【线性代数】 05 - 线性变换

合集 - 高等代数(15)

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收起

　　之前的概念只是线性代数中最基本的工具，而线性代数最核心的内容在这里才刚刚开始。我们知道，代数的对象是结构，而代数的核心则是变换。结构间的变换不光揭露了它们之间的本质关系，它还是了解结构本身深层属性的有力工具。变换本身没有什么，我们更关注的其实是变中的不变，不变量则又是变换的核心。

1. 线性映射

1.1 定义和基本性质

　　在抽象代数中，同态映射是深入理解代数结构的重要方法，它可以对其进行纵向分解，从更宏观的角度解析代数结构。之前我们把矩阵定义成一种映射，可见想要深入了解矩阵，就必须回到它的根源上去。线性空间首先是一个交换群，同态映射的定义可以照搬过来。另一方面，线性空间还有数乘运算，而且这才是它的核心所在，故同态映射还需保持数乘的形式不变。为此定义线性空间$V,V^{\prime }$之间的映射如下，并称$\mathcal{A}$为从$V$到$V^{\prime }$的线性映射。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathcal{A}(\alpha +\beta )=\mathcal{A}(\alpha )+\mathcal{A}(\beta ),\mathcal{A}(k\alpha )=k\mathcal{A}(\alpha )\end{array}$$

　　当映射为双射的时候，它显然是个同构映射，也就是个可逆运算。而一般的线性映射，每个像的原像可能不止一个，顺着这个关系，我们依次要讨论的是：像的结构是怎样的？每个像的原像是什么？像和原像有什么关系？使用定义比较容易验证，线性映射的像$\mathcal{A}(V)$是一个线性空间，且有公式（2）成立。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathcal{A}(0)=0,\mathcal{A}(-\alpha )=-\mathcal{A}(\alpha ),\mathcal{A}(k_1{\alpha }_1+\cdots +k_n{\alpha }_n)=k_1\mathcal{A}({\alpha }_1)+\cdots +k_n\mathcal{A}({\alpha }_n)\end{array}$$

　　设所有从$V$到$V^{\prime }$的线性映射组成集合$\text{Hom}(V,V^{\prime })$，容易验证它在式（3）的运算下是一个线性空间。另外显然，复合线性映射$V\stackrel{\mathcal{B}}{\mapsto }{V}^{\prime }\stackrel{\mathcal{A}}{\mapsto }{V}^{″}$也是线性映射，且满足公式（4）。还可以证明，复合运算和加法运算满足分配率（5），但由于乘法不封闭，故不一定是环。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& (\mathcal{A}+\mathcal{B})(\alpha )=\mathcal{A}(\alpha )+\mathcal{B}(\alpha ),(k\mathcal{A})(\alpha )=k(\mathcal{A}(\alpha ))\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& k(\mathcal{AB})=(k\mathcal{A})\mathcal{B}=\mathcal{A}(k\mathcal{B})\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(5)}& (\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{C}=\mathcal{AC}+\mathcal{BC},\mathcal{C}(\mathcal{A}+\mathcal{B})=\mathcal{CA}+\mathcal{CB}\end{array}$$

1.2 核和商空间

　　仿照抽象代数，定义$0$的原像集合$W$为$\mathcal{A}$的核，记作$\text{Ker}\mathcal{A}$，容易验证它是$V$的子空间。继续考察任意像${\alpha }^{\prime }$的原像，设$\mathcal{A}(\alpha )={\alpha }^{\prime }$，易知$\mathcal{A}({\alpha }_0)={\alpha }^{\prime }$的充要条件是$\alpha -{\alpha }_0\in W$，即${\alpha }_0$在陪集$\alpha +W$中。这就在像和陪集之间建立了一一对应的关系，它可用如下映射表示。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sigma :\alpha +W\mapsto {\alpha }^{\prime },\mathcal{A}(\alpha )={\alpha }^{\prime }\end{array}$$

　　如果在陪集上定义如下运算（式（7）），可以证明该运算是良性的，且陪集集合形成一个线性空间，它叫商空间，记作$V/W$。容易验证$\sigma$是一个线性变换，故商空间和像同构（公式（8）），这样我们就彻底弄清了像与原像的关系。其实对任意一个子群$W$，都可以定义映射$\alpha \mapsto (\alpha +W)$，容易证明它就是以$W$为核的线性映射，这个映射也叫自然映射。以上正反的推导说明，线性空间$V$上的线性映射和它的子空间是等价的。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& (\alpha +W)+(\beta +W)=(\alpha +\beta )+W,k(\alpha +W)=k\alpha +W\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(8)}& V/W\cong \mathcal{A}(V),W=\text{Ker}\mathcal{A}\end{array}$$

　　下面继续讨论有限维空间中，核空间和商空间的关系。首先根据抽象代数的结论，空间元素的个数满足$|V|=|W|·|V/W|$，从而它们的维度满足公式（9）。设空间$V$的维度是$n$，核$W$的维度是$r$，且${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$是它的一组基。现在来寻找$V/W$的一组基${\beta }_1+W,\cdots ,{\beta }_{n-r}+W$，首先${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-r}$当然是线性无关的，又由于它们都不在$W$中，故${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_{n-r}$正好组成$V$的一组基。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& \dim V=\dim W+\dim (V/W)\end{array}$$

　　商空间在三维空间中有较直观的形象，比如空间中的一维子空间就是任意过原点的直线$l$，它的陪集就是所有与$l$平行的直线，商空间自然就是这些平行线组成的线性空间。为了更直观地理解这个商空间，观察任意一个过原点且不与$l$平行的平面$\pi$，所有的平行线与$\pi$的唯一交点正好组成$\pi$，故二维空间$\pi$可以看做这个商空间的同构空间。再比如，当我们取某个过零点平面$\pi$作为子空间时，商空间就是所有与之平行的平面，与这个商空间同构的一维空间是任意一条过零点且不与$\pi$平行的直线$l$。

1.3 映射的矩阵

　　根据公式（2）的第3式可知，有限维线性空间的线性映射可以由$V$的一组基完全确定。具体来讲，选择$V$的一组基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$，再选择$V^{\prime }$的一组基${\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m$，线性映射可以表示成如下表达式。故每个线性映射在选定的基下都确定一个矩阵$A$，且反之对任意$n\times m$阶矩阵，式子（10）也定义了一个线性变换。所以在有限维空间中，可以把线性映射和矩阵等价看待。这与我们在矩阵乘法中的视角相一致，但要注意$\mathcal{AB}$的矩阵是$BA$（自行验证）。

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \mathcal{A}({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=A_{n\times m}({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)\end{array}$$

　　对于同一个线性映射，选择$V,V^{\prime }$的不同基，得到的矩阵也是不同的。设$({\alpha }_1^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n^{\prime })=P({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$和$({\beta }_1^{\prime },\cdots ,{\beta }_m^{\prime })=Q({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)$是另一组基，则有式（11）成立，即线性映射的矩阵变为$PA{Q}^{-1}$。反之对任意$n,m$阶的可逆方阵$P,Q$，$B=PA{Q}^{-1}$都是同一个线性映射在某组基下的矩阵。满足以上条件的$A,B$称为是相抵矩阵，显然相抵矩阵是一个等价类，每一个类对应$\text{Hom}(V,V^{\prime })$中的一个元素。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathcal{A}({\alpha }_1^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n^{\prime })=P\mathcal{A}({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=PA({\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m)=PA{Q}^{-1}({\beta }_1^{\prime },\cdots ,{\beta }_m^{\prime })\end{array}$$

　　由上一篇的结论知，总存在可逆方阵$P,Q$，使得$PA{Q}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$。在对应基下，线性映射有了最简单的形式，它也是最本质的形式，同构意义下$n$维到$m$维空间的线性映射仅有$min(n,m)$个。另外，显然$A$的秩$r$正是$\mathcal{A}(V)$的维度，故$r$也称为$\mathcal{A}$的秩，同样记作$\text{rank}\mathcal{A}$。

　　如果把相抵看成是一种变换，我们更关注其中不变的量，比如矩阵的秩，并称之为变换的不变量。不变量是变换或等价类的重要属性，它也是考察变换的主要工具。反之，一旦矩阵的阶和秩确定，它们所属的相抵等价类也就确定了，这样的量可以唯一刻画变换，它被称为变换的全系不变量。关于不变量的讨论将贯穿今后的内容，因为这才是线性代数最精华的部分，全系不变量不仅可以给出变换的简单标准式，还可以对变换进行彻底地分类。

2. 线性变换

2.1 线性变换和相似矩阵

　　线性空间$V$到自身的线性映射也叫线性变换，它们组成的集合简记为$\text{Hom}(V)$，由于乘法在其中是封闭的，故它是一个环。恒等变换$\mathcal{I}$将每个元素变换到自身，显然它是环的单位元，故$\text{Hom}(V)$还是含幺环。像这种定义了乘法的线性空间，且乘法满足公式（4）（5）和存在单位元，我们一般称之为域$K$上的代数。代数是很常见的结构，比如一般的数域、$n$维方阵、一元多项式等等。

　　一一映射的线性变换是可逆映射，它的逆一般也记作${\mathcal{A}}^{-1}$。又由于线性变换在乘法上的封闭性，可以很自然地定义它的幂运算（12），且它符合一般幂运算的性质，不再赘述。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& {\mathcal{A}}^0=\mathcal{I},{\mathcal{A}}^m=\mathcal{A}{\mathcal{A}}^{m-1},{\mathcal{A}}^{-m}=({\mathcal{A}}^{-1}{)}^m\end{array}$$

　　对$n$维空间$V$，线性变换$\mathcal{A}$同样可以对应到$n$阶方阵$A$，且变换可逆与矩阵可逆等价。前面已经看到，线性映射是矩阵的直观表示，我们同样可以用线性变换来研究方阵的性质。比如考察序列$\mathcal{A},{\mathcal{A}}^2,{\mathcal{A}}^3,\cdots$，显然有$\mathcal{A}(V)\supseteq {\mathcal{A}}^2(V)\supseteq \cdots$，由于秩不可能无限递减，故存在${\mathcal{A}}^k(V)={\mathcal{A}}^{k+1}(V)$。一旦出现这种情况，等式会一直成立下去，从而必定有式（13）成立。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\mathcal{A}}^n(V)={\mathcal{A}}^{n+1}(V)=\cdots ,\text{rank}{A}^n=\text{rank}{A}^{n+1}=\cdots \end{array}$$

　　既然像和原像在同一空间，对它们选择相同一组基${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$会比较方便，这也是线性变换不同于一般线性映射的根本原因。当取另一组基$({\alpha }_1^{\prime },\cdots ,{\alpha }_n^{\prime })=P({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$时，易知线性变换的矩阵变为$PA{P}^{-1}$。更一般地，如果矩阵$A,B$满足式（14），则称$A,B$是相似矩阵，记作$A\sim B$。同样地，相似矩阵的等价类与$\text{Hom}(V)$的元素一一对应。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& B=PA{P}^{-1},|P|\ne 0\end{array}$$

　　下一篇的主要任务将是研究相似矩阵的不变量和全系不变量，以得到相似标准型及相似矩阵的完全分类，这里先做一些准备工作。

2.2 不变子空间

　　由于线性变换的像和原像在同一空间，它们总是纠缠在一起，不能像线性映射那样变得简单。但我们还是希望将变换尽量分割开来，具体讲就是，将$V$分解为尽量小的子空间$V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s$，且线性变换的像$\mathcal{A}(V_i)$还在$V_i$中。这样在对应的基下，变换的矩阵是一个分块对角矩阵。进一步地，如果这样的分割唯一，我们还能对矩阵或变换进行分类。

　　为此我们先简单讨论一下这样的子空间$W$，如果它满足$\mathcal{A}(W)\subseteq W$，则称之为$\mathcal{A}$的不变子空间。显然$V$本身、变换的核$\text{Ker}\mathcal{A}$、变换的像$\mathcal{A}(V)$都是不变子空间。根据定义还可以证明，不变子空间的和、交都是不变子空间。另外，如果选取$W$的一组基并将其扩展成$V$的基，则显然变换的矩阵是如下分块下三角矩阵，其中$r$是$W$的维度。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \left[\begin{array}{cc}{X}_{r\times r}& 0\\ Z& Y_{(n-r)\times (n-r)}\end{array}\right]\end{array}$$

　　如果在商空间$V/W$中定义映射$\alpha +W\mapsto \mathcal{A}\alpha +W$，首先由于$W$是不变子空间，易知这是一个良定义。再通过简单的验证可知这个映射是线性变换，它也被称为$\mathcal{A}$在$V/W$上的诱导变换。设$W$的基为${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_r$，扩展为$V$的基为${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$，则可以证明，诱导变换在基${\alpha }_{r+1}+W,\cdots ,{\alpha }_n+W$下的矩阵正好就是公式（15）中的$Y$。

　　其实$\mathcal{A}(V),\text{Ker}\mathcal{A}$为不变子空间这一结论是可以进行扩展的，这里介绍一个十分有用的结论。设线性变换$\mathcal{B}$满足$\mathcal{AB}=\mathcal{BA}$，$V^{\prime }$是$\mathcal{A}$的不变子空间，容易验证${\mathcal{B}}^{-1}(V^{\prime })$和$\mathcal{B}(V^{\prime })$都是$\mathcal{A}$的不变子空间。特别地，如果取$\mathcal{B}$为多项式$f(\mathcal{A})$，并分别取$V^{\prime }$为$V$和$0$，则有$f(\mathcal{A})(V)$和$\text{Ker}f(\mathcal{A})$都是$\mathcal{A}$的不变子空间。

2.3 循环子空间

　　有一种不变子空间比较容易想到，那就是从某个向量$\alpha$开始“生成”的不变子空间。要使得它是不变子空间，则要求$\alpha ,\mathcal{A}(\alpha ),{\mathcal{A}}^2(\alpha ),\cdots$都属于这个空间。在有限空间中，这个序列迟早会变得线性相关，设在${\mathcal{A}}^m(\alpha )$处第一次出现线性相关，则它可以由$\alpha ,\cdots ,{\mathcal{A}}^{m-1}(\alpha )$线性表出（式（16）），而且显然后面所有的向量都可以由这前$m$个向量线性表出。

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\mathcal{A}}^m(\alpha )=a_{m-1}{\mathcal{A}}^{m-1}(\alpha )+\cdots +a_1\mathcal{A}(\alpha )+a_0\alpha \end{array}$$

　　这$m$个向量的生成子空间被称为由$\alpha$生成的循环子空间，记做$C_{\alpha }$（公式（17））。显然$C_{\alpha }$的维数是$m$，且容易证明，它是包含$\alpha$的最小不变子空间。取这$m$个向量作为$C_{\alpha }$的基，容易验证$\mathcal{A}{|}_{C_{\alpha }}$在这组基下的矩阵为式（18）。

$$\begin{array}{}\text{(17)}& C_{\alpha }=⟨\alpha ,\mathcal{A}(\alpha ),\cdots ,{\mathcal{A}}^{m-1}(\alpha )⟩\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(18)}& \left[\begin{array}{cccc}0& 1& & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & 0\\ a_0& a_1& \cdots & a_{m-1}\end{array}\right]\end{array}$$

2.4 特征值和特征向量

　　最简单的循环子空间当然就是$\alpha$的生成子空间$⟨\alpha ⟩$，这时有公式（19）左边的关系。将满足条件的$\alpha$称为$\mathcal{A}$的特征向量，对应的$\lambda$称为特征值。这个关系等价于（19）的右式，要使非零的$\alpha$存在，特征矩阵$\lambda I-A$的行列式必须为$0$。容易证明它的行列式有式（20）的格式，多项式$\phi (\lambda )$称为$A$的特征多项式。

$$\begin{array}{}\text{(19)}& \mathcal{A}(\alpha )=\lambda \alpha \iff (\lambda \mathcal{I}-\mathcal{A})\alpha =0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(20)}& |\lambda I-A|=\phi (\lambda )={\lambda }^n-(a_{11}+\cdots +a_{nn}){\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n|A|\end{array}$$

　　• $A,B$为复方阵，求证$AB,BA$的特征多项式相同。

　　显然$A$的所有特征值就是$\phi (\lambda )=0$的所有根，根${\lambda }_i$的重数称为特征值的代数重数。另外容易证明，任意特征值${\lambda }_i$的所有特征向量组成一个线性空间，称为特征子空间，记作$V_{{\lambda }_i}$，这个线性空间的维数称为特征值的几何重数。当${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$时，考虑$0$在$V_{{\lambda }_i}+V_{{\lambda }_j}$上的分解（式（21）左），设$0={\alpha }_i+{\alpha }_j$，将$\mathcal{A}$作用于两边得式（21）右，联立两个等式知${\alpha }_i={\alpha }_j=0$。从而$V_{{\lambda }_i}\cap V_{{\lambda }_j}=0$，从而可知任意两个特征子空间都不相交。

$$\begin{array}{}\text{(21)}& 0={\alpha }_i+{\alpha }_j;0={\lambda }_i{\alpha }_i+{\lambda }_j{\alpha }_j\end{array}$$

　　这样就可以选取各特征子空间的基并将其扩展为空间的集，线性变换在这组基下的矩阵具有以下形式，其中$n_1,\cdots ,n_s$为特征值的几何重数。通过这个式子可以看到几何重数不大于代数重数，当所有几何重数等于代数重数时，矩阵就成为对角矩阵，这样的矩阵也称为可对角化的。反之也显然，可对角化矩阵的几何重数与代数重数都相等，它们是等价的。

$$\begin{array}{}\text{(22)}& \left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1{I}_{n_1}& \cdots & 0& 0\\ 0& \ddots & 0& 0\\ 0& \cdots & {\lambda }_s{I}_{n_s}& 0\\ B_1& \cdots & B_{s-1}& B_s\end{array}\right]\end{array}$$

　　你可能注意到，特征值、特征向量、特征多项式在某个线性变换下都是确定的，故它们是矩阵相似变换下的不变量。但它们并不一定是全系不变量。因为即使有了特征值，矩阵（22）还是不确定的。当然矩阵可对角化时，特征值完全确定了矩阵，这时特征值就是矩阵在相似变换下的全系不变量。另外要注意，特征值的个数与域$K$的选取有关，我们不妨先在代数闭域（对应数域中的复数域）中进行讨论，因为在代数闭域中所有多项式都能分解为一次多项式之积$(\lambda -{\lambda }_1^{m_1})\cdots (\lambda -{\lambda }_s^{m_s})$。

　　在这种假设下，首先由公式（18）知道所有特征值（包括重根）的积为$(-1{)}^n|A|$，而它们的和则为$a_{11}+\cdots +a_{nn}$，由于特征值是不变量，所以对角线之和也是不变量。另外，任何矩阵都有特征值和特征向量，随便选取一对便得到相似矩阵$\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ C& B\end{array}\right]$。继续对$B$进行类似的处理，就可以得到一个下三角相似矩阵，而对角线上正是所有特征值，且每个特征值的个数与其代数重数相同。