【线性代数】 02 - 线性空间

合集 - 高等代数(15)

1.【线性代数】 01 - 古老的新学科2015-10-12

2.【线性代数】 02 - 线性空间2015-10-12

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　　大部分教材一开始便会讨论行列式和矩阵，这当然是从实用的角度编排的。我们这里则更关注学科的完整性和概念的连贯性，从线性代数的基础研究对象讨论起。在抽象代数中我们已经意识到，代数学其实就是一门关系结构学，不同的学科差别只是所研究的具体结构不同而已。

1. 线性空间

1.1 向量和线性空间

　　线性代数讨论的对象是向量，大家熟悉的空间（平面）中向量的概念是：一条有方向的线段。空间向量只关心方向和长度，它的起始、结束点并不重要。解析几何中规定了原点和坐标，将一个向量平移，使其起始点和原点重合，那么结束点的坐标$(x,y,z)$就用来表示这个向量。这里务必要区分开坐标和向量的差别，坐标仅表示一个点，而向量是有向线段，但坐标可以唯一表示某个向量。

　　空间（平面）的向量一般叫三维（二维）向量，受坐标表示式的启发，容易将向量的概念扩展到更高维中（甚至可数无限维）：$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。但在数学上，仅做这样的简单扩展还是不够的，因为它还不是一个代数结构。那什么样叫代数结构？简单说就是一个集合，它在一些运算下封闭，并且满足一定的运算律。现在就从向量的直观性质出发，看看用代数语言如何给其下定义。

　　首先我们讨论的是一个集合$V$，它的元素在加法下构成一个交换群（结合律、单位元、相反数、可交换）。另外有一个域$K$（加法交换群、乘法交换群、分配率），它与$V$有运算$K\times V\mapsto V$。这个运算满足式（1）的条件（$k,l\in K,\alpha ,\beta \in V$），其中第二个条件可以把域的乘法当做映射的复合，最后两个条件就是分配率。满足这些条件的集合$V$称为是$K$上的向量空间或线性空间（linear lpace），其中的元素就叫向量（vector）。

$$\begin{array}{}\text{(1)}& 1\alpha =\alpha ;(kl)\alpha =k(l\alpha );(k+l)\alpha =k\alpha +l\alpha ;k(\alpha +\beta )=k\alpha +k\beta \end{array}$$

　　要注意$V$中的加法和$K$中的加法是不同的，$K$中的乘法和$K\times V$中的乘法也是不同的，并且$V$的零元和$K$的零元也不同，但一般它们不会产生混淆，故使用相同的记法。这个向量定义并不受维度限制，它的范围比坐标形式更加广泛。反之容易看出，坐标向量在特定维度和数域下形成一个线性空间。今后坐标向量我们用以下矩阵形式表示，它们分别也叫行向量、列向量。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& [a_1{a}_2\cdots a_n]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]\end{array}$$

　　对于两个线性空间$V_1,V_2$，如果它们之间存在一一映射$\sigma$，满足式子（3）中的条件，则称这两个线性空间同构。同构的线性空间的结构是一模一样的，可以等价对待。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \sigma (\alpha +\beta )=\sigma (\alpha )+\sigma (\beta );\sigma (k\alpha )=k\sigma (\alpha )\end{array}$$

　　• 求证：$k\alpha =0$的充要条件是$k=0\vee \alpha =0$；

　　• 求证：任何域都是其子域上的线性空间。

　　与任何一个代数结构一样，我们现在需要定义线性子空间。由于线性空间的讨论对象是$V$，所以不必要在$K$上作限制，而是讨论$V$的一个子集$V^{\prime }$。$V^{\prime }$要想成为线性空间，其实只要保证$V^{\prime }$的加法以及数乘封闭（公式（4）），其它运算律是自然成立的，满足这样条件的子集$V^{\prime }$就叫$V$的线性子空间。容易证明，线性子空间的交$V_1\cap V_2$也是线性子空间。

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \alpha +\beta \in V^{\prime },k\alpha \in V^{\prime }\mathrm{\forall }(k\in K,\alpha ,\beta \in V^{\prime })\end{array}$$

　　线性空间的某个向量组$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\}$，让它们进行任意的乘法和加法运算，根据运算律总可以化简为（5）的形式，这也正是“线性”的表现。容易证明（5）式所有元素组成的集合是一个线性子空间，它被称为$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots {\alpha }_n\}$的生成子空间，记作$L({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$或$⟨{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n⟩$。显然生成子空间是包含向量组的最小线性子空间。

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n\end{array}$$

2.2 线性相关

　　由以上讨论我们知道，向量之间的关系只能以式子（4）的形式体现，想要进一步分析线性空间的结构，也就必须分析清楚这样的关系。首先式子（5）叫做${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$的一个线性组合，这样的$\beta$称为可以被${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性表出。这个概念还有一个更简洁的等价说法，如果（6）式成立时存在$k_i\ne 0$，则称${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性相关，否则称为线性无关。显然线性相关的等价条件是：存在${\alpha }_i$，它可由其它元素线性表出。对含有无限个元素的向量组，它们线性无关可以定义为：不存在线性相关的有限子集。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=0\end{array}$$

　　• ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$线性无关，式（5）中如果$k_i\ne 0$，则将${\alpha }_i$替换为$\beta$后，向量组仍然线性无关。

　　两个向量组如果可以互相线性表出，就称它们是等价向量组。一个线性相关的向量组（线性空间）总是等价于它的一个真子集，对于那些找不到等价有限真子集的向量组（线性空间），对它的讨论也就到此为止了，以下总假设向量组（线性空间）等价于它的有限真子集（其实对于无限的场景，利用Zorn引理也可证得极大无关组的存在性）。向量组中的每个元素都可以由这个真子集线性表出，容易证明线性表出的方法（系数$k_i$）唯一的充要条件是：这个真子集是线性无关的，这样的子集就叫向量组的极大线性无关组。

　　选定一个极大线性无关组后，向量组的每个元素都可以由它们唯一线性表出，特别地，线性空间由它的一个极大线性无关组完全确定。这时我们自然有一个问题：不同的极大线性无关组之间有什么关系？它们的个数相同吗？在选定极大线性无关组${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$后，任意选取无关组${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_m$，且假设${\beta }_j=\sum a_{ij}{\alpha }_i$。由于$\{{\beta }_j\}$线性无关，则方程$\sum {\beta }_j{x}_j=0$仅有零解，将其展开为$\{{\alpha }_i\}$的线性组合，并由$\{{\alpha }_i\}$的无关性知方程组（7）成立。

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1m}{x}_m=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2m}{x}_m=0\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nm}{x}_m=0\end{array}\end{array}$$

　　可以使用消元法解方程组（7）（详细见下节），由于它没有非零解，所以必须有$m\le n$，这就是说线性无关组的元素个数都不大于$n$。所以向量组如果有不同的极大线性无关组，它们元素的个数一定相等，这个数是向量组的恒定值，称为向量组的秩，记作$\text{rank}S$，在线性空间中这个值也叫空间的维度，记作$\dim V$。秩和维度是向量组（线性空间）的基本特征，任何元素都可以按照（5）式得到唯一的坐标形式$(k_1,k_2,\cdots ,k_n)$。特别地，在线性空间中，极大线性无关组又叫线性空间的基，而且容易证明，$n$维线性空间其实和$n$维坐标向量空间是同构的，我以后可以直接用坐标向量来表示一般向量。

　　• 求证：等价向量组的秩相等。

2.3 直和

　　现在继续研究线性空间的结构，有过抽象代数的经验，我们知道接下来要考虑空间在两个维度的分解，一个是直和分解，另一个是商群分解。本节只讨论直和分解，首先容易证明线性子空间的和$V_1+V_2$也是线性子空间，而且它是包含$V_1\cup V_2$的最小子空间。我们来看看它的维度是多少，首先取$V_1\cap V_2$的一组基$A$，将它分别扩展为$V_1,V_2$的基$A\cup B_1,A\cup B_2$。容易证明$A,B_1,B_2$线性无关，故$A\cup B_1\cup B_2$就是$V_1+V_2$的一组基，从而有公式（8）成立。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \dim (V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim (V_1\cap V_2)\end{array}$$

　　$V_1+V_2$中任何一个元素都可以分解为$\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2,({\alpha }_i\in V_i)$，如果$V_1\cap V_2\ne 0$，容易构造出$\alpha$的不同分解。反之如果$V_1\cap V_2=0$，用反证法可知分解是唯一的。这时的$V_1+V_2$称为子空间的直和，记作$V_1\oplus V_2$。类似于抽象代数中的结论，直和的定义等价于零元素的唯一分解。这里的结论很容易推广到多个子空间的直和，且它有公式（9）中的等价定义。直和将线性空间分解为几个无关的子空间（式（10）），它其实是基的概念的一个扩展，特别地，$n$维线性空间可以分解为$n$个子空间$⟨{\alpha }_i⟩$的直和。

$$\begin{array}{}\text{(9)}& V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m\iff V_i\cap \sum _{i\ne j}{V}_j=0\iff 0=\sum {\alpha }_i\Rightarrow {\alpha }_i=0\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \dim (V_1+V_2+\cdots +V_m)=\dim V_1+\dim V_2+\cdots +\dim V_m\end{array}$$

　　子空间的并$V_1\cup V_2$虽然有“加法”的外表，但在代数结构中却不具有加法的性质，一个典型的结果就是：有限个任意真子空间的并都不等于父空间（式（11））。$V_1\cup V_2$的场景比较好证明，当一个是另一子集时结论显然成立，不是时则可以取$\alpha \in V_1,\beta \in V_2$，但$\alpha \notin V_2,\beta \notin V_1$，容易证明$\alpha +\beta \notin V_i$。然后用归纳法证明，先记$V_0=V_1\cup \cdots \cup V_{s-1}$，当$V_0,V_s$中一个是另一个子集时结论显然成立，不是时可以取取$\alpha \in V_0,\beta \in V_s$，但$\alpha \notin V_s,\beta \notin V_0$。

$$\begin{array}{}\text{(11)}& V_1\cup V_2\cup \cdots \cup V_s\ne V,(V_i\ne V)\end{array}$$

　　类似地可以证明$\alpha +\beta \notin V_s$，但却不能用这种方法证明$\alpha +\beta \notin V_0$，因为$V_0$不一定是子空间。为此考虑所有向量${\eta }_k=\alpha +k\beta$，同样有${\eta }_k\notin V_s$，还需证存在${\eta }_k\notin V_0$。对任意$m<s$，假设有${\eta }_i,{\eta }_j\in V_m$，则${\eta }_i-{\eta }_j=(i-j)\beta \in V_m$，从而$i=j$。这就是说$V_m$中最多只有一个${\eta }_k$，如果再假设$V$的域$F$是无限的，则一定能找到${\eta }_k\notin V_0$，结论得证。

2. 线性方程组

　　前面我们从线性组合出发，从理论上分析了线性空间的结构，但还有一个很实际的问题没有解决：如何将一个向量表示成给定向量组的线性组合？或者如何判定向量组的线性相关性？我们只讨论有限维线性空间的情况，而它是等价于一个$n$维坐标向量空间的。设向量组为${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，用它们的线性组合表示$\beta$就是解如下左边的方程，它其实就是右边的$m$元线性方程组。当$\beta =0$时，方程实质上就是判断${\alpha }_i$的相关性，对应方程组叫齐次线性方程组。

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right]x_1+\cdots +\left[\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right]x_m=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right]\iff \{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1m}{x}_m=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2m}{x}_m=b_2\\ \cdots \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nm}{x}_m=b_n\end{array}\end{array}$$

　　在中学我们就已经知道用消元法解多元一次方程组，比如上面的方程组，先根据第一个等式得到$x_1$的表达式，将它带入其它等式就得到$m-1$元方程组。如此下去就可以得到一个一元方程，解出后回带到之前的表达式，就得到方程组的解。将方程的系数和常数项写成如下左边的增广矩阵，消元的过程可以表示为一系列如下初等变换。变换（1）可以将待消元的系数变为$1$，变换（2）是为了找到列数最小的非零系数，变换（3）进行消元。

　　（1）第$i$行乘上一个非零常数$k$；

　　（2）交换第$i$和$j$第行；

　　（3）第$j$行加上第$i$的倍数$k$。

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1m}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2m}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nm}& b_n\end{array}\right]\Rightarrow \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 1& \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 1& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right]\end{array}$$

　　经过初等变换后，总可以使得每一行的首个非零系数的列数大于上一行，这样的矩阵叫阶梯形矩阵（式中的一个$0$可能表示若干个$0$）。每一个初等变换都是可逆的，所以阶梯型矩阵对应方程的解和原方程是一样的。解阶梯型方程时，总是从最后一个非零行开始，如果这一行只有最后一个常数项非零（（14）式左），则方程组显然无解。如果正好对角线全为$1$（（14）式中），则方程组有唯一解，否则（（14）式右）某些未知数可取任意值，从而方程组有多组解。

$$\begin{array}{}\text{(14)}& \left[\begin{array}{ccccc}0& 1& \cdots & \cdots & d_1\\ 0& 0& 1& \cdots & d_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& d_n\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}1& \cdots & \cdots & \cdots & d_1\\ 0& 1& \cdots & \cdots & d_2\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& d_m\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& \cdots & \cdots & d_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1& c_{lm}& d_l\\ 0& \cdots & \cdots & \cdots 0& 0\end{array}\right]\end{array}$$

　　这个方法就叫高斯消元法，最初由高斯给出详细过程。对齐次线性方程，可以没有增广矩阵的最后一列，从而方程组总有解。齐次方程若有唯一解，则必定为$0$，这时向量组线性无关。容易看出当$m>n$时，齐次方程总有非零解，这就说明$m$个向量总是线性相关的。线性方程组总可以用高斯消元法求解，这个过程可以交给计算机完成，但对具体的方程组，还可以通过一些技巧简化求解过程，请尝试以下习题。

　　• 求解方程组$\{\begin{array}{ccccc}(1+a_1)x_1& +x_2& +\cdots & +x_n& =b_1\\ x_1& +(1+a_2)x_2& +\cdots & +x_n& =b_2\\ & \cdots & & \cdots & \\ x_1& +x_2& +\cdots & +(1+a_n)x_n& =b_n\end{array}$；

　　• 求解方程组$\{\begin{array}{cccccc}{x}_1& +2x_2& +3x_3& +\cdots & +n{x}_n& =b_1\\ n{x}_1& +x_2& +2x_3& +\cdots & +(n-1)x_n& =b_2\\ & \cdots & & \cdots & \\ 2x_1& +3x_2& +\cdots & +n{x}_{n-1}& +x_n& =b_n\end{array}$。

　　当线性方程组有多组解时，这个解的集合有什么特点呢？对于齐次方程（15），容易证明所有解组成一个线性空间，它称为方程的解空间，空间的基称为方程的基础解系。若列向量组的秩为$r$，将方程组阶梯化后，可将阶梯角上对应的$r$个$x_i$用另外的$n-r$个线性表示。那$n-r$个未知元是自由变化的，所以解空间的维数就是$n-r$，基础解系也容易构造，进而可以表示出一般解（通解）。

$$\begin{array}{}\text{(15)}& {\alpha }_1{y}_1+{\alpha }_2{y}_2+\cdots +{\alpha }_m{y}_m=0\end{array}$$

　　对于非齐次方程（12），如果$(x_1,\cdots ,x_m),(x_1^{\prime },\cdots ,x_m^{\prime })$都是它的解，则显然$(x_1-x_1^{\prime },\cdots ,x_m-x_m^{\prime })$是方程（15）的解。反之，对齐次方程（15）的任一解$(y_1,\cdots ,y_m)$，$(x_1+y_1,\cdots ,x_m+y_m)$显然也是方程（12）的解。故只需得到方程（12）一个特解$\gamma$和（15）的解空间$W$，（12）的通解便可以表达为$\gamma +W$，在群论中它就是$W$的一个陪集。