{y}}$，这就很容易得到$y^{\prime }$了。

　　有些变量的函数关系式写成$F(x,y)=0$会更加简单，从而直接对其求导并整理出$y^{\prime }$会更容易一些。有些函数关系甚至无法表示成$y=f(x)$的形式，而只能写成$F(x,y)=0$，这样的函数称为隐函数，它的导数也只能从直接对$F(x,y)$求导得来。

　　• 计算导函数：$x^x$、$\sqrt{{\displaystyle \frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}}$、$({\displaystyle \frac{a}{b}}{)}^x({\displaystyle \frac{b}{x}}{)}^a({\displaystyle \frac{x}{a}}{)}^b$；

　　• 计算导函数：$x^2+xy+y^2=0$、$\arctan {\displaystyle \frac{y}{x}}=\ln \sqrt{x^2+y^2}$。

2.3 常用导数

　　下表列出了常见初等函数的导数，以便查阅。（其中$\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$，$\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}$，$\tanh x={\displaystyle \frac{\sinh x}{\cosh x}}$，$\coth x={\displaystyle \frac{\cosh x}{\sinh x}}$）

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$c$	$0$
$x^{\mu }$，  $x$ ${\displaystyle \frac{1}{x}}$，  $\sqrt{x}$	$\mu x^{\mu -1}$，  $1$ $-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$，  ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$a^x$，  $e^x$	$a^x\ln a$，  $e^x$
${\log }_{a}x$，  $\ln x$	${\displaystyle \frac{1}{x}}{\log }_{a}e$，  ${\displaystyle \frac{1}{x}}$
$\sin x$，  $\cos x$	$\cos x$，  $-\sin x$
$\tan x$，  $\cot x$	${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^{2}x}}$，  $-{\displaystyle \frac{1}{{\sin }^{2}x}}$
$\arcsin x$，  $\arccos x$	${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$，  $-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$
$\arctan x$，  $\text{arccot}x$	${\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$，  $-{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}$
$\sinh x$，  $\cosh x$	$\cosh x$，  $\sinh x$
$\tanh x$，  $\coth x$	${\displaystyle \frac{1}{{\cosh }^{2}x}}$，  $-{\displaystyle \frac{1}{{\sinh }^{2}x}}$

2.4 高阶导数

　　对于导函数，我们可以继续讨论它的连续性和可导性，如果$f^{\prime }(x)$可导，$f(x)$称为二阶可导的，导函数$f^{″}(x)$称为$f(x)$的二阶导数。进而还可以定义$n$阶可导和$n$阶导数，导函数记作$f^{(n)}(x)$。高阶导数仍然有它的意义，下一篇你会看到它的应用。

　　关于函数四则运算的高阶导数，我们只需要讨论乘法$y=uv$。其实乘法一阶导数的公式$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$，就好像是初始二项式$a^0{b}^0$乘上了$(a+b)$，得到$a^1{b}^0+a^0{b}^1$。利用这种形式的相似性，很容易得到乘法的高阶导数（式（12）），它被称为莱布尼兹公式。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& y^{(n)}=(uv{)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n{C}_n^i{u}^{(n-i)}{v}^{(i)}\end{array}$$

　　从上面的表格看出，初等函数的导函数还是由初等函数组合而成，所以它们都有任意阶导数。但不是所有的高阶导数都有简洁的表达形式，下表列出了一些常用高阶导数，以便查阅。对于复杂的函数，尽量拆解为简单函数的和或积，可以简化计算过程。对有些情况，还需要巧妙的变形，以间接地求得高阶导数。

$f(x)$	$f^{(n)}(x)$
$x^{\mu }$，  ${\displaystyle \frac{1}{x}}$	$\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n}$，  $(-1{)}^n{\displaystyle \frac{n!}{x^{n+1}}}$
$a^x$，  $e^x$	$a^x{\ln }^{n}a$，  $e^x$
$\sin x$，  $\cos x$	$\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}n)$，  $\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}n)$

 

　　• 求$n$阶导数：${\displaystyle \frac{1}{x^2-1}}$、$\arctan x$；

　　• 设$y=\arctan x$，不求导函数的情况下求$y^{(n)}(0)$。